Предполагая что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны
Предполагая что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны
(1)
Найдём дифференциал выражения (1):
(2)
Такая же связь будет и между неопределённостями кинетической энергии и импульса, то есть:
(3)
Учитывая выражения (1) и (3), получим, что относительная неопределённость кинетической энергии частицы равняется:
(4)
Соотношение неопределённостей Гейзенберга для координаты и проекции импульса имеет вид:
(5)
Поэтому неопределённость координаты частицы равняется:
(6)
Дебройлевская длина волны частицы:
(7)
Найдём отношение неопределённости координаты частицы и её дебройлевской длины волны:
(8)
(9)
Подставляя числовые значения, получим:
Ответ: Отношение неопределённости координаты частицы к её дебройлевской длине волны равняется:
Предполагая что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны
(1)
Найдём дифференциал выражения (1):
(2)
Такая же связь будет и между неопределённостями кинетической энергии и импульса, то есть:
(3)
Учитывая выражения (1) и (3), получим, что относительная неопределённость кинетической энергии частицы равняется:
(4)
Соотношение неопределённостей Гейзенберга для координаты и проекции импульса имеет вид:
(5)
Поэтому неопределённость координаты частицы равняется:
(6)
Дебройлевская длина волны частицы:
(7)
Найдём отношение неопределённости координаты частицы и её дебройлевской длины волны:
(8)
(9)
Подставляя числовые значения, получим:
Ответ: Отношение неопределённости координаты частицы к её дебройлевской длине волны равняется:
Предполагая что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны
дебройлевскую длину волны
Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны λ молекул азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.
Определить энергию δT, которую необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от λ1 = 0,2 нм до λ2 = 0,1 нм.
На сколько по отношению к комнатной должна измениться температура идеального газа, чтобы дебройлевская длина волны λ его молекул уменьшилась на 20%?
При каких значениях кинетической энергии Т электрона ошибка в определении дебройлевской длины волны λ по нерелятивистской формуле не превышает 10%?
Электрон обладает кинетической энергией T = 100 эВ. Определить величину дополнительной энергии ΔT, которую необходимо сообщить электрону для того, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась вдвое.
Определить дебройлевскую длину волны λ электрона, кинетическая энергии которого Т = 1,02 МэВ.
Найти дебройлевскую длину волны (в пм) для электронов, обладающих максимальной скоростью в металле при абсолютном нуле, если уровень Ферми равен 10 эВ.
Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δх ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса Δр = 1 %?
Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.
Определите де-бройлевскую длину волны λ1 протона, прошедшего разность потенциалов U = 3,0 MB; де-бройлевскую длину волны λ2 электрона, прошедшего ту же разность потенциалов.
Найти скорость нейтрона, дебройлевская длина волны которою равна 47 нм.
Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность Δp/p импульса этой частицы.
Найти отношение дебройлевской длины волны частицы к величине неопределенности Δx ее координаты, соответствующей неопределенности импульса в 0,1%.
Какую энергию нужно дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 200 пм до 150 пм?
Релятивистская частица массы M движется с кинетической энергией E. Найти: а) дебройлевскую длину волны; б) значения энергии электрона, при которых погрешность в длине волны, определяемой по нерелятивистской формуле, не превышает одного процента.
Протон с дебройлевской длиной волны λ = 0,001 нм упруго рассеялся под углом π/2 на первоначально покоившейся α-частице. Определите дебройлевскую длину волны λ’ рассеянного протона.
Найти дебройлевскую длину волны молекул кислорода, соответствующую их средней скорости при Т = 300 К.
Сколько дебройлевских длин волн укладывается на длине орбиты электрона в атоме водорода: 1) В невозбужденном состоянии? 2) В первом возбужденном состоянии? 3) На пятой орбите?
Сравнить дебройлевскую длину волны протона, ускоренного до потенциала 103 В, с величиной неопределенности его координаты, соответствующей неопределенности импульса в 0,1%.
Найти скорость и кинетическую энергию (в эВ) нейтрона, дебройлевская длина волны которого 10 –10 м.
При какой скорости дебройлевская длина волны протона равна его комптоновской длине волны?
Определить дебройлевскую длину волны протона, кинетическая энергия которого равна энергии покоя электрона.
«Волновые свойства частиц»
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ»
к решению задач по атомной физике
Ответственный редактор канд. физ.-мат. наук
Компьютерный набор и верстка инженер
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол от 01.01.01 г.
· Формула де Бройля, выражающая связь длины волны l с импульсом p движущейся частицы:
а) в классическом приближении (
, 
)
;
б) в релятивистском случае (скорость v частицы сравнима со скоростью света с в вакууме 
)
.
· Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией К частицы:
а) в классическом приближении 
;
б) в релятивистском случае 
, где Е0 – энергия покоя частицы (
).
· Соотношение неопределенностей Гейзенберга:
а) для координаты и импульса частицы 
, где Dpx – неопределенность проекции импульса частицы на ось х, Dх – неопределенность ее координаты;
б) для энергии и времени 
, где DЕ – неопределенность энергии данного квантового состояния, Dt – время пребывания системы в этом состоянии.
· В одномерном случае временное и стационарное уравнение Шредингера будут иметь вид
, 
,
где i – мнимая единица, m – масса частицы; 
– волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы, А – амплитуда волны де Бройля, p – импульс частицы, Е – полная энергия частицы, U(x) – потенциальная энергия, ψ(х) – координатная часть волновой функции.
· Для случая трех измерений временное и стационарное уравнение Шредингера записывается в виде
, 
,
где 
– оператор Лапласа.
При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерывность самой Ψ – функции и ее производной.
· Вероятность P обнаружить частицу (в одномерном случае) в интервале от х1 до х2
.
· Коэффициент прозрачности D потенциального барьера U(x):
,
где х1 и х2 – координаты точек, между которыми U > E.
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 1) U2 = 510 кВ.
Длина волны де Бройля частицы зависит от ее импульса и определяется формулой
. (1)
Связь импульса p с кинетической энергией К частицы для нерелятивистского (когда К 0, причем Е в этом случае может быть любым. Волна, описываемая уравнением (17), имеет вид дебройлевской.
Плотность вероятности местоположения частицы 
. Это означает равновероятность нахождения частицы в любой точке пространства (оси х). Данный вывод хорошо согласуется с соотношением неопределенностей: при Dpx = 0 Dx ® ¥, т. е. частица «размазана» по всему пространству.
Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции (0 частицы от центра.
Значение константы А найдем из условия нормировки пси-функции
,
где dV =4pr2dr– объем тонкого сферического слоя толщиной dr, находящегося на расстоянии r от центра. Тогда условие нормировки принимает вид
.
.
Как известно, среднее значение величины q, зависящей от координат
.
Тогда 
.
Частица массы m с энергией равной Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий потенциальный барьер высотой U., причем Е > U (рис.7) Для областей I и II: а) запишите уравнение Шредингера б) представьте графически качественный вид ψ – функций. Найти коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности этого барьера.
Для данного барьера
.
На барьер падает частица массы m энергия которой Е, исходя из волновых представлений на барьер падает дебройлевская волна
Рис. 7 
.
Поскольку у всех трех волн (падающей, отраженной и прошедшей) частота одинакова, т. к.
, то ограничимся рассмотрением только координатной части, а именно y(x).
Запишем уравнения Шредингера для областей I и II
где 
; (22)
где 
. (23)
Решением этих уравнений будут следующие функции:
; (24)
; (25)
Из условия непрерывности для y и y / в точке x = 0 следует
,
.
Решая совместно эти уравнения, получим
, 
. (26)
.
Для определения интересующих нас коэффициентов отражения R и прозрачности D введем понятие потока плотности вероятности r. Скорость распространения вероятности такого потока совпадает со скоростью частицы
.
k и плотность потока вероятности пропорциональна величине kψψ*. В соответствии с видом ψ – функции для падающей, отраженной и прошедшей волн имеем
r /
r //
.
Учитывая (26) получим следующие выражения для коэффициентов R и D:
, 
.
Отсюда следует, что R + D = 1, что и должно быть по определению. Анализ выражений, полученных для R и D, показывает, что значения R и D не зависят от направления движения частицы. Заметим, что в классическом случае при Е>U R = 0.
Частица массы m падает слева на потенциальный барьер высотой U. (рис. 7). Энергия частицы равна Е, причем Е > U. Найти эффективную глубину хэф проникновения частицы под барьер, т. е. расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности P нахождения частицы уменьшается в е раз. Вычислить хэф для электрона, если U — E = 1,0 эВ.
В данном случае вид уравнений Шредингера и ψ – функций будет совпадать со случаем, когда Е > U (см. задача №13 формулы (22) – (25)), однако k2, будет чисто мнимым
,
где i – мнимая единица, 
,
тогда плотность вероятности P(x) местоположения частицы в области II будет равна
.
Плотность вероятности нахождения частицы в точке х = 0
.
.
Т. к. эффективная глубина проникновения частицы определяется как расстояние, на котором плотность вероятности местонахож-
Рис. 8 дения частицы уменьшается в е раз то
.
.
Подставив численные значения, получим 
.
Частица с энергией Е = 50 эВ падает слева на прямоугольный барьер, бесконечной ширины высотой U = 20 эВ (рис 7). Определите вероятность отражения частицы от этого барьера.
Как было показано в предыдущей задаче, коэффициент отражения R равен
,
где k1 и k2 – волновые числа волн де Бройля в областях I и II.
.
.
Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном направлении оси х. Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера d вероятность P прохождения электрона через него будет равна 0,2?
Вероятность P прохождения частицы через потенциальный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D. Тогда
. (27)
Рис. 9 Так как для данного барьера (Рис. 9) U(x) = U, х1 = 0, х2 = d, то (27) примет вид
.
Потенцируя это выражение, получим
.
.
Произведя вычисления, получим d = 0.495 нм.
Найти вероятность прохождения частицы массой m с энергией Е сквозь потенциальный барьер, показанный на рис. 10.
По аналогии с предыдущей задачей
. (28)
В данном случае (рис.10)
Рис.10 тогда (28) примет вид
.
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Скорость света в вакууме
1. Иродов по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с.
2. Иродов физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с.
4. Г, Воробьев по физике. Изд. пятое, переработанное и дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с.
5. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с.