Предполагая что n пробегает натуральный ряд чисел

n → ∞ lim [ n 3 1 2 + n 3 3 2 + … + n 3 ( 2 n − 1 ) 2 ]

Выясним сначала, чему равна сумма в числителе:

1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2

Это сумма квадратов нечетных натуральных чисел. Каждый элемент этой суммы определяется следующей формулой:

Воспользуемся формулой квадрата разности:

Распишем сумму по этой формуле:

( 4 ⋅ 1 2 − 4 ⋅ 1 + 1 ) + ( 4 ⋅ 2 2 − 4 ⋅ 2 + 1 ) + …

Перегруппируем члены этой суммы:

4 ( 1 2 + 2 2 + … ) − 4 ( 1 + 2 + … ) + ( 1 + 1 + … )

4 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) − 4 2 n ( n + 1 ) + n = = 4 n ( n + 1 ) ⋅ [ 6 2 n + 1 − 6 3 ] + n = = 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n

1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2 = 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n

Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:

[ n 3 1 2 + n 3 3 2 + … + n 3 ( 2 n − 1 ) 2 ] = n 3 1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2

Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:

n 3 1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2 = n 3 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n

Разобьем эту большую дробь:

n 3 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n = 3 4 ⋅ n 2 n 2 − 1 + n 2 1 = 3 4 ⋅ ( 1 − n 2 1 ) + n 2 1

n → ∞ lim 3 4 ⋅ ( 1 − n 2 1 ) + n 2 1 = 3 4 ⋅ n → ∞ lim ( 1 − n 2 1 ) + n → ∞ lim n 2 1 = = 3 4 ⋅ ( 1 − 0 ) + 0 = 3 4