При делении на что дает
Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.
Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».
Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.
Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как
Примеры деления рациональных чисел.
Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).
Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
Примеры деления чисел с разными знаками:
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении
При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби
Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».
Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:
Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.
Пример нахождения неизвестного.
Знак «минус» в дробях
Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».
Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.
Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:
При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.
Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.
Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.
Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.
Свойства умножения и деления
Свойства умножения
Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.
Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.
Переместительное свойство умножения
От перестановки мест множителей произведение не меняется.
То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.
Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).
Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.
Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.
Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:
Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.
В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:
Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Свойство нуля при умножении
Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.
То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.
Свойство единицы при умножении
Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.
То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.
Свойства деления
Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.
Основные свойства деления целых чисел
И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:
Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.
В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.
Применим свойства деления на практике.
Пример 1
Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?
Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.
Пример 2
Вычислить: 500 * (100 : 5).
Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.
Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.
Пример 3
Упростить выражение: 27a – 16a.
Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.
Деление отрицательных чисел: правило и примеры
В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.
Деление отрицательных чисел. Правило
Правило деления отрицательных чисел
Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.
Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.
Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.
В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Деление отрицательных чисел. Примеры
Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.
Пример 1. Как делить отрицательные числа
Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.
Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.
Пример 3. Как делить отрицательные числа
Теперь можно выбрать один из двух способов:
Разберем оба способа.
1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.
2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.
Полученные результаты совпадают.
В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.
Пример 4. Как делить отрицательные числа
Деление чисел с остатком
Деление с остатком целых положительных чисел
Деление — это разбиение целого на равные части.
Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.
Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!
Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.
Попрактикуемся в решении.
Пример
Разделить 14671 на 54.
Выполним деление столбиком:
Неполное частное равно 271, остаток — 37.
Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).
Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное
Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:
В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.
Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.
Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».
Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.
Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):
Пример
Разделить 17 на −5 с остатком.
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.
Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное
Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:
Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:
d = a − b * c
Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.
Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:
Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.
Пример
Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.
Разделим заданные числа по модулю.
Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.
Так как получили 3, противоположное ему −3.
Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.
Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:
d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.
Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.
Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).
Деление с остатком целых отрицательных чисел
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:
d = a − b * c
Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.
Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:
Пример
Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.
Применим алгоритм для деления с остатком.
Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.
Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.
Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.
Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).
Деление с остатком с помощью числового луча
Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.
Пример 1
Рассмотрим выражение: 10 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.
Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).
Пример 2
Рассмотрим выражение: 11 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.
Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).
Проверка деления с остатком
Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.
Формула деления с остатком
a = b * c + d,
где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.
Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.
Пример
Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).
В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.
Теорема
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:
где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.
Доказательство:
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q
Деление целых чисел: правила, примеры
Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.
Термины и обозначения
При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.
Делимое – это число, над которым совершают деление.
Делитель – число, на которое делят.
Частное – результат деления.
Деление целых чисел
Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.
Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.
Правила деления целых чисел
Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.
Деление целых положительных чисел
Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.
Решение
Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:
Правило деления целых отрицательных чисел, примеры
Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.
Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b · c = a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b · c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.
Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.
Решение
Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.
Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры
Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.
Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.
Решение
Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило
Деление нуля на целое число
Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.
Не делить на нуль
Проверка результата деления целых чисел
Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.
Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.
Решение