Постройте отрицания обойдясь без неверно что

Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Четырнадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена логическим задачам и является продолжением ранее вышедшей книжки И. В. Раскиной и Д. Э. Шноля «Логические задачи» (выпуск 11). В книжку вошли разработки десяти занятий математического кружка с примерами задач различного уровня сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. Приведен также большой список дополнительных задач. Ко всем задачам приведены ответы и подробные решения или указания к решениям. Особенностью книжки является наличие игровых сценариев к отдельным задачам и целому занятию, реализация которых поможет лучшему освоению материала. Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям логики.

Оглавление

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Логика для всех. От пиратов до мудрецов предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

Урок русского языка, или «Все», «некоторые» и отрицание

…о великий, могучий, правдивый и свободный русский язык!

И. С. Тургенев. «Русский язык»

Предмет этого занятия — общие и частные высказывания. В формальной логике для их записи используют всего два квантора (квантор общности V и квантор существования 3). А в бытовом языке вместо кванторов используют самые разные слова, что порой приводит к недоразумениям. Задачи 2.1, 2.2 и 2.13 помогают разобраться в способах передачи кванторов общности и существования средствами русского языка.

Смысл общих и частных высказываний удобно иллюстрировать с помощью кругов Эйлера. Рекомендуем их использовать при обсуждении задач 2.3, 2.11, 2.12, 2.16, несмотря на то что для решения предложенных задач часть учеников в иллюстрациях не нуждается. Во-первых, другой части учеников картинка может существенно помочь. Во-вторых, навык работы с кругами Эйлера еще никому не повредил. Надеемся, что в задаче 2.16 удобство трех кругов оценят и те, кому два круга в предыдущих задачах казались излишним «наворотом». В-третьих, использование кругов Эйлера позволяет почувствовать родство логики и теории множеств.

Задачи 2.4–2.10, 2.14, 2.15 связаны с построением отрицания к общим и частным высказываниям. Меньше всего нам бы хотелось, чтобы итогом занятия стала формулировка соответствующей пары правил, которое дети будут потом применять в задачах. А больше всего — чтобы они грамотно строили отрицания, не задумываясь о правилах. Если на этом занятии дети много ошибаются, продолжайте предлагать на последующих занятиях аналогичные упражнения (в том числе из раздела дополнительных задач) до победного конца.

Можно ли одну и ту же мысль выразить по-разному? Насколько сильно зависит смысл русского предложения от порядка слов? Всегда ли одинаково следует понимать одни и те же слова? Не будем пытаться на одном занятии изучить весь русский язык. Ограничимся несколькими словами и выражениями: «все», «каждый (любой)», «некоторые», «существует», «хотя бы один».

Задача 2.1. 1) Серый Волк заинтересовался цветом шапочек. Однажды он встретил Красную Шапочку. Помогите Волку сделать правильный вывод. Придумайте несколько вариантов.

2) Выразите другими словами мысль «Все шапочки красные».

Решение. 1) Можно сказать: «Некоторые шапочки красные». Но можно и по-другому. Например, так:

Шапочки бывают красные.

Иногда встречаются красные шапочки и т. п.

Математики любят говорить точно: «Существует хотя бы одна красная шапочка».

2) «Шапочки всегда красные», «Любая шапочка красная» или «Каждая шапочка красная».

Задача 2.2. Вася говорит, что слова «для всех» и «для каждого» означают одно и то же. Прав ли Вася?

Решение. Вопрос скорее лингвистический, чем математический. Часто смысл предложения действительно не меняется при замене «для всех» на «для каждого» и соответствующих изменениях формы слов. Например, «Для всех принцесс горошины под периной невыносимы» означает то же, что и «Для каждой принцессы горошина под периной невыносима». Но вот если вместо «Выдать зимовщикам для всех одну пару валенок» попросить «Выдать зимовщикам для каждого одну пару валенок», зимовщики наверняка заметят разницу.

Задача 2.3. 1) Означают ли одно и то же высказывания: «Некоторые сантехники любят рэп» и «Некоторые любители рэпа — сантехники»?

2) Означают ли одно и то же высказывания: «Все сантехники любят рэп» и «Все любители рэпа — сантехники»?

Решение. 1) Чтобы лучше разобраться в смысле высказываний, изобразим их с помощью кругов Эйлера (см. рис. 1). Пусть в одном круге находятся сантехники, в другом — любители рэпа. Если первое высказывание истинно, то круги непременно пересекаются, и в пересечении кругов располагается хотя бы один сантехник, любящий рэп. Но ровно это же требуется и для истинности второго утверждения. Поэтому они означают одно и то же.

2) Снова разместим сантехников и рэперов в пересекающихся кругах. В пересечении кругов, как и прежде, расположены сантехники, любящие рэп. Сантехники, НЕ любящие рэп, окажутся в серой части рисунка 2. Если таковых нет (т. е. все сантехники любят рэп), то серая часть пуста.

Чтобы показать это на рисунке, принято изображать круг сантехников внутри круга рэперов (см. рис. 3).

Сравнение рисунков 3 и 4 помогает понять, почему смысл высказываний «Все сантехники любят рэп» и «Все любители рэпа — сантехники» разный.

Рис. 4. Все любители рэпа — сантехники

Задача 2.5. Рассмотрим два утверждения. Сколько из них могут быть верными?

2) В этой корзине есть хотя бы один ядовитый гриб.

Ответ. Верно ровно одно утверждение.

Итак, чтобы построить отрицание к высказыванию про всех, надо заменить:

• свойство на противоположное (например, «ядовитое» на «съедобное»).

Итак, чтобы построить отрицание к высказыванию про некоторых, надо заменить:

• свойство на противоположное (например, «ядовитое» на «съедобное»).

Задача 2.7. Дано утверждение: «Все малышки хорошо поют». Незнайка сформулировал к нему отрицание: «Все малышки поют отвратительно».

1) Как с помощью закона исключенного третьего убедить Незнайку, что он ошибся?

2) Сформулируйте отрицание правильно.

Решение. 1) По закону исключенного третьего верно ровно одно из двух: либо утверждение, либо его отрицание. Найдя двух малышек, одна из которых поет хорошо, а вторая плохо, мы убедимся, что неверно ни само утверждение, ни его «отрицание», придуманное Незнайкой.

2) «Существует хотя бы одна малышка, которая поет плохо». Или «Некоторые малышки поют плохо».

Задача 2.8. Постройте отрицания к каждому утверждению, не используя частицу «не». Где сможете, укажите, что верно: утверждение или его отрицание. Где сможете, обоснуйте свое мнение примером или контрпримером.

1) На Земле существует хотя бы одна гора выше 10000 м над уровнем моря.

2) Существует хотя бы один вулкан с высотой более 10000 м относительно своего основания.

3) Любой жук помещается в спичечном коробке.

4) Некоторые горные реки быстрые.

5) Бутерброд всегда падает маслом вниз.

Ответ. 1) Верно отрицание: любая гора на Земле не выше 10000 м над уровнем моря. Обосновать утверждение такого типа примером нельзя, знание высоты Эвереста (8848 м) не доказывает, что более высоких гор нет.

2) Верно утверждение. Пример — вулкан Мауна-Кеа на Гавайских островах с высотой 10203 м от основания (и «всего» 4205 м над уровнем моря). Последний раз этот вулкан извергался несколько тысяч лет назад. А самый высокий вулкан Солнечной системы — гора Олимп на Марсе имеет высоту 21,2 км от основания.

3) Верно отрицание: существует хотя бы один жук, не помещающийся в спичечном коробке. Пример — жук-голиаф из подсемейства бронзовки, обитающий в Африке. Длина его тела достигает 11 см.

4) Верно утверждение. Примером служит любая горная река.

5) Не стоит относиться к этой задаче всерьез. Для точного построения отрицания потребуется сначала строго определить, что такое бутерброд. Например, может ли он вообще не содержать масла? Мы предполагаем, что при любом определении верным окажется отрицание, но для приведения примера может потребоваться тренировка.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.9. Рассмотрим два утверждения:

Б: В этой корзине есть хотя бы один съедобный гриб.

Могут ли быть верными: 1) оба утверждения; 2) ровно одно из них; 3) ни одного?

Задача 2.11. Нарисуйте с помощью кругов Эйлера иллюстрацию к каждому высказыванию. Есть ли среди иллюстраций одинаковые? Одинаков ли смысл соответствующих высказываний?

1. Все хоббиты живут в норах.

2. Все жители нор — хоббиты.

3. Некоторые кошки серые.

4. Некоторые серые существа — кошки.

Задача 2.12. Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: «У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек». Прав ли он?

Задача 2.13. Шерлок Холмс допросил Зайца, Волка и Лису по делу о съедении Колобка. Подозреваемые заявили:

Заяц: «Хотя бы один из нас съел Колобка».

Волк: «Хотя бы один из нас не ел Колобка».

Лиса: «Хотя бы один из нас сказал правду».

Как известно, Колобка съела Лиса. Кто сказал правду, а кто солгал?

Задача 2.14. Комиссия посетила больницу и составила отчет, в котором не было ни одного правдивого утверждения.

«Все врачи имеют достаточный опыт. Некоторые врачи никогда еще не ставили неправильного диагноза. Никто из врачей не опаздывает на работу. Все пациенты довольны лечением. Ни один из них не жалуется на бытовые условия. Некоторые пациенты выздоравливают за один день».

Напишите, как выглядел бы честный отчет.

Задача 2.15. В комнате собрались несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Трое из них сказали следующее:

— Нас тут не больше трех человек. Все мы лжецы.

— Нас тут не больше четырех человек. Не все мы лжецы.

— Нас тут пятеро. Лжецов среди нас не меньше трех.

Сколько в комнате человек и сколько из них лжецов?

Задача 2.16. Предположим, что справедливы следующие утверждения:

• Среди людей, имеющих телевизоры, не все являются малярами.

• Люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

Источник

Математический кружок 7 класс

Решения занятие №2 Логика.

Нарисуем таблицу – как зависит истинность сложного высказывания от истинности его составляющих. Через А и В обозначаем высказывания, буквы И и Л означают истинное и ложное. Запись А=>В означает высказывание: «Если А, то В».

Черточка сверху обозначает отрицание, т. е. например запись означает высказывание: «Неверно, что А и В»

Обозначим через А утверждение «точка лежит внутри окружности», через В утверждение «точка лежит вне квадрата», а через C утверждение «точка лежит справа от прямой». Отметьте на рисунке все точки, для которых справедливы утверждения:
(через обозначается утверждение: «неверно, что А»)

1. А и В

3.

4.

9. (А или В) и

1. А и В 2. А или В 3.

4. 5. А или (В и С) 6. (А или В) и С

7. (А и В) или С 8. А и (В или С) 9. (А или В) и

Комментарии. Каждую такую картинку можно нарисовать, последовательно перебрав все области, проверяя надо ли их закрашивать. Но многое можно понять и без такого перебора.

v Всегда верно что-то одно – либо (А и В) либо (). Поэтому на картинке 3 закрашено все то, что не закрашено на картинке 1 и только это. Аналогично на картинке 4 закрашено все то, что не закрашено на картинке 2 и только это.

v Если в выражении есть “или” то обе области, которые соответствуют утверждениям, соединяемым союзом, должны быть закрашены. Например, сразу понятно, что на рисунках 2 и 5 должна быть закрашена внутренность круга (утверждение А), а на рисунке 7 часть плоскости справа от прямой.

v Рисунок 7 легко получить из рисунка 1. А именно надо закрасить все точки закрашенные на рисунке 1 и еще точки, для которых выполняется С – т. е. правую половину рисунка.

v Рисунок 6 легко получить рисунка 2. А именно надо закрасить только те точки из рисунка 2, для которых выполняется С – т. е. правую половину рисунка.

v Рисунков 9 легко получить из рисунков 2 и 3 — надо закрасить точки, которые закрашены и там и там.

Сформулируйте отрицания следующих утверждений (упростите их как можно сильнее, избавляйтесь от сочетаний «не существует» и «не для всех»):

1. Паша умный и красивый

Отрицание. Паша глупый или некрасивый

2. Леша веселый или сытый

Отрицание. Леша грустный и голодный.

3. Если в этом доме водятся мыши, то они белые

Отрицание. В этом доме есть не белая мышь.

4. Если окно открыто, то дома кто-то есть

Отрицание. В доме открыто окно, но он пуст.

5. Если открыто окно, то дома кто-то есть и он приготовил ужин.

Отрицание. В доме открыто окно, но дома никого нет или нет ужина.

6. Если дверь заперта, а окно открыто, то дома никого нет, или там Карлсон.

Отрицание. В доме заперта дверь, открыто окно, но кто-то внутри есть, причем не Карлсон.

7. Все здесь присутствующие хотя бы раз получали двойку.

Отрицание. Среди нас есть человек который никогда не получал двоек.

8. Каждый воробей летал в Африку

Отрицание. Существует воробей, который никогда не летал в Африку.

9. Все преподаватели умные и красивые

Отрицание. Найдется глупый или некрасивый преподаватель.

10. Существует семиклассник, который не может правильно сложить никакие две дроби.

Отрицание. Каждый семиклассник может правильно сложить хоть какие-то две дроби.

11. Для любого семиклассника можно подобрать такую задачу, что никакую более сложную задачу он не сможет решить.

Отрицание. Найдется семиклассник, который может решить задачу сложнее любой.

12. Если ученик весёлый, то либо у него день рождения, либо он сытый и сдал все задачи.

Отрицание. Ученик веселый, а ни дня рождения у него нет и либо он сдал не все задачи, и либо голодный.

v Сам текст отрицания конечно не единственный, то же самое часто можно выразить и другими словами. Например, в 6 задаче можно было сказать ‑ “Дверь заперта, окно открыто, а дома кто-то есть и это не Карлсон ”.

v Если в исходном утверждении стоял союз “и”, то в отрицании будет стоять союз “или”. (Например, утверждения 1, 5, 9). И наоборот ‑ если в утверждении стоял союз “или”, то в отрицании будет “и”. (например утверждение 2.)

v Если в утверждении есть условие (оборот ”если”), то чтобы опровергнуть такое утверждение, надо привести пример, когда условие выполняется, а то, что утверждается, не выполняется. (например утверждения 3, 4, 5, 6)

v Если в утверждении есть оборот вида – “каждый”, “любой”, “все”, “всегда”, то в отрицании будет оборот вида “существует”, “найдется”, “есть”. И наоборот (утверждения 7, 8, 9, 10, 11).

Источник

Постройте отрицания, обойдясь без «не», «нет» и «неверно». а) Аня выше Алёны. б) Каждый библиотекарь любит читать книги. в) Бывает виноград без косточ.

Постройте отрицания, обойдясь без «не», «нет» и «неверно». а) Аня выше Алёны. б) Каждый библиотекарь любит читать книги. в) Бывает виноград без косточек. г) Гриша купил коньки и клюшку. д) Даня мечтает научиться летать или плавать. е) На Земле не существует говорящих ежей. ж) Жизнь бесконечна. з) Зимородки всегда строят гнёзда на земле. и) Илья играет в футбол или в шахматы. к) Кристиан умеет говорить по-польски и по-английски. л) Люди всегда быстро привыкают к хорошему

Ответы

Алена выше Ани, Почти каждый библиотекарь любит читать книги,

Существует виноград только с косточками, Гриша задумывается над покупкой коньков и клюшки, Даня передумал учиться летать и плавать,

на Земле существуют говорящие ежи, Когда то любой жизни настанет конец, Зимородки иногда строят гнезда на земле, Илья играет в футбол и шахматы, Кристиан умеет говорить по польски или по англиски,Люди редко быстро привыкают к хорошему

средняя ско­рость — это расстояние, разделённое на время движения. пер­вый от­ре­зок пути ав­то­мо­биль про­ехал за 500/100 = 5 часов, вто­рой — за 100/50 = 2 часа, тре­тий — за 165/55 = 3 часа. сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути со­ста­ви­ла

Источник