При использовании функции наращенной суммы предполагается что
Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений
Коммерческие отношения в современном бизнесе связаны с принятием финансовых решений, например: при расчетах доходности на рынке ценных бумаг; оценке доходности капиталовложений в реальное производство; в связи с необходимостью учесть экономическую неэквивалентность одинаковых сумм денег в разные календарные сроки, т.е. временную стоимость денег; при обнаружении влияния инфляции на перечисленные выше процессы.
Деловой человек должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.
В данной публикации не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.
Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S0). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:
где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.
Исходная сумма может быть рассчитана как
При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм
Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.
В банк положено 3000 руб. на срок один год шесть месяцев. Ставка простых процентов равна 20% в год. Определим наращенную сумму через полтора года.
I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.
На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:
S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.
Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.
Предположим, что ссуда, равная 10 000 руб., выдана сроком на полгода под 20% простых годовых. Простой дисконт также 20%. Тогда наращенная сумма к возврату под простой процент составит
I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.
Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую, чем в первом случае, сумму:
Чтобы получить на руки кредит в сумме 10000 руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору большую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.
Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:
Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дисконт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.
И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени. Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:
Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.
Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.
Пример. В первом контракте сумма обязательства составляет 20000 руб. исходя из простых 30% в год с выплатой 12000 руб. через два года, остальных 8000 руб. — через пять лет, т.е. по окончании контракта.
Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.
Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:
где S(1)1 и S(1)2 — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;
S(2)1 + S(2)2 — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.
В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты. Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит:
S(1)1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;
S(1)2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;
S(2)1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;
S(2)2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.
Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:
7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.
Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму — 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).
На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.
где S0 — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); S t — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.
Предположим, что банк ежегодно начисляет сложные проценты (30%) на вклад в сумме 100000 руб. Тогда наращенная сумма через два года составит
St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 4 = 285610 руб.
Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годаставка сложных процентов будет равна i/m где т — число раз начисления процентов в году.
В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:
Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е. число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит
St= 100000 руб. * (1 + 0,3/4) 2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075) 8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.
При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.
При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.
В финансовых расчетах с использованием сложных процентов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возможность получить тот же результат, как и при начислении процентов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспечивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.
Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где iэф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны
(1 + iэф) t = (1+i m /m) mt
Отсюда эффективная ставка составит
iэф = (1+ i m /m) mt – 1
Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.
iэф = (1+0,2/4) 4 – 1 = 0,2155 = 21,55%
Наращенная сумма при этом составит
St = S0 * (1 + iэф) t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.
При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:
St = S0 / (1+ i m /m) tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4) 4 = 300 * (1,5) 4 = 364,65 тыс.руб.
В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм
где Sинф — наращенная сумма с учетом инфляции; S0 — базовая сумма; i m — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.
Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 800 тыс. руб. (S0). Номинальная годовая банковская ставка (i m ) равна 48%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции (h) равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через четыре месяца, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит (Sинф – S0):
Sинф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48 / 12) 4 / (1+0,1) 4 = 639,2 тыс.руб.
Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.
Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.
В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели.
© Интернет-проект «Корпоративный менеджмент», 1998–2021
Способы определения современной стоимости денег и наращенной суммы вложений
Деловой человек должен владеть как теорией, так и техникой принятия финансовых решений, используя количественные методы для получения выводов о целесообразности сделанного выбора вложения капитала. Финансовая математика приобретает все большую роль в экономическом анализе.
В данной публикации не рассматривается сложный математический аппарат учета факторов неопределенности и риска, содержащий разные разделы теории вероятности и новейшие модели математических теорий. Внимание будет уделено простым способам определения современной стоимости денег — дисконтированию будущих сумм на сегодня, определению наращенной суммы вложений, в том числе в условиях инфляции, эрозии капитала.
Рассмотрим основную формулу наращения простых процентов, когда наращенная сумма (I) рассчитывается с учетом того, что проценты на проценты не начисляются, а начисляются они на одну и ту же исходную сумму (S0). В этом случае алгоритм расчета наращенной суммы будет таким:
где i — годовая процентная ставка; t — число периодов начисления процентов.
Исходная сумма может быть рассчитана как
При расчете числа простых процентов, выплачиваемых банком, используется алгоритм
Рассмотрим применение этих алгоритмов на условном числовом примере.
I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.
На основе имеющихся данных рассчитаем исходную сумму, если известны сумма наращения и годовая ставка простых процентов и если они неизвестны:
S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.
Надо обратить внимание на то, что кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Сравним наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.
I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11000 руб.
Если ссуда получена под простой дисконт при прочих равных условиях, то вернуть надо будет большую, чем в первом случае, сумму:
Чтобы получить на руки кредит в сумме 10000 руб. под простой дисконт, надо задолжать кредитору большую сумму, так как при выдаче ссуды дисконт вычитается.
Поскольку простой процент представляет собой отношение суммы приращения за какой-то срок к начальной сумме, это есть ставка процента, эффективность вложений, или интерес кредитора (по зарубежной терминологии). Дисконт, или относительная скидка, — это отношение суммы приращения за определенный срок к наращенной сумме. В практических финансовых расчетах с использованием дисконта удобно применять дисконт-фактор (V) — отношение начальной суммы вложений к наращенной или разность между единицей и дисконтом за определенный срок:
Для расчета суммы, которую клиент получит на руки, если по условиям кредитного договора ссуда выдается под простой дисконт, надо предполагаемую к возврату сумму умножить на величину дисконт-фактора.
И в теории, и на практике постоянно приходится решать вопрос о том, в каком соотношении находятся суммы денег, полученные в разные моменты времени. Рассчитать современную ценность суммы денег можно путем ее дисконтирования. Для определения современной, или приведенной, ценности денег можно воспользоваться алгоритмом:
Расчет базируется на алгоритме исчисления суммы наращения, приведенном выше. При этом внимание принимается возможность использования денег путем инвестирования в банк под простой годовой процент. Годовая ставка носит название номинальной.
Две или несколько приведенных сумм денег считаются эквивалентными, если их современные ценности одинаковы. Эквивалентность приведенных сумм используется для сравнения контрактов на получение ссуды, а также при решении вопроса об изменении условий такого рода сделки.
Во втором контракте сроком на четыре года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы — через три года от настоящего момента.
Надо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми, эквивалентными, т.е.:
S(1)1 + S(1)2 = S(2)1 + S(2)2
где S(1)1 и S(1)2 — дисконтированные (приведенные) суммы в первом контракте;
S(2)1 + S(2)2 — дисконтированные (приведенные) суммы платежей во втором контракте.
S(1)1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;
S(1)2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;
S(2)1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;
S(2)2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.
Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:
7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.
Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму — 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).
На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов. Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.
Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + i)t. Наращенная сумма исчисляется по алгоритму:
где S0 — базовая сумма (современная стоимость суммы денег); St — будущее значение суммы денег; i — годовая процентная ставка; t — срок, по истечении которого современное значение денег изменится.
St = 100000 руб. * (1 + 0,3)2 = 169000 руб. Через четыре года она будет равна St = 100000 руб. * (1 + 0,3)4 = 285610 руб.
Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще — каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годаставка сложных процентов будет равна i/m где т — число раз начисления процентов в году.
В этом случае алгоритмы расчета наращенной суммы выглядят так:
Дополним условия предыдущего примера тем, что та же годовая ставка сложных процентов (30%) применяется четыре раза в году, т.е. число начислений возрастает. Тогда наращенная сумма, например, за два года составит
St= 100000 руб. * (1 + 0,3/4)2*4 = 100000 руб. * (1 + 0,075)8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тыс.руб.
При начислении один раз в год наращенная сумма за два года, как мы видели, составила лишь 169000 руб.
При увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма будет возрастать.
В финансовых расчетах с использованием сложных процентов принято определять эффективную ставку, т.е. такую годовую номинальную ставку сложных процентов, которая дает возможность получить тот же результат, как и при начислении процентов несколько раз в году. Равенство наращенных сумм обеспечивается здесь равенством первоначальных сумм, периодов и множителей наращения.
Эффективная процентная ставка будет больше номинальной. Это видно из соответствующих алгоритмов, где iэф — эффективная ставка. Множители наращения должны быть равны
Отсюда эффективная ставка составит
Используя приведенный алгоритм, рассчитаем эффективную ставку сложных процентов при ежеквартальном начислении, если номинальная ставка — 20%, а период равен году. Первоначальная сумма — 300 тыс. руб.
iэф = (1+0,2/4)4 – 1 = 0,2155 = 21,55%
Наращенная сумма при этом составит
St = S0 * (1 + iэф)t = 300 тыс. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тыс. руб.
При начислении сложных процентов четыре раза в году получим ту же наращенную сумму:
St = S0 / (1+ im/m)tm = 300 тыс.руб. / (1 + 0,2/4)4 = 300 * (1,5)4 = 364,65 тыс.руб.
В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой — утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм
Sинф = S0 * (1 + im/m)t / (1 + h)t
где Sинф — наращенная сумма с учетом инфляции; S0 — базовая сумма; im — годовая номинальная банковская ставка, применяемая m разв году; h — ожидаемый месячный темп инфляции; t — число месяцев.
Sинф = 800 тыс.руб. * (1 + 0,48 / 12)4 / (1+0,1)4 = 639,2 тыс.руб.
Эрозия капитала составит: 639,2 тыс. руб. – 800 тыс. руб. = –160,8 тыс. руб.
Чаще всего финансовые операции имеют продолжительный характер, состоят не из одного разового платежа, а из потоков платежей и нередко с разными знаками. В качестве примера можно привести: ежегодные выплаты процентов по облигациям, ежемесячные взносы на погашение потребительского кредита, получение ежемесячных стипендий от благотворительного фонда; арендные платежи; периодические вклады в банк для образования страхового фонда и др.
В таких финансовых операциях возникает необходимость найти наращенную сумму потока платежей или, наоборот, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для целого ряда финансовых расчетов разработаны математические модели.
Работа с табличным процессором MS Excel
Комитет по образованию Санкт-Петербурга
Государственное образовательное учреждение СПО
Санкт-Петербургский колледж управления и экономики
«Александровский лицей»
Работа с табличным процессором MS EXCEL
Учебное пособие. Часть 2. Финансовые вычисления.
Часть 2. пособия представляет собой курс по использованию финансовых функций MS EXCEL и рекомендовано для студентов экономических специальностей, изучающих информационные технологии применительно к профессиональной деятельности.
Пособие содержит много примеров.
Подробно излагаются теоретические аспекты использования финансовых расчетов для выполнения несложных финансовых задач пользователя.
Пособие предназначено для студентов колледжа.
Лабораторная работа №7[1]
Тема: Финансовые вычисления в MS Excel
Время в финансовых расчетах
Измерение времени в финансовых расчетах имеет свои особенности. При предоставлении краткосрочного кредита оплата за его использование пропорциональна времени, на которое он предоставлен. Здесь мы и сталкиваемся с некоторым несовершенством нашего календаря.
Например, пусть один кредит предоставлен на первое полугодии 2004 года, а другой – на второе полугодие 2004 года. На первый взгляд сроки кредита одинаковы – полгода, но первое полугодие длится 182 день, а второе – 184. Поэтому измерение времени в финансовых расчетах сопровождается условными соглашениями.
Фактически можно выделить два основных подхода:
1.Придерживаться точного числа дней в году (365, 366) и точного числа дней в месяцах.
2.Считать, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом.
Кроме этих двух подходов существуют и промежуточные. Рассмотрим подробнее, как подсчитывать количество дней, разделяющих две даты. Если мы рассматриваем так называемую фактическую длину года и месяцев, то ответ прост – это разность между двумя датами. Но как поступить при использовании второго подхода к измерению времени. Для этого в MS Excel есть специальные функции.
è Например, вычислить разность между датами 31 августа и 28 июля 2004 г.
В ячейках столбца D показаны формулы, по которым произведены вычисления в соответствующих ячейках столбца С
Для американского метода конечная дата превратилась в первое сентября, поэтому разность, вычисленная по американскому методу (строка 2) на один день больше.
ДОЛЯГОДА(нач_дата, кон_дата, базис). Эта функция возвращает частное от деления количества дней между начальной датой и конечной датой на количество дней в году. Здесь может быть несколько вариантов, полученных сочетанием методик вычисления разности между двумя датами и определением количества дней в году. Эти варианты определяют выбор базиса. В таблице 1 приведены различные варианты методик вычисления разности дат и соответствующие им базисы.
Таблица 1. Базис для расчетов в функции ДОЛЯГОДА
è Например, в продолжение предыдущего примера вычислить долю года между датами 28 июля и 31 августа. Год 2004 выбран не случайно, он високосный.
В ячейках столбца С показаны формулы, по которым произведены вычисления в соответствующих ячейках столбца В
Функции для анализа инвестиций
Существуют различные способы начисления процентов от предоставления денег в долг в любой форме.
Проценты различают по базе их начисления. Применяются постоянная и последовательно изменяющаяся база. В последнем случае за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования.
При постоянной базе используют простые проценты, при переменной – сложные процентные ставки.
Рассмотрим схему однократного представления некоторой суммы P в кредит на время t. За использование кредита надо платить. Возврат кредита составит S=P+I. Плата I (Interest) носит название «процент».
Какой выбрать величину процента? Логичнее всего положить процент пропорциональным сумме кредита Р. С другой стороны, чем больше время, на которое предоставлен кредит, тем больше процент. Опять таки естественно предположить, что плата за кредит пропорциональна времени его использования. В результате приходим к формуле:
I=rPt, где r – коэффициент пропорциональности – носит название «процентная ставка».
В каких единицах измерять величины, входящие в формулу? Понятно, что I и P измеряются в денежных единицах: рублях, долларах, евро …. А вот время измеряется, как правило, в годах. Причем количество лет может быть и не целым. Тогда используют доли года. Размерность процентной ставки r (rate of interest) – 1/год. Однако никто не говорит, что ставка составляет 0, 06 в год. Принято говорить: ставка составляет 6% годовых в рублях.
Величина наращенной суммы (accumulated value) определяется по формуле S=P(1+rt). Если t равен году, то формула упрощается S=P(1+r). Отношение S/P называется коэффициентом наращения.
Что означает 50 % годовых? S=P(1+0,5) =1,5P. Таким образом, наращенная сумма в полтора раза больше первоначальной. Во сколько раз вырастет исходная сумма при 500% годовых? В шесть раз, т. е. можно сказать: коэффициент наращения равен 6.
Рассмотрим, как проводить вычисления для простых процентов. Задана начальная сумма P, задана ставка процента r, причем надо проследить корректность размерности: ставка должна быть отнесена к году. Время нужно выразить в долях года. Заметим, что день выдачи ссуды и день погашения ссуды считаются одним днем. Поэтому, если нужно вычислить точное число дней ссуды, нужно просто вычесть дату выдачи из даты погашения и не корректировать результат прибавлением единицы.
Доля года вычисляется по формуле: 
, где t число дней ссуды, К – число дней в году, или временная база. Из предыдущего материала известно, что измерение времени в финансовых расчетах дело непростое. Здесь возможны различные соглашения.
è Пример. Ссуда в размере 1 выдана 20 января по 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце года?
Формулировка задачи нуждается в уточнении: в каком году производятся операции: в обычном или високосном. Рассмотрим варианты использования различного базиса (см. таблицу 1). Для лучшего понимания процессом манипулирования данными рекомендуется оформлять задачу на рабочем листе, как показано на рис.1. Ячейкам В2, В3, В4, В5 рекомендуется дать имена, соответствующие наименованиям ячеек, приведенным в ячейках столбца А[3] (см. рис.1)
Рис.1. Расчет суммы возврата кредита
ПРИМЕЧАНИЕ. Использование для ячеек с данными имен, вводимых пользователем в соответствии с наименованием аргументов функции, позволяет лучше понять и усвоить синтаксис функции, однако, с точки зрения реализации в MS Excel в формулах нагляднее использовать ссылки на ячейки (т. е. адреса типа В1, В2 и т. д.)
При использовании финансовых функций нужно учитывать знаки денежных сумм, с чьей точки зрения рассматривается финансовая операция – кредитора или дебитора.
Рис.2. Схемы финансовых операций: а) схема с точки зрения дебитора,
б) схема с точки зрения кредитора
На рис.2 а) дебитор получил в свое распоряжение сумму Р (знак положительный), а в конце периода Т должен вернуть эту сумму с процентами. Он лишается этой суммы, поэтому знак отрицательный. На рис.2 б) та же схема, но с точки зрения кредитора. В начале периода Т он лишается суммы Р, поэтому знак отрицательный, а в конце возвращает ее с процентами.
При использовании финансовых функций нужно учитывать знаки денежных сумм, с чьей точки зрения рассматривается финансовая операция – кредитора или дебитора.
Поэтому настоящее и будущее значение связаны соотношением: S+P(1+rt)=0, из которого ясно, что S и P должны иметь разные знаки. Время в финансовых функциях измеряется периодами: год, квартал, месяц, день.
Тогда r=I/P – процентная ставка (interest rate), а d=I/S – ставка дисконта (discount rate). Легко получить между ними соотношение: r=d/(1-d)
Обычно процентную ставку относят к фиксированному периоду, обычно году.
Начисление по схеме простых процентов (simple interest) производится по формуле S+P(1+rT)=0, а по схеме сложных процентов (сompound interest):
Функция БС
Функция вычисляет для некоторого будущего момента времени величину вложения. Краткое описание аргументов:
Ставка – проценты по вкладам и займам, начисляемые за один период. Например, если выплаты производятся ежемесячно, нужно разделить годовую ставку на 12.
Число периодов (функция КПЕР)–общее количество периодов выплат.
Выплата – фиксированная выплата за каждый период займа или вклада.
Начальное значение (функция ПЗ)– необязательный аргумент, если он не указан, используется нуль, начальное вложение, текущий объем вклада, взятый кредит или ссуда.
è Пример
Выдан кредит в сумме 1 руб. с 15.01.02 по 15.03.03 под 20% годовых. Нужно рассчитать будущее значение исходной суммы.
Прежде, чем воспользоваться функцией БС, произведем некоторые расчеты. Число периодов для простых процентов равно 1. Проценты даны годовые. Поэтому предварительно вычислим процентную ставку за указанный период (см. рис 3).
Рис.3. Пример выполнения функции БС для расчета возвращаемой
суммы кредита
На рис.2 в столбце D показаны формулы вычисления значений соответствующих ячеек столбца С. Рекомендуется использовать имена ячеек В2, В3, В4, В5, как описано выше. В примере использованы имена для ячеек В2, В3, В4, В5, соответствующие наименованиям, приведенным в соответствующих ячейках столбца А.
Поясним третий пропущенный аргумент функции. Под выплатами подразумеваются промежуточные равные выплаты в начале (тип=1) или в конце (тип=0 или опущен) периода. В нашем примере выплат нет.
Понятие будущей стоимости основано на принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Вложения, сделанные сегодня, в будущем составят большую величину. Будущую или наращенную стоимость серии фиксированных периодических платежей, а также будущую стоимость текущего значения вклада или займа при постоянной процентной ставке рассчитывают с помощью функции БС.
Для вычислений по схеме сложных процентов в договорах указывается годовая ставка r и количество начислений процентов m в течение года. Это означает, что базовый период составляет год деленный на m, а ставка сложных процентов приобретает вид: r/m. Формула для сложных процентов приобретает вид:
. Напомним, что Т измеряется периодами. Если начисление происходит k лет, то формула приобретает вид:
.
Рассмотрим различные варианты использования функции БС при решении конкретных задач:
1) Допустим, необходимо рассчитать будущую стоимость единой суммы вклада, по которой начисляются сложные проценты определенное число периодов.
è ПРИМЕР. Ссуда вруб. дана на полтора года под ставку 28% годовых с ежеквартальным начислением. Определить сумму конечного платежа.
Рис.4. Пример выполнения функции БС для расчета возвращаемой суммы по схеме сложных процентов
2) Рассмотрим ситуации, когда платежи производятся систематически, а не один раз, как в предыдущем примере. Эти платежи могут осуществляться в начале каждого расчетного периода (пренумерандо) или в конце (постнумерандо) в течение п периодов. Допустим, что в каждом периоде вносится одинаковая сумма. Требуется найти совокупную величину таких вложений (их общую стоимость) в конце п–го периода для обоих случаев.
Для расчета будущей стоимости серии фиксированных периодических платежей, если они вносятся в начале каждого периода с помощью функции БС формула имеет вид
Для расчета будущей стоимости серии фиксированных периодических платежей, если выплаты происходят в конце периода, запись на рабочем листе имеет вид:
Аргумент тип = 0 можно опустить и записать:
=БС(ставка;число_периодов;выплата), подставив вместо аргументов соответствующие числа.
è ПРИМЕР. Предположим, есть два варианта инвестирования средств в течение 4 лет: в начале каждого года под 26% годовых или в конце каждого года под 38% годовых. Пусть ежегодно вносится руб. Определить, сколько денег окажется на счете в конце 4-го года для каждого варианта.
Использование формул опустим, перейдем сразу же к функции БС. Процесс решения показан на рис.5.
Рис.5. Пример для систематических платежей в начале и конце периода
Задания для самостоятельной работы с функцией БС
1. Рассчитайте, какая сумма будет на счете, если сумма размером 5 руб. размещена под 12% годовых на 3 года, а проценты начисляются каждые полгода.
2. На сберегательный счет вносятся платежи по руб. в начале каждого месяца. Рассчитайте, какая сумма окажется на счете через 4 года при ставке процента 13,5% годовых. Сравните будущее значение счета, если платежи вносятся в конце каждого месяца.
Теперь рассмотрим задачу: как по будущему значению определить текущее (начальное) значение. Для этого воспользуемся функцией ПЗ – приведенное (современное) значение. Синтаксис функции:
Эта функция может быть полезна в следующих расчетах:
1. Допустим, известно будущее, наращенное значение вклада. Требуется определить сумму, которую нужно положить на счет, чтобы в конце n—го периода она достигла заданного значения. В этом случае аргументы выплата и тип опускаются.
è ПРИМЕР. Фирме потребуется 5 руб. через 12 лет. В настоящее время фирма располагает деньгами и готова положить их на депозит единым вкладом, чтобы через 12 лет он достиг 5 руб. Определим необходимую сумму текущего вклада, если ставка процента по нему составляет 12% в год. Решение представлено на рис.6.
Рис.6. Определение суммы текущего вклада с помощью функции ПЗ
Результат получился отрицательный, поскольку это сумма, которую необходимо вложить.
2. Предположим теперь, что требуется найти текущую стоимость будущих периодических постоянных платежей, которые производятся в начале или в конце каждого расчетного периода. Согласно концепции временной стоимости, чем дальше отстоит от настоящего момента поступление или расходование средств, тем меньшую текущую ценность оно представляет. Таким образом, при прочих равных условиях текущая стоимость вкладов пренумерандо больше, чем текущая стоимость вкладов постнумерандо.
В задаче необходимо сравнить, что выгоднее: заплатить сегодня указанную сумму или растянуть платежи на определенный срок. Для сравнения следует привести эти денежные потоки к одному периоду времени, т. е. рассчитать текущую стоимость будущих фиксированных периодических выплат.
Допустим, что выплаты происходят в конце каждого расчетного периода. По условию период начисления процентов равен месяцу.
Рис.7. Расчет текущей стоимости будущих фиксированных периодических
выплат
Запрашиваемая цена (руб.) больше рассчитанной текущей стоимости периодических выплат, следовательно, невыгодно покупать дом сразу, лучше растянуть платежи.
Задания для самостоятельной работы с функцией ПЗ
1. Определите текущую стоимость обязательных ежемесячных платежей размером руб. в течение 5 лет, если процентная ставка составляет 12% годовых.
2. Рассчитайте, какую сумму необходимо положить на счет, чтобы через 4 года она достигла значенияруб. при начислении 9% годовых.
Теперь обратимся к задаче определения продолжительности ссуды при заданных исходном (современном) и будущем значениях и процентной ставке.
Общее число периодов постоянных выплат, необходимых для достижения заданного будущего значения и число периодов, через которое начальная сумма займа (вклада) достигнет заданного значения подсчитывается с помощью функции КПЕР
Эта функция вычисляет общее число периодов выплат, как для единой суммы вклада (займа), так и для периодических постоянных выплат на основе постоянной процентной ставки. Если платежи производятся несколько раз в год, найденное значение необходимо разделить на число расчетных периодов в году, чтобы найти число лет выплат.
Функция может применяться в следующих расчетах:
1. Если рассчитывается общее число периодов начисления процентов, необходимых для того, чтобы начальная сумма размером нач_знач достигла указанного будущего значения буд_сумма, то формула примет вид:
2. Для расчета общего числа периодов, через которое совокупная величина фиксированных периодических выплат составит указанное значение буд_сумма, если эти платежи производятся в начале каждого расчетного периода, то расчет производится по формуле:
Если выплаты производятся в конце расчетного периода, то применяется формула:
3. При погашении займа размером нач_знач равномерными постоянными платежами в конце каждого расчетного периода число периодов, через которое произойдет полное погашение, равно:
Полученное значение можно также использовать как показатель срока окупаемости при анализе инвестиционного проекта. При этом предполагается, что поступление доходов происходит периодически равными величинами в конце или в начале каждого расчетного периода. Рассчитанное значение будет представлять число расчетных периодов, через которое сумма доходов, дисконтированных на момент завершения инвестиций, будет равна величине инвестиций. Рассмотрим примеры для каждого из видов расчета.
è ПРИМЕР_1. За какой срок в годах сумма, равнаяруб. достигнет руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально. Решение приведено на рис.8.
Обратите внимание, что во втором случае КПЕР возвращает количество кварталов (26,64285), поэтому, чтобы пересчитать их в годы, нужно поделить возвращаемый результат на 4 (получится 6,66071).
Рис.8. Расчеты с помощью функции КПЕР
è ПРИМЕР_2. Для обеспечения будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты в конце периода (постнумерандо). Размер разового платежаруб. На посту-пившие взносы начисляется 11,18% годовых. Необходимо определить, когда величина фонда будет равна руб. решение приведено на рис.9. Через 5 лет совокупная величина выплат составит руб.
è 
Рис.9. Расчеты с помощью функции КПЕР
è ПРИМЕР_3. Ссуда размеромруб., выданная под 36% годовых, погашается обычными ежемесячными платежами по 6 630 руб. Рассчитаем срок погашения ссуды. Решение приведено на рис.10. Так как по условию заем полностью погашается, его будущая стоимость равна 0. Срок, за который заем полностью погашается, равен 1 году.
Рис.10. Расчеты с помощью функции КПЕР
Задания для самостоятельной работы с функцией КПЕР
1. Ссударуб., выданная под 32% годовых, погашается ежеквартальными платежами по 8400 руб. Рассчитайте срок погашения ссуды.
2. Рассчитайте, через сколько лет произойдет полное погашение займа размером руб., если выплаты по руб. производятся в конце каждого квартала, а ставка процента – 15% годовых.
В последнее время многие товары продаются в кредит на определенный период, в течение которого, лицо, получившее кредит, обязуется его погасить. Типичная ситуация такова: кредитор выдает в начале срока некоторую сумму. Дебитор обязуется погасить задолженность равными долями. При этом каждую выплату можно разбить на две составляющие: одна идет на погашение основной задолженности, а другая – на процентные выплаты. Для вычисления выплат предназначена функция ППЛАТ.
Синтаксис: ППЛАТ(ставка;кол_периодов; нач_знач;буд_сумма;тип)
Выплаты, рассчитанные этой функцией, включают основные платежи и платежи по процентам. С учетом ранее изученных функций, функцию ППЛАТ можно представить: ППЛАТ(ставка;кпер;нач_знач;бс;тип).
Замечание по предпоследнему параметру: будущая сумма – это баланс наличности, который нужно достичь после последней выплаты. Если этот параметр опущен, будущее значение полагается равным нулю, т. е. задолженность погашена.
Для нахождения общей суммы, выплачиваемой на протяжении некоторого интервала нужно умножить возвращаемое функцией ППЛАТ значение на количество периодов.
Функция ППЛАТ применяется в следующих расчетах.
1. Допустим, известна будущая стоимость фиксированных периодических выплат, производимых в начале или в конце каждого расчетного периода. Требуется рассчитать размер этих выплат. Соответствующая запись в Excel имеет вид: =ППЛАТ(ставка; кпер;;бс, тип).
2. Предположим, рассчитываются равные периодические платежи по займу величиной нач_знач, необходимые для полного погашения этого займа через КПЕР число периодов. Текущая стоимость этих выплат должна равняться текущей сумме займа. Соответствующий расчет в EXCEL выполняется по формуле: =ППЛАТ(ставка;кпер;нач_знач;;тип).
Если заем погашается не полностью, то есть его будущее значение не равно 0, то следует указать аргумент БС, который будет равен непогашенному остатку займа после всех выплат.
Все примеры, приведенные в этом разделе, рекомендуется самостоятельно решить на рабочем листе MS Excel, используя примеры оформления расчетов, показанные в предыдущих разделах.
è ПРИМЕР_1. Предположим, что необходимо накопить 4 руб. за 3 года, откладывая постоянную сумму в конце каждого месяца. Какой должна быть эта сумма, если норма процента по вкладу составляет 12% годовых.
Определим общее число периодов начисления процентов и ставку процента за период. Эти величины составят соответственно 3*12 (аргумент кпер) и 12%/12 (аргумент ставка). Аргумент тип =0, так как по условию это вклады постнумерандо (выплаты в конце периода). Рассчитаем величину ежемесячных выплат.
è ПРИМЕР_2. Допустим, банк выдал ссуду руб. на 4 года под 18% годовых. Ссуда выдана в начале года, а погашение начинается в конце года одинаковыми платежами. Определите размер ежегодного погашения ссуды.
Задание для самостоятельной работы с функцией ППЛАТ
1. Определите размеры периодических взносов в фонд размером руб., сформированный за два года ежемесячными платежами, если процентная ставка составляет 20% годовых.
2. Определите размер ежегодного погашения займа размеромруб., выданного на 3 года под 38% годовых.
3. Рассчитайте колонку «Общая сумма платежа» приведенной ниже таблицы. В таблице приведена схема погашения займа вруб., выданного сроком на 3 года под 17% годовых.
Сумма займа
на начало года
Общая сумма
платежа (ППЛАТ)
Платежи по процентам (ПЛПРОЦ)
Сумма основного платежа по займу (ОСНПЛАТ)