Приведите доказательства того что цифра не более чем условный знак какие различия

Лекция 6. Системы счисления

Как только люди стали общаться, т.е. передавать информацию, они стали считать. Первыми инструментами счета были пальцы рук и простые предметы. Затем расчеты стали фиксировать, что привело к появлению систем счисления.

Система счисления — это система отображения любого числа с по­мощью ограниченного количества условных знаков, называемых циф­рами.

Сначала люди придумали непозиционные или кодовые системы счисления (IV тысячелетие до н.э.), в которых расположение цифр в числе не имеет значения и для обозначения каждого числа существует свой символ.

I (1)

V (5)

X (10)

L (50)

C (100)

D (500)

M (1000)

Но и этой системе присущи все недостатки непозиционных систем. Чтобы от них избавиться понадобились позиционные системы.

Если место, занимаемое символом в записи числа, придает этому символу определенное значение, то такая система счисления называется позиционной.

Индо-арабская десятичная система (VI в.) наиболее естественна для человека, т.к. считать мы учимся на пальцах, а их на двух руках как раз 10. В этой системе 10 цифр: от 0 до 9. Каждая цифра в числе при перемещении справа налево в следующий разряд увеличивает свое значение в 10 раз.
Любое число может быть представлено в виде суммы, где каждое слагаемое представляет собой произведение коэффициента (цифры числа) на основание системы (10) в степени, равной разряду этой цифры.

Какая разница между числом и количеством? Одно и то же количество может быть выражено разными числами. Числа записываются с помощью цифр. Не следует путать понятия: цифра, число, количество. Использовать текстовую информацию позволяет алфавит, а количественную — системы счисления.

Как вы думаете, изменилось ли количество, которое определяется этим числом? Конечно, нет. Изменился вид самого числа, да и то по­тому, что изменились условные знаки, называемые цифрами.

Трудно определить, сколько всего существует систем счисления. Скорее всего, бесконечное множество. В позиционных системах счислениявес цифры зависит от места (позиции), которую она занимает в числе.

Мы помним, что в записи числа используются позиции (разряды) единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, т. е. число можно пред­ставить в следующем виде:

Цифра 5, входящая в число 35 876, обозначает пять тысяч, потому что она находится именно в той позиции, в которой указывается ко­личество тысяч, или, иными словами, именно нахождение в данной позиции определяет ее вес. В числе 68952 тоже есть цифра 5, но ее вес, определяемый позицией в этом числе, составляет пять десятков.

В непозиционных системах счислениятакой закономерности нет, т.е. вес цифры не зависит от ее позиции в числе. Классический при­мер непозиционной системы счисления — римская система, которая используется до сих пор, правда в основном для нумерации.

Особый интерес из позиционных систем для нас представляют такие, веса которых являются членами геометрической прогрессии. Рассмотрим несколько рядов чисел:

Что общего в этих рядах чисел? Каждое следующее число в них получается из предыдущего путем умножения его на конкретное число. В первом ряду это 2, во втором 3, в третьем 4, в четвертом 5 и т.д.

Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией, сами чис­ла ряда — это члены геометрической прогрессии, а то число, умножая на которое предыдущий (или n-й) член прогрессии, мы получаем по­следующий, или (п + 1)-й, является знаменателем геометрической прогрессии, обозначим его р.

Давайте теперь представим десятичное число 64572 187 в весовом виде:

64 572 187 = 7*1 + 8*10 + 1*100 + 2*1000 + 7*10000 + 5*100000 + 4* 1000000 + 6*10000000

и в виде таблицы по весам позиций и цифрам в этих позициях:

Вес позиции. 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 100000000

Цифра. 7 8 12 7 5 4 6

Видно, что веса привычной нам десятичной системы счисления являются членами геометрической прогрессии, знаменателем такой прогрессии выступает число 10, т.е. р = 10, оно называется основани­ем системы счисления, а сама система называется р-ричной системой счисления.

Запишем теперь число из таблицы с использованием сте­пеней числа 10 — основания десятичной системы счисления:

Теперь попробуем записать представления числа по степеням осно­вания р-ричной системы счисления в общем виде:

(2)

Но ведь число может иметь и дробную часть, а веса позиций в дроб­ной части — числа отрицательные. Рассмотрим пример десятичного дробного числа 0,874562. Веса позиций, если идти от десятичной за­пятой вправо, таковы:

Если использовать десятичные дроби, то веса будут выглядеть следующим образом:

0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001,

или то же самое с использованием отрицательных степеней числа 10:

Значит, аналогично записи (1) предложенное дробное число мож­но представить так:

Следовательно, выражение (2) для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть, примет следующий вид:

(3)

Мы говорили о том, что любая система счисления использует огра­ниченное число условных знаков — цифр. Оказывается, что количество этих знаков равно основанию системы р. И действительно, в десятич­ной системе их десять, это 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А сколько их долж­но быть, например, в шестеричной системе счисления, т. е. когда р = 6. Цифр будет шесть, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. А в восьмеричной? Восемь, это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Как быть, если основание системы больше 10, например 12 или 16?

В этом случае на помощь приходят буквы латинского алфавита: А, В, С, D и т.д. Правда в этом случае они называются уже не буквами, а цифрами. Итак, основание системы счисления может быть любым, все системы равноправны, но тем не менее мы используем десятичную систему счисления. Причина проста: на руках 10 пальцев — это, на­верное, и есть наш первый «вычислитель».

Особо мы будем еще рассматривать двоичную систему счисления, поскольку она более удобна для использования в компьютерах. Основным элементом, который хранит 1 бит информации в ком­пьютере, является триггер. Для хранения нескольких бит информации используются столько элементов, сколько бит надо хранить. Как пра­вило, эти элементы и есть триггеры, в этом случае они образуют ин­тегральную схему, которая называется регистром.

Если попытаться дать более строгое определение, то регистр — это совокупность эле­ментов, которые могут принимать, хранить и выдавать информацию в компьютере. Регистры играют очень большую роль в работе микропроцессора компьютера и других его частей.

Задание: ответить на вопросы учебника Цв. Стр.54, вопр. 1-5.

Источник

Чем отличаются цифры от чисел?

Первые упоминания о цифрах встречаются ещё около 500 лет до нашей эры, и все давно знают, что такое число и цифра. Но если задать вопрос по-другому, и спросить в чём разница между числом и цифрой, многие не смогут дать правильный ответ. Чтобы понять разницу между этими терминами, стоит более детально разобраться в понятиях «цифра» и «число». Только так можно изучить в чём их отличия.

Цифры: виды и особенности

Систему знаков, которую используют для обозначения чисел на письме, называют цифрами. Это различные символы, обозначающие какое-либо число. Знаки «-» и «+» тоже используют для записей, но цифрами они не являются, потому что не обозначают конкретных чисел. Эти знаки используются для записи разных действий с числами.

Цифрами называют цифровой ряд от 0 до 9. Такое название пришло к нам из арабского языка и дословно переводится как пустое место, или ноль. На сегодняшний день существуют различные виды цифр, есть:

Это самые распространённые разновидности цифр. Но есть и другие варианты, которые используют разные народы.

Интересно: Раньше, для обозначения чисел, приходилось делать зарубки на скалах и других материалах. Наши предки рисовали палочки и символы в огромном количестве, чтобы вести счёт. С появлением цифр задача упростилась. Теперь, чтобы обозначить большое число, достаточно написать всего несколько символов.

В некоторых языках числа до сих пор записывают буквами, к примеру, в древнегреческом языке. В народе под цифрами понимают различные числа, и используют цифры для записей и расчётов. Цифра не может быть отрицательной, натуральной или дробной, это всего лишь графический символ необходимый для письма.

Европейцы используют арабские цифры, которые впервые упорядочили ещё в 13 веке. До этого счёт вели с помощью римских символов. Теперь такие символы можно встретить только в книгах и на циферблате некоторых часов, а выглядят они как палочки.

Что называют числом?

Качественные характеристики, нумерацию и сравнение, в математике описывают отдельным термином – числом. Записывают числа символами – цифрами.

Ещё в первобытном сообществе появилась необходимость счёта, поэтому люди стали придумывать разные символы, чтобы записывать полученные данные. Число может быть:

Есть также комплексные и действительные числа. Последние два варианта часто используются в математическом анализе.

Ранее числа использовали для простых математических расчётов. Сегодня, в связи с бурными темпами развития технологий, роль чисел сложно переоценить.

Основные отличия между цифрой и числом

Подытоживая вышесказанное, можно выделить несколько главных отличий между числами и цифрами:

Есть различия в этих понятиях и с точки зрения лингвистики, например, для озвучивания статистики и других официальных данных, нужно использовать термин «цифра».

Некоторые придают цифрам магический смысл и считают, что каждое число по-своему влияет на человека, его дальнейшую судьбу. Наука, занимающаяся изучением подобных явлений, называется нумерологией.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Детский вопрос, но все таки. Формализовать его можно так:

Термин «цифра» происходит от арабского слова «cifra» и обозначает «ноль, пустой, ничего». Наиболее распространенными в мире являются так называемые «арабские цифры», которыми мы привыкли пользоваться. Это система из десяти знаков от 0 до 9. К слову, на самом деле она придумана в Индии, а не в арабских странах. До этого счет велся при помощи ровных линий – палочек. Каждая палочка соответствовала определенной цифре, например, пять палочек – пятерка, семь палочек – семерка и т.д. Больше всего такая система походила на зарубки, но была крайне неудобной для графического изображения больших чисел.

В древней Индии математика развивалась довольно активно, поэтому более удобная система счисления была придумана именно здесь примерно в V веке. Однако европейцы переняли цифры от арабов, которые к тому времени усовершенствовали десятичную систему. Из-за этого цифры начали называть арабскими. Не любой знак может называться цифрой. Ее признаком является способность описывать определенные числа. Например, «+» – это тоже знак, но не цифра. Если дополнительного уточнения нет, то цифрой обозначают один из знаков от 0 до 9.

Слово «цифра» имеет множество нюансов в плане употребления, хотя на многие из них мы не обращаем внимания в повседневной жизни. Например, выражение «эти цифры больше» является неверным, поскольку сравнению подлежат числа, а не цифры. Существуют и другие системы цифр. Например, наиболее близкие для нас, которые все еще используются – римские. С их помощью чаще всего указываются века: I, II, III и т.д.

Число считается одним из главных понятий в математике. Его используют для сравнения, нумерации, описания количественной характеристики. Таким образом, числа обозначаются при помощи цифр, а также математических символов («плюс», «минус», «скобки» и др.).

Необходимость вести счет чего-либо возникла еще у первобытных людей, и понятие числа постепенно становилось все сложнее. С развитием науки оно обрело еще более глубокий и важный смысл. Выделяют несколько числовых множеств:

1. натуральные – используются при естественном счете (от единицы и до бесконечности, а иногда и от ноля);

2. целые – объединение натуральных, отрицательных чисел и ноля;

3. рациональные – дроби; действительные – представляют собой расширение множества рациональных чисел;

4. комплексные – расширение множества действительных чисел.

Чем отличается цифра от числа?

Таким образом, цифра – это просто знак, символ, который можно сравнить с буквами в словах. Число же является математическим понятием, количественным показателем, и для его графического изображения используются именно цифры. Рассматривая статистики, графики, отчеты – любые количественные данные, мы видим числа, а не цифры.

Разнообразие чисел довольно большое. Они могут быть целыми, четными, нечетными, положительными, отрицательными и т.д. Также не существует какого-либо последнего числа – всегда будет то, что больше него. Количество цифр ограничено десятью знаками: от 0 до 9. Сравнивать между собой можно только числа, а не цифры.

Источник

На основании какого принципа были изобретены арабские цифры, и кто это сделал на самом деле

Традиционные цифры, используемые во многих странах для записи чисел, на самом деле придумали индийцы. Миф об арабских корнях сформировался из-за того, что арабы активно способствовали распространению этой системы счисления, основанной на 10-ти численных знаках. Сегодня именно в арабских странах, занимающих территории Азии, и в Египте используют отличные от всего мира символы для записи чисел.

Индийцы разработали позиционное счисление и объяснили смысл понятия «0» не позднее V столетия н. э. После этого стали появляться индоарабские и арабские цифры, из «индийских», как их во время становления и распространения называли арабы.

Доказательства того, что именно Индия является родиной арабских цифр

Во-первых, арабы пишут буквы, начиная с правой стороны строки, двигаясь налево, а цифры наоборот, что в корне не соответствует их технике письма.

Современные числовые ряды на разных языках

Есть еще более существенное и документально зафиксированное доказательство того, что именно индийцы превзошли все народы и создали азы современной арифметики. Им является книга среднеазиатского математика, жившего в IX в., Джафара Аль-Хорезми, названная им «Краткая книга восполнения и противопоставления».

Происхождение знаков, обозначающих цифры

Существует 2 основные версии происхождения цифр. По первой, они появились в древнеиндийском языке деванагари, произошедшем от письменности брахми. Принципы построения графики в нем зависили от произношения слов. Числительные записывались той буквой, с которой начинается произношение слова, обозначающего ее.

По этой версии первые индийские цифры выглядели следующим образом:

Есть еще одна версия, исходя из которой числовые знаки изначально представляли собой черточки, соединенные особым образом, так, чтобы в каждой цифре, обозначающей определенное число, было соответствующее ему количество углов. Согласно этой теории, у единицы — 1 угол, у двойки — 2 и так далее.

Сравнивая знаки из 2-х таблиц, можно увидеть значительную разницу в начертаниях. Но сопоставляя цифры современных языков, видно, что и та, и другая теория имеет под собой серьезные основания, так как арабские цифры, которые использует большая часть жителей планеты, по внешнему виду похожи на цифры, подтверждающие теорию углов. А арабские, персидские, бенгальские и тибетские цифровые обозначения по внешнему виду напоминают цифры деванагари, когда-то принятые в индийской культуре.

Первые цифры появились в Индии, а до нас дошли сильно эволюционировавшие числовые знаки, которые были формализованы посредством подсчета количества углов.

Понравилась статья? Подпишитесь на канал, чтобы быть в курсе самых интересных материалов

Источник

Цифры

Существуют также много других вариантов («алфавитов»):

* римские цифры (I V X L C D M)

* шестнадцатеричные цифры (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F)

* цифры майя (от 0 до 19)

в некоторых языках, например, в древнегреческом, в иврите, в церковнославянском, существует система записи чисел буквами и др.Во множественном числе в обиходной речи слово цифры также может обозначать «числовые данные», так как любое число записывается набором цифр. Например, выражение «приведём такие „цифры“» на самом деле говорит о числах, и даже когда речь идёт об одном числовом данном, записанном одной цифрой, следует употреблять множественное число. Однако неверно говорить «здесь цифры больше», так как сравниваются не цифры, а числа.

Само слово цифра происходит от арабского صفر ṣifr «ничего, ноль» и в современном русском языке пишется через букву «и», в отличие от слов-исключений: цыган, цыплёнок, цыпочки и др.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Поря́дковые числи́тельные — класс имён числительных, обозначающий порядок предметов при счёте.

Надстрочный знак, ве́рхний и́ндекс, суперскри́пт (англ. super script) (типографика) — знак, записанный выше основной строки. Применяется, например, при записи математических и химических формул.

Малые заглавные, или капите́ль (англ. small caps; нем. kapitälchen; от лат. capitellum — головка) — начертание в гарнитуре, в которой строчные знаки выглядят как уменьшенные заглавные. Чтобы подчеркнуть разницу между капителью и строчными буквами, её делают немного выше строчных, а полуапроши капительных знаков увеличивают.

Источник