Предполагая что n пробегает натуральный ряд чисел определить значения следующих выражений
Предполагая что n пробегает натуральный ряд чисел определить значения следующих выражений
n → ∞ lim [ n 3 1 2 + n 3 3 2 + … + n 3 ( 2 n − 1 ) 2 ]
Выясним сначала, чему равна сумма в числителе:
1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2
Это сумма квадратов нечетных натуральных чисел. Каждый элемент этой суммы определяется следующей формулой:
Воспользуемся формулой квадрата разности:
Распишем сумму по этой формуле:
( 4 ⋅ 1 2 − 4 ⋅ 1 + 1 ) + ( 4 ⋅ 2 2 − 4 ⋅ 2 + 1 ) + …
Перегруппируем члены этой суммы:
4 ( 1 2 + 2 2 + … ) − 4 ( 1 + 2 + … ) + ( 1 + 1 + … )
4 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) − 4 2 n ( n + 1 ) + n = = 4 n ( n + 1 ) ⋅ [ 6 2 n + 1 − 6 3 ] + n = = 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n
1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2 = 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n
Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:
[ n 3 1 2 + n 3 3 2 + … + n 3 ( 2 n − 1 ) 2 ] = n 3 1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2
Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:
n 3 1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2 = n 3 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n
Разобьем эту большую дробь:
n 3 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n = 3 4 ⋅ n 2 n 2 − 1 + n 2 1 = 3 4 ⋅ ( 1 − n 2 1 ) + n 2 1
n → ∞ lim 3 4 ⋅ ( 1 − n 2 1 ) + n 2 1 = 3 4 ⋅ n → ∞ lim ( 1 − n 2 1 ) + n → ∞ lim n 2 1 = = 3 4 ⋅ ( 1 − 0 ) + 0 = 3 4
Предполагая что n пробегает натуральный ряд чисел определить значения следующих выражений
n → ∞ lim [ n 3 1 2 + n 3 3 2 + … + n 3 ( 2 n − 1 ) 2 ]
Выясним сначала, чему равна сумма в числителе:
1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2
Это сумма квадратов нечетных натуральных чисел. Каждый элемент этой суммы определяется следующей формулой:
Воспользуемся формулой квадрата разности:
Распишем сумму по этой формуле:
( 4 ⋅ 1 2 − 4 ⋅ 1 + 1 ) + ( 4 ⋅ 2 2 − 4 ⋅ 2 + 1 ) + …
Перегруппируем члены этой суммы:
4 ( 1 2 + 2 2 + … ) − 4 ( 1 + 2 + … ) + ( 1 + 1 + … )
4 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) − 4 2 n ( n + 1 ) + n = = 4 n ( n + 1 ) ⋅ [ 6 2 n + 1 − 6 3 ] + n = = 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n
1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2 = 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n
Теперь приступим к нахождению значения предела из условия. Для начала, объединим все дроби в одну большую:
[ n 3 1 2 + n 3 3 2 + … + n 3 ( 2 n − 1 ) 2 ] = n 3 1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2
Заменим сумму под модулем в числителе на найденное ранее выражение:
n 3 1 2 + 3 2 + … + ( 2 n − 1 ) 2 = n 3 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n
Разобьем эту большую дробь:
n 3 3 4 ⋅ n ( n 2 − 1 ) + n = 3 4 ⋅ n 2 n 2 − 1 + n 2 1 = 3 4 ⋅ ( 1 − n 2 1 ) + n 2 1
n → ∞ lim 3 4 ⋅ ( 1 − n 2 1 ) + n 2 1 = 3 4 ⋅ n → ∞ lim ( 1 − n 2 1 ) + n → ∞ lim n 2 1 = = 3 4 ⋅ ( 1 − 0 ) + 0 = 3 4
Предполагая что n пробегает натуральный ряд чисел определить значения следующих выражений
n → ∞ lim ( 2 1 + 2 2 3 + 2 3 5 + … + 2 n 2 n − 1 )
Сначала поработаем с самой суммой:
2 1 + 2 2 3 + 2 3 5 + … + 2 n 2 n − 1
Разложим ее так, чтобы у каждого члена в числителе была 1 и представим в виде таблицы:
2 1 2 1 + 2 2 1 + 2 2 1 + 2 2 1 + 2 2 3 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 5 + … + … + … + … + … + … + 2 n 1 + 2 n 1 + 2 n 1 + 2 n 1 + 2 n 1 ⋮ + 2 n 1 + 2 n 2 n − 1
В первой строчке таблицы воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 1 и первым членом, равным 2 1 :
2 1 + ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 3 + … + ( 2 1 ) n = 2 1 − 1 2 1 ( ( 2 1 ) n − 1 ) = 1 − 2 n 1
Во второй строчке таблицы выносим за скобки 2 1 и вновь используем формулу суммы первых n − 1 членой геометрической прогрессии:
2 1 ( 2 1 + ( 2 1 ) 2 + … + ( 2 1 ) n − 1 ) = 2 1 ⋅ 2 1 − 1 2 1 ( ( 2 1 ) n − 1 − 1 ) = = 2 1 ( 1 − 2 n − 1 1 )
Проделаем эти операции с каждой строчкой таблицы и сложим результаты:
( 1 − 2 n 1 ) + + 2 1 ( 1 − 2 n − 1 1 ) + 2 1 ( 1 − 2 n − 1 1 ) + + 4 1 ( 1 − 2 n − 2 1 ) + 4 1 ( 1 − 2 n − 2 1 ) + … + 2 n 1 = = 1 − 2 n 1 + 2 1 − 2 n 1 + 2 1 − 2 n 1 + 4 1 − 2 n 1 + 4 1 − 2 n 1 + … = = 1 + 2 1 + 2 1 + 4 1 + 4 1 + … + 2 n − 1 1 + 2 n − 1 1 − 2 n 2 n − 1
Из полученного результата можно выделить две суммы первых n − 1 членов геометрической прогрессии:
2 1 + 4 1 + … + 2 n − 1 1 + 2 1 + 4 1 + … + 2 n − 1 1
Воспользуемся формулой суммы первых n − 1 членов геометрической прогрессии:
2 1 − 1 2 1 ( ( 2 1 ) n − 1 − 1 ) = 1 − ( 2 1 ) n − 1
Так как таких сумм две, удваиваем результат и подставляем его обратно вместо сумм:
1 + 2 − 2 ⋅ ( 2 1 ) n − 1 − 2 n 2 n − 1
3 − 4 ( 2 1 ) n − 2 n 2 n − 1
Найдем значение предела:
n → ∞ lim ( 2 1 + 2 2 3 + … + 2 n 2 n − 1 ) = n → ∞ lim 3 − 4 ( 2 1 ) n − 2 n 2 n − 1 = = 3 − n → ∞ lim 4 ( 2 1 ) n − n → ∞ lim 2 n 2 n − 1 = = 3 − 0 − n → ∞ lim 2 n 2 n + n → ∞ lim ( 2 1 ) n = 3 − n → ∞ lim 2 n 2 n = = 3 − 2 ⋅ n → ∞ lim 2 n n = 3 − 0 = 3
Предполагая что n пробегает натуральный ряд чисел определить значения следующих выражений
n → ∞ lim ( 2 1 + 2 2 3 + 2 3 5 + … + 2 n 2 n − 1 )
Сначала поработаем с самой суммой:
2 1 + 2 2 3 + 2 3 5 + … + 2 n 2 n − 1
Разложим ее так, чтобы у каждого члена в числителе была 1 и представим в виде таблицы:
2 1 2 1 + 2 2 1 + 2 2 1 + 2 2 1 + 2 2 3 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 1 + 2 3 5 + … + … + … + … + … + … + 2 n 1 + 2 n 1 + 2 n 1 + 2 n 1 + 2 n 1 ⋮ + 2 n 1 + 2 n 2 n − 1
В первой строчке таблицы воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 1 и первым членом, равным 2 1 :
2 1 + ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 3 + … + ( 2 1 ) n = 2 1 − 1 2 1 ( ( 2 1 ) n − 1 ) = 1 − 2 n 1
Во второй строчке таблицы выносим за скобки 2 1 и вновь используем формулу суммы первых n − 1 членой геометрической прогрессии:
2 1 ( 2 1 + ( 2 1 ) 2 + … + ( 2 1 ) n − 1 ) = 2 1 ⋅ 2 1 − 1 2 1 ( ( 2 1 ) n − 1 − 1 ) = = 2 1 ( 1 − 2 n − 1 1 )
Проделаем эти операции с каждой строчкой таблицы и сложим результаты:
( 1 − 2 n 1 ) + + 2 1 ( 1 − 2 n − 1 1 ) + 2 1 ( 1 − 2 n − 1 1 ) + + 4 1 ( 1 − 2 n − 2 1 ) + 4 1 ( 1 − 2 n − 2 1 ) + … + 2 n 1 = = 1 − 2 n 1 + 2 1 − 2 n 1 + 2 1 − 2 n 1 + 4 1 − 2 n 1 + 4 1 − 2 n 1 + … = = 1 + 2 1 + 2 1 + 4 1 + 4 1 + … + 2 n − 1 1 + 2 n − 1 1 − 2 n 2 n − 1
Из полученного результата можно выделить две суммы первых n − 1 членов геометрической прогрессии:
2 1 + 4 1 + … + 2 n − 1 1 + 2 1 + 4 1 + … + 2 n − 1 1
Воспользуемся формулой суммы первых n − 1 членов геометрической прогрессии:
2 1 − 1 2 1 ( ( 2 1 ) n − 1 − 1 ) = 1 − ( 2 1 ) n − 1
Так как таких сумм две, удваиваем результат и подставляем его обратно вместо сумм:
1 + 2 − 2 ⋅ ( 2 1 ) n − 1 − 2 n 2 n − 1
3 − 4 ( 2 1 ) n − 2 n 2 n − 1
Найдем значение предела:
n → ∞ lim ( 2 1 + 2 2 3 + … + 2 n 2 n − 1 ) = n → ∞ lim 3 − 4 ( 2 1 ) n − 2 n 2 n − 1 = = 3 − n → ∞ lim 4 ( 2 1 ) n − n → ∞ lim 2 n 2 n − 1 = = 3 − 0 − n → ∞ lim 2 n 2 n + n → ∞ lim ( 2 1 ) n = 3 − n → ∞ lim 2 n 2 n = = 3 − 2 ⋅ n → ∞ lim 2 n n = 3 − 0 = 3
Предполагая что n пробегает натуральный ряд чисел определить значения следующих выражений
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:
ε N 0.1 0.001 0.0001 …
Пункт а)
ε N 0.1 10 0.001 1000 0.0001 10000 …
Пункт б) и в)
ε N 0.1 19 0.001 1999 0.0001 19999 …
Пункт г)
ε N 0.1 2302 0.001 6905 0.0001 9206 …
Пункт а)
Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П-ссылка):
∣ = n ∣ ( − 1 ) n + 1 ∣ = ∣ − 1∣∣ − 1∣ … = 1 = n 1
Итак, изначальное неравенство сводится к следующему:
Какое бы ε > 0 мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее ε 1 и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.
Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать N будем по следующей формуле:
n ≥ N ( ε ) + 1 > N ( ε ) = ⌈ ε 1 ⌉ ≥ ε 1
Итак, мы показали, что любые натуральные n > N ( ε ) удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.
Начнем заполнять таблицу:
N ( 0.1 ) = ⌈ 0.1 1 ⌉ = ⌈ 1 ⌉ = 10
N ( 0.001 ) = ⌈ 0.001 1 ⌉ = ⌈ 1000 ⌉ = 1000
N ( 0.0001 ) = ⌈ 0.0001 1 ⌉ = ⌈ 10000 ⌉ = 10000
ε N 0.1 10 0.001 1000 0.0001 10000 …
Пункт б)
Модуль можно сразу снять, так как под модулем всегда положительное число:
x n = n 3 + 1 2 n ε
Докажем следующее неравенство:
Знаменатель левой части представим в виде n 3 + 1 3 и по формуле суммы кубов. В числителе правой части вынесем 2 за скобки и сократим на n + 1 :
Сократим на 2 и домножим на n + 1 :
Очевидно, что для любого натурального n :
Итак, мы доказали, что для любого натурального n :
n 3 + 1 2 n ≤ n 2 + 2 n + 1 2 n + 2 = n + 1 2
Если мы найдем N такое, что для любого n > N :
то автоматом (по доказанному выше неравенству) будет верно и
n 3 + 1 2 n ≤ n + 1 2 ε
Итак, выразим n из неравенства:
Какое бы ε > 0 мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее ε 2 − ε и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.
Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать N будем по следующей формуле:
Проверка того, что любое натуральное n > N ( ε ) действительно будет удовлетворять неравенству в условии выполняется так же, как в пункте а).
Начнем заполнять таблицу:
N ( 0.1 ) = ⌈ 0.1 2 − 0.1 ⌉ = ⌈ 0.1 1.9 ⌉ = 19
N ( 0.001 ) = ⌈ 0.001 2 − 0.001 ⌉ = ⌈ 0.001 1.999 ⌉ = 1999
N ( 0.0001 ) = ⌈ 0.0001 2 − 0.0001 ⌉ = ⌈ 0.0001 1.9999 ⌉ = 19999
ε N 0.1 19 0.001 1999 0.0001 19999 …
Пункт в)
Докажем следующее неравенство:
Делим обе части на n :
Итак, мы показали, что:
Если мы найдем N такое, что для любого n > N :
то автоматом (по доказанному выше неравенству) будет верно и
Но случай n 1 ε уже рассматривался в пункте а).
Таблица, соответственно, такая же.
Пункт г)
∣ x n = ( − 1 ) n ⋅ 0.99 9 n ∣ ε
Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П-ссылка):
∣ ( − 1 ) n ⋅ 0.99 9 n ∣ = ∣ ( − 1 ) n ∣ ⋅ 0.99 9 n
Левый множитель можно разложить по тому же свойству: ∣ ( − 1 ) n ∣ = ∣ − 1∣∣ − 1∣ … = 1 :
∣ ( − 1 ) n ∣ ⋅ 0.99 9 n = 0.99 9 n
Значит, неравенство в условии превращается в такое:
Прологарифмируем это неравенство по основанию 0.999 :
Какое бы ε > 0 мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее lo g 0.999 ε и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.
Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать N будем по следующей формуле:
N ( ε ) = ⌈ ∣ lo g 0.999 ε ∣ ⌉
∣ lo g 0.999 ε ∣ ≤ ⌈ ∣ lo g 0.999 ε ∣ ⌉
n ≥ N ( ε ) + 1 > N ( ε ) = ⌈ ∣ lo g 0.999 ε ∣ ⌉ ≥ ∣ lo g 0.999 ε ∣ ≥ lo g 0.999 ε
Итак, мы показали, что любые натуральные n > N ( ε ) удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.
Начнем заполнять таблицу:
N ( 0.1 ) = ⌈ ∣ lo g 0.999 0.1 ∣ ⌉ = ⌈ ∣2301.43 … ∣ ⌉ = 2302
N ( 0.001 ) = ⌈ ∣ lo g 0.999 0.001 ∣ ⌉ = ⌈ ∣6904.3 … ∣ ⌉ = 6905
N ( 0.0001 ) = ⌈ ∣ lo g 0.999 0.0001 ∣ ⌉ = ⌈ ∣9205.7 … ∣ ⌉ = 9206
ε N 0.1 2302 0.001 6905 0.0001 9206 …