При делении степени что
Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:
Свойства 4
Степень произведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Правила умножения и деления степеней
Что представляют собой степенные выражения
Степенью n для числа а является произведение множителей, которые по величине равны а, взятое n раз.
здесь а представляет собой основание степени, n определяет ее показатель.
Таким образом, можно составить формулу:
Запись можно прочитать, как «a в степени n».
Степенное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого входит степень.
Перед тем, как рассмотреть действия со степенными выражениями, полезно вспомнить свойства степени:
Правила умножения, что происходит
Если степени имеют одинаковые показатели, то в процессе их перемножения следует умножить между собой основания, а показатель записать без изменений:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
В качестве примера решим несколько простых уравнений:
a 5 × b 5 = ( a × a × a × a × a ) × ( b × b × b × b × b ) = ( a × b ) n = ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) = ( a b ) 5
3 5 × 4 5 = ( 3 × 4 ) 5 = 12 5 = 248832
16 a 2 = 4 2 × a 2 = ( 4 a ) 2
Когда требуется найти произведение степеней, которые обладают одинаковыми основаниями, следует сложить показатели степеней:
В качестве примеров рассмотрим несколько вычислений:
3 5 × 3 2 = 3 5 + 3 = 3 8 = 6561
2 8 × 8 1 = 2 8 · 2 3 = 2 11 = 2048
При умножении чисел, которые имеют разные степени, но схожи по основаниям, необходимо руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере. То есть:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
Бывают ситуации, когда числа отличаются по степеням и по основаниям, а также какое-то из оснований невозможно преобразовать в число с аналогичной степенью, как у второго числа. В этом случае нужно возвести в степень каждое число, а на втором шаге выполнить умножение.
3 3 × 5 2 = 27 × 25 = 675
Правила деления
Когда требуется выполнить деление степеней, которые имеют разные основания, но схожи по показателям, нужно найти разность показателей и оставить основание без изменений:
где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m>n.
В качестве примеров рассмотрим несколько выражений:
Деление степеней, которые имеют одинаковые показатели, подразумевает возведение результата частного данных чисел в степень:
где а и b являются основаниями степени в виде любых рациональных чисел, не равных нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
5 12 ÷ 3 12 = ( 5 ÷ 3 ) 12 = ( 1 2 3 ) 12
Предположим, что требуется выполнить деление чисел со степенями. При этом степени не одинаковые, а основания идентичные. Тогда следует руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере:
В том случае, когда отличаются не только степени, но и основания, необходимо возвести в степень каждое из чисел, а затем выполнить умножение. Например:
Примеры решения заданий для 7 класса
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание:
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание, чтобы избавиться от необходимости возводить число в большую степень:
2 7 = 2 3 × 2 4 = 8 × 16 = 128
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих разные основания, но одинаковые показатели:
3 2 × 2 2 = ( 3 × 2 ) 2 = 6 2 = 36
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Воспользуемся свойством деления степеней, когда основания отличаются, а показатели совпадают:
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Формулы степеней и корней.
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n-ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:
Формулы степеней.
6. a — n = 
— деление степеней;
7. 
— деление степеней;
8. a 1/n = 
;
Действия со степенями
теория по математике 📈 числа и вычисления
Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен а. То есть а n =a×a×a×a …..a (а берется n раз). Число а называют основанием, а число n показателем степени. Показатель показывает, сколько раз берется основание как множитель.
Свойства степени (применимы для степеней с одинаковым основанием)
При умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляют тем же, а показатели складывают:
a n × a m =a n +m
5 5 ×5 3 ×5 4 =5 5+3+4 =5 12
При делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют тем же, а показатели вычитают:
a n : a m =a n — m
с 12 :с 5 =с 12-5 = с 7
3 23 :3 20 =3 23-20 = 3 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели умножают:
(a n ) m =a n×m
При возведении в степень произведения разных множителей необходимо возвести в эту степень каждый множитель:
(a×b×c) m =a m ×b m ×c m
(3 2 5 4 ) 6 =3 12 5 24
Степень дроби (степень частного)
При возведении в степень обыкновенной дроби необходимо возвести в данную степень числитель и знаменатель дроби:
Важные правила для работы со степенями
В числителе дроби возведем в степень каждый множитель:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения:
В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.
Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй — в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:
Далее выносим из числителя второй дроби a:
Подставляем значение a = 13:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:
(x + 5) 2 — x (x — 10) = x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x
Затем приведем подобные слагаемые:
x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x = 20 x + 25
Далее подставим x из условия:
20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Используем правило умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Заключается оно в том, что при их умножении показатели степеней суммируются, а при делении вычитаются (от показателя в числителе вычитается показатель, стоящий в знаменателе). Тогда получаем: 
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Значение какого из выражений является рациональным числом?
В данном задании у нас проверяют навыки операций с иррациональными числами.
Разберем каждый вариант ответа в решении:
√6 само по себе является иррациональным числом, для решения подобных задач достаточно помнить, что рационально извлечь корень можно из квадратов натуральных чисел, например, 4, 9, 16, 25…
При вычитании из иррационального числа любого другого, кроме его же самого, приведет вновь к иррациональному числу, таким образом, в этом варианте получается иррациональное число.
При умножении корней, мы можем извлечь корень из произведения подкоренных выражений, то есть:
Но √15 является иррациональным, поэтому данный вариант ответа не подходит.
При возведении квадратного корня в квадрат, мы получаем просто подкоренное выражение (если уж быть точнее, то подкоренное выражение по модулю, но в случае числа, как в данном варианте, это не имеет значения), поэтому:
Данный вариант ответа нам подходит.
Данное выражение представляет продолжение 1 пункта, но если √6-3 иррациональное число, то никакими известными нам операциями перевести в рациональное его нельзя.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Какое из данных ниже чисел является значением выражения?
Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 — √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?
Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.
После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² — (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:
Суммарно наши действия выглядят так:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Для решения данной задачи необходимо вспомнить следующие правила обращения со степенями:
121 • 11 n = 11 2 • 11 n
С учетом правила умножения, складываем степени:
Следовательно, нам подходит второй ответ.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.
Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени. При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:
Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля. Получаем:
Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:
Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–». Получаем:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить