Приведите доказательства того что цифра не более чем условный знак

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Детский вопрос, но все таки. Формализовать его можно так:

Термин «цифра» происходит от арабского слова «cifra» и обозначает «ноль, пустой, ничего». Наиболее распространенными в мире являются так называемые «арабские цифры», которыми мы привыкли пользоваться. Это система из десяти знаков от 0 до 9. К слову, на самом деле она придумана в Индии, а не в арабских странах. До этого счет велся при помощи ровных линий – палочек. Каждая палочка соответствовала определенной цифре, например, пять палочек – пятерка, семь палочек – семерка и т.д. Больше всего такая система походила на зарубки, но была крайне неудобной для графического изображения больших чисел.

В древней Индии математика развивалась довольно активно, поэтому более удобная система счисления была придумана именно здесь примерно в V веке. Однако европейцы переняли цифры от арабов, которые к тому времени усовершенствовали десятичную систему. Из-за этого цифры начали называть арабскими. Не любой знак может называться цифрой. Ее признаком является способность описывать определенные числа. Например, «+» – это тоже знак, но не цифра. Если дополнительного уточнения нет, то цифрой обозначают один из знаков от 0 до 9.

Слово «цифра» имеет множество нюансов в плане употребления, хотя на многие из них мы не обращаем внимания в повседневной жизни. Например, выражение «эти цифры больше» является неверным, поскольку сравнению подлежат числа, а не цифры. Существуют и другие системы цифр. Например, наиболее близкие для нас, которые все еще используются – римские. С их помощью чаще всего указываются века: I, II, III и т.д.

Число считается одним из главных понятий в математике. Его используют для сравнения, нумерации, описания количественной характеристики. Таким образом, числа обозначаются при помощи цифр, а также математических символов («плюс», «минус», «скобки» и др.).

Необходимость вести счет чего-либо возникла еще у первобытных людей, и понятие числа постепенно становилось все сложнее. С развитием науки оно обрело еще более глубокий и важный смысл. Выделяют несколько числовых множеств:

1. натуральные – используются при естественном счете (от единицы и до бесконечности, а иногда и от ноля);

2. целые – объединение натуральных, отрицательных чисел и ноля;

3. рациональные – дроби; действительные – представляют собой расширение множества рациональных чисел;

4. комплексные – расширение множества действительных чисел.

Чем отличается цифра от числа?

Таким образом, цифра – это просто знак, символ, который можно сравнить с буквами в словах. Число же является математическим понятием, количественным показателем, и для его графического изображения используются именно цифры. Рассматривая статистики, графики, отчеты – любые количественные данные, мы видим числа, а не цифры.

Разнообразие чисел довольно большое. Они могут быть целыми, четными, нечетными, положительными, отрицательными и т.д. Также не существует какого-либо последнего числа – всегда будет то, что больше него. Количество цифр ограничено десятью знаками: от 0 до 9. Сравнивать между собой можно только числа, а не цифры.

Источник

Лекция 6. Системы счисления

Как только люди стали общаться, т.е. передавать информацию, они стали считать. Первыми инструментами счета были пальцы рук и простые предметы. Затем расчеты стали фиксировать, что привело к появлению систем счисления.

Система счисления — это система отображения любого числа с по­мощью ограниченного количества условных знаков, называемых циф­рами.

Сначала люди придумали непозиционные или кодовые системы счисления (IV тысячелетие до н.э.), в которых расположение цифр в числе не имеет значения и для обозначения каждого числа существует свой символ.

I (1)

V (5)

X (10)

L (50)

C (100)

D (500)

M (1000)

Но и этой системе присущи все недостатки непозиционных систем. Чтобы от них избавиться понадобились позиционные системы.

Если место, занимаемое символом в записи числа, придает этому символу определенное значение, то такая система счисления называется позиционной.

Индо-арабская десятичная система (VI в.) наиболее естественна для человека, т.к. считать мы учимся на пальцах, а их на двух руках как раз 10. В этой системе 10 цифр: от 0 до 9. Каждая цифра в числе при перемещении справа налево в следующий разряд увеличивает свое значение в 10 раз.
Любое число может быть представлено в виде суммы, где каждое слагаемое представляет собой произведение коэффициента (цифры числа) на основание системы (10) в степени, равной разряду этой цифры.

Какая разница между числом и количеством? Одно и то же количество может быть выражено разными числами. Числа записываются с помощью цифр. Не следует путать понятия: цифра, число, количество. Использовать текстовую информацию позволяет алфавит, а количественную — системы счисления.

Как вы думаете, изменилось ли количество, которое определяется этим числом? Конечно, нет. Изменился вид самого числа, да и то по­тому, что изменились условные знаки, называемые цифрами.

Трудно определить, сколько всего существует систем счисления. Скорее всего, бесконечное множество. В позиционных системах счислениявес цифры зависит от места (позиции), которую она занимает в числе.

Мы помним, что в записи числа используются позиции (разряды) единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, т. е. число можно пред­ставить в следующем виде:

Цифра 5, входящая в число 35 876, обозначает пять тысяч, потому что она находится именно в той позиции, в которой указывается ко­личество тысяч, или, иными словами, именно нахождение в данной позиции определяет ее вес. В числе 68952 тоже есть цифра 5, но ее вес, определяемый позицией в этом числе, составляет пять десятков.

В непозиционных системах счислениятакой закономерности нет, т.е. вес цифры не зависит от ее позиции в числе. Классический при­мер непозиционной системы счисления — римская система, которая используется до сих пор, правда в основном для нумерации.

Особый интерес из позиционных систем для нас представляют такие, веса которых являются членами геометрической прогрессии. Рассмотрим несколько рядов чисел:

Что общего в этих рядах чисел? Каждое следующее число в них получается из предыдущего путем умножения его на конкретное число. В первом ряду это 2, во втором 3, в третьем 4, в четвертом 5 и т.д.

Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией, сами чис­ла ряда — это члены геометрической прогрессии, а то число, умножая на которое предыдущий (или n-й) член прогрессии, мы получаем по­следующий, или (п + 1)-й, является знаменателем геометрической прогрессии, обозначим его р.

Давайте теперь представим десятичное число 64572 187 в весовом виде:

64 572 187 = 7*1 + 8*10 + 1*100 + 2*1000 + 7*10000 + 5*100000 + 4* 1000000 + 6*10000000

и в виде таблицы по весам позиций и цифрам в этих позициях:

Вес позиции. 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 100000000

Цифра. 7 8 12 7 5 4 6

Видно, что веса привычной нам десятичной системы счисления являются членами геометрической прогрессии, знаменателем такой прогрессии выступает число 10, т.е. р = 10, оно называется основани­ем системы счисления, а сама система называется р-ричной системой счисления.

Запишем теперь число из таблицы с использованием сте­пеней числа 10 — основания десятичной системы счисления:

Теперь попробуем записать представления числа по степеням осно­вания р-ричной системы счисления в общем виде:

(2)

Но ведь число может иметь и дробную часть, а веса позиций в дроб­ной части — числа отрицательные. Рассмотрим пример десятичного дробного числа 0,874562. Веса позиций, если идти от десятичной за­пятой вправо, таковы:

Если использовать десятичные дроби, то веса будут выглядеть следующим образом:

0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001,

или то же самое с использованием отрицательных степеней числа 10:

Значит, аналогично записи (1) предложенное дробное число мож­но представить так:

Следовательно, выражение (2) для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть, примет следующий вид:

(3)

Мы говорили о том, что любая система счисления использует огра­ниченное число условных знаков — цифр. Оказывается, что количество этих знаков равно основанию системы р. И действительно, в десятич­ной системе их десять, это 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А сколько их долж­но быть, например, в шестеричной системе счисления, т. е. когда р = 6. Цифр будет шесть, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. А в восьмеричной? Восемь, это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Как быть, если основание системы больше 10, например 12 или 16?

В этом случае на помощь приходят буквы латинского алфавита: А, В, С, D и т.д. Правда в этом случае они называются уже не буквами, а цифрами. Итак, основание системы счисления может быть любым, все системы равноправны, но тем не менее мы используем десятичную систему счисления. Причина проста: на руках 10 пальцев — это, на­верное, и есть наш первый «вычислитель».

Особо мы будем еще рассматривать двоичную систему счисления, поскольку она более удобна для использования в компьютерах. Основным элементом, который хранит 1 бит информации в ком­пьютере, является триггер. Для хранения нескольких бит информации используются столько элементов, сколько бит надо хранить. Как пра­вило, эти элементы и есть триггеры, в этом случае они образуют ин­тегральную схему, которая называется регистром.

Если попытаться дать более строгое определение, то регистр — это совокупность эле­ментов, которые могут принимать, хранить и выдавать информацию в компьютере. Регистры играют очень большую роль в работе микропроцессора компьютера и других его частей.

Задание: ответить на вопросы учебника Цв. Стр.54, вопр. 1-5.

Источник

Чем отличаются цифры от чисел?

Первые упоминания о цифрах встречаются ещё около 500 лет до нашей эры, и все давно знают, что такое число и цифра. Но если задать вопрос по-другому, и спросить в чём разница между числом и цифрой, многие не смогут дать правильный ответ. Чтобы понять разницу между этими терминами, стоит более детально разобраться в понятиях «цифра» и «число». Только так можно изучить в чём их отличия.

Цифры: виды и особенности

Систему знаков, которую используют для обозначения чисел на письме, называют цифрами. Это различные символы, обозначающие какое-либо число. Знаки «-» и «+» тоже используют для записей, но цифрами они не являются, потому что не обозначают конкретных чисел. Эти знаки используются для записи разных действий с числами.

Цифрами называют цифровой ряд от 0 до 9. Такое название пришло к нам из арабского языка и дословно переводится как пустое место, или ноль. На сегодняшний день существуют различные виды цифр, есть:

Это самые распространённые разновидности цифр. Но есть и другие варианты, которые используют разные народы.

Интересно: Раньше, для обозначения чисел, приходилось делать зарубки на скалах и других материалах. Наши предки рисовали палочки и символы в огромном количестве, чтобы вести счёт. С появлением цифр задача упростилась. Теперь, чтобы обозначить большое число, достаточно написать всего несколько символов.

В некоторых языках числа до сих пор записывают буквами, к примеру, в древнегреческом языке. В народе под цифрами понимают различные числа, и используют цифры для записей и расчётов. Цифра не может быть отрицательной, натуральной или дробной, это всего лишь графический символ необходимый для письма.

Европейцы используют арабские цифры, которые впервые упорядочили ещё в 13 веке. До этого счёт вели с помощью римских символов. Теперь такие символы можно встретить только в книгах и на циферблате некоторых часов, а выглядят они как палочки.

Что называют числом?

Качественные характеристики, нумерацию и сравнение, в математике описывают отдельным термином – числом. Записывают числа символами – цифрами.

Ещё в первобытном сообществе появилась необходимость счёта, поэтому люди стали придумывать разные символы, чтобы записывать полученные данные. Число может быть:

Есть также комплексные и действительные числа. Последние два варианта часто используются в математическом анализе.

Ранее числа использовали для простых математических расчётов. Сегодня, в связи с бурными темпами развития технологий, роль чисел сложно переоценить.

Основные отличия между цифрой и числом

Подытоживая вышесказанное, можно выделить несколько главных отличий между числами и цифрами:

Есть различия в этих понятиях и с точки зрения лингвистики, например, для озвучивания статистики и других официальных данных, нужно использовать термин «цифра».

Некоторые придают цифрам магический смысл и считают, что каждое число по-своему влияет на человека, его дальнейшую судьбу. Наука, занимающаяся изучением подобных явлений, называется нумерологией.

Источник

Чем число отличается от цифры?

Число и цифра — это разные понятия. Нередко мы говорим: «Приведем такие цифры», понимая под этим именно числовые данные. Неправильно было бы говорить: «В этом случае цифры больше», имея в виду, например, объемы производства или продажи товара, потому что это численные показатели. Хотя, конечно, слово «цифры» может употребляться для обозначения числовых данных, но только в множественном числе.

Что же такое число? Это абстрактная сущность, которую используют для определения количественной характеристики объектов. Число возникло еще в глубокой древности и стало основным понятием математики. Например, говорят о натуральных числах, четных и нечетных, даже о мнимых.

А цифра — это только знак для отображения чисел. Цифр всегда ограниченное количество. Например, арабские (точнее, индийские) цифры, которыми мы пользуемся, это 0, 1, 2, 3,4, 5, б, 7, 8, 9. Их десять. Из них можно составить бесконечное множество чисел — двух-, трехзначных и т.д.

Надо отличать однозначные числа от многозначных. Например, 5 — это и цифра, и число, а вот 10 — только число, цифрой называть его неправильно.

Для обозначения римских цифр используются буквы I, V, X, L, С, D, М (I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, С — 100, D — 500 и М — 1000). Есть и другие системы счисления: двоичная, где используются только две цифры — 0 и 1; восьмеричная, где используются 8 цифр — от 0 до 7; шестнадцатеричная, где используются 16 цифр (к обычным 10 цифрам добавляются 6 первых букв латинского алфавита); двенадцатеричная и шестидесятеричная. Две последние системы придуманы в древнем Шумере и Вавилоне, а сейчас они используются в часах. В двенадцатеричной системе счет велся по фалангам всех пальцев, кроме большого.

Числа составляются из цифр при помощи систем счисления. Они бывают позиционными и непозиционными.

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от места расположения, то есть разряда. Например, 15 и 51 — это разные числа, составленные из одинаковых цифр. В первом случае цифра 1 означает десяток, во втором — единицу.

В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от места, где она расположена. Таковой является римская система. Например, в числах IX и XI символ I всегда означает единицу, только в первом случае ее надо вычесть из десятки, а во втором — прибавить к ней. В данном случае система накладывает определенные ограничения на порядок цифр (расположение по возрастанию или убыванию), но позиционной все же не является.

Путешествия цифр

Арабские цифры, в том числе и ноль, на самом деле возникли в Индии не позже V в. Арабы лишь приспособили их к своему письму. Ученый Аль-Хорезми (783—850) успешно использовал эти цифры и даже написал книгу «Об индийском счете», где показал, насколько такая система удобна. Цифры были оценены по достоинству, распространились по всему Арабскому халифату, в том числе во входившей в его состав Испании. Так в X в. они попали в Европу, поэтому за ними утвердилось название арабских.

Источник

Приведите доказательства того что цифра не более чем условный знак

Электронные облака

Лекции

Рабочие материалы

Тесты по темам

Template tips

Задачи

Логика вычислительной техники и программирования

Лекция «Системы счисления»

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.

В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4.

Классификация систем счисления

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления

Путем долгого развития человечество пришло к созданию позиционного принципа записи чисел, который состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево. Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз. Это отношение носит название основание системы счисления (у непозиционных систем счисления понятия «разряда» и «основания» отсутствуют).

Общее свойство всех позиционных систем счисления: при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. Например: Римская система счисления.

Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

С их помощью можно записывать натуральные числа. Например, число 1995 будет представлено, как MCMXCV (М-1000,СМ-900,ХС-90 и V-5).

Правила записи чисел в римской системе счисления:

Например, запись XXX обозначает число 30, состоящее из трех цифр X, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10. Запись MCXX1V обозначает 1124, а самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число MMMCMXCIX (3999). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить все новые обозначения. По этой причине, а также по причине отсутствия цифры ноль, римская система счисления не годится для записи действительных чисел.

Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных систем счисления:

Алфавит и основание системы счисления

Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например:
Десятичная система: <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>
Двоичная система: <0, 1>
Восьмеричная система: <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7>
Шестнадцатеричная система:

Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля.

Развёрнутая форма представления числа

Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Несмотря на то, что исторически человек привык работать в десятичной системе счисления, с технической точки зрения она крайне неудобна, так как в электрических цепях компьютера требовалось бы иметь одновременно десять различных сигналов. Тем не менее, такие схемы существуют в некоторых видах микрокалькуляторов.

Чем меньше различных сигналов в электрических цепях, тем проще микросхемы, являющиеся основой конструкции большинства узлов ЭВМ, и тем надежнее они работают.

Наименьшее основание, которое может быть у позиционных систем счисления это – двойка. Именно поэтому двоичная система счисления используется в вычислительной технике, а двоичные наборы приняты за средство кодирования информации. В компьютере имеются только два устойчивых состояния работы микросхем, связанных с прохождением электрического тока через данное устройство (1) или его отсутствием (0). Говоря точнее, (1) кодирует высокое напряжение в схеме компьютера, а (0) – низкое напряжение.

Если вспомнить, что двоичная система счисления обладает самыми маленькими размерами таблиц сложения и умножения, то можно догадаться, что этот факт должен сильно радовать конструкторов ЭВМ, поскольку обработка сигнала в этом случае будет также самой простой. Таким образом, двоичная система счисления, с точки зрения организации работы ЭВМ, является наилучшей.

Мы уже говорили о преимуществах двоичной системы счисления с технической точки зрения организации работы компьютера. Зачем нужны другие системы счисления, кроме, естественно, еще и десятичной, в которой человек привык работать? Чтобы ответить на него, возьмем любое число в десятичной системе счисления, например 255, и переведем его в другие системы счисления с основаниями, кратными двойке:

Чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для его записи то есть, тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности. Поэтому, наряду с двоичной и десятичной системами счисления, в вычислительной технике применяют так же запись чисел в 8-и 16-ричных системах счисления. Поскольку их основания кратны двойке, они органично связаны с двоичной системой счисления и преобразуются в эту систему наиболее быстро и просто (по сути они являются компактными видами записи двоичных чисел). Все другие системы счисления представляют для вычислительной техники чисто теоретический интерес.

Решение задач

1. Какое число записано с помощью римских цифр: CLVI

Решение: Зная обозначения, запишем: С – 100; L – 50; V – 5; I – 1

Решение: Пользуемся формулой:

a1 = 3; a2 = B; a3 = F; a4 = A

Следовательно: 3ВFA₁₆ = 3*16 3 + B*16 2 + F*16 1 + A*16 0
Ответ: 3ВFA₁₆ = 3*16 3 + B*16 2 + F*16 1 + A*160

3. Запишите в свёрнутой форме число 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0

Решение: Пользуемся формулой:

Следовательно: 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 147₈
Ответ: 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 1478

Алгоритмы перевода в системы счисления по разным основаниям

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в любую другую

Алгоритм перевода произвольных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием q=2 n

Решение задач

1. Переведём в 10-ую с.с. число: 0,123₅

Решение: Действуем строго по алгоритму перевода чисел из любой системы счисления в десятичную:

Найдём сумму ряда: 0,2 + 0,08 + 0,024 = 0,304₁₀

Ответ: 0,123₅ = 0,304₁₀

2. Переведём число 126₁₀ в 8-ую с.с. и число 180₁₀ в 16-ую с.с.
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода целых чисел из 10-ой с.с. в любую другую:

Во втором примере процесс можно продолжать бесконечно. В этом случае деление продолжаем до тех пор, пока не получим нужную точность представления. Записываем числа сверху вниз.

Ответ: 0,65625₁₀ = 0,А8₁₆; 0,9₁₀ = 1,111001₂ с точностью до семи значащих цифр после запятой.

4. Переведём число 124,26₁₀ в шестнадцатеричную с.с.
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода произвольных чисел:

Переводим целую и дробную часть:

Записываем полученные числа справа налево (в целой части) и сверху вниз (в дробной части).
Ответ: 124,26₁₀ = 7С,428А₁₆

5. Переведём число: 1100101001101010111₂ в шестнадцатеричную систему счисления

Решение: Действуем строго по алгоритму перевода чисел из 2-ой с.с в с.с. с основанием 2 n :

Источник