Про четырехугольник abcd известно что ab равно bd
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:
Далее, 
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда 
то есть 
откуда 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | ||||||||||||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | ||||||||||||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Про четырехугольник abcd известно что ab равно bdВ выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠A + ∠D = 120° и AB = BC = CD. РешениеОбозначим ∠CAD = α, ∠ADB = β, ∠BDC = ∠DBC = γ, ∠ACB = ∠BAC = δ. Второй способ. Заметим, что ∠B + ∠C = 240°, ∠OBC + ∠OCB = 60°. Поэтому ∠ABD + ∠ACD = 180°. На продолжении отрезка DB за точку B отложим отрезок BK = CA. Тогда треугольник ABK равен треугольнику DCA по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AK = AD, Источники и прецеденты использования
Про четырехугольник abcd известно что ab равно bdЧетырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12. а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны. а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны. б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов Треугольник ABC равнобедренный, поэтому Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем: Приведем другое решение пункта б) Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Проведем две высоты DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его. Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9. Ответ: б)
| |||||||||||||||||
Значит, 
3α.
а из треугольника BOF: 
Тогда высота трапеции 
а HC = 6 – x. Напишем теорему Пифагора для треугольника DHC:
