Предел функции: основные понятия и определения
В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.
Понятие предела
Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
Что такое предел функции
В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.
При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).
Решение
Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.
Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:
Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.
Решение
Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.
Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.
Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.
Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.
Решение
Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:
Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.
Что такое предел функции и как его найти
Общее понятие предела
При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.
А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.
Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.
Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.
Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть 
. Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле
Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:
Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.
Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется «доопределить функцию», с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы «Предел»). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:
С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину 
— последовательность сумм их диаметров:
Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности 
равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.
Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.
Предел функции
Предел функции при 
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка 
. Возьмём из X последовательность точек, отличных от :
(1)
сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
(2)
и можно ставить вопрос о существовании её предела.
Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке 
(или при ), если для любой сходящейся к последовательности (1) значений аргумента x, отличных от , соответствующая последовательность (2) сходится к числу A.
Символически это записывается так: 
Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.
Пример 1. Найти предел функции 
при 
.
Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:
.
Итак, предел данной функции при равен 1.
Кроме того, решённые в этом уроке примеры и любые другие задачи на пределы, можно на проверить на калькуляторе пределов онлайн.
Предел функции при 
, при 
и при 
Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: 
.
Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы 
которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: 
(
).
Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.
Пример 2. Найти предел функции 
при 
.
Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:
.
Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки 
, за исключением, может быть, самой точки 
, то либо они имеют один и тот же предел при 
, либо обе не имеют предела в этой точке.
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке 
, то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.
(3)
2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
(4)
3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.
(5)
Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.
Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
Пример 3. Найти предел:
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 4. Найти предел:
Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:
Таким образом, формула (5) применима и, значит, 
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел
а функция f(u) непрерывна в точке 
, то
Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.
Пример 5. Найти предел:
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как
Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим
корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:
Найти предел самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Найти предел:
Пример 7. Найти предел:
.
Пример 8. Найти предел:
.
Пример 9. Найти предел:
.
Пример 10. Найти предел:
.
Пример 11. Найти пределы:
Решение пределов через раскрытие неопределённостей
При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида 
. Эта неопределённость и неопределённость вида 
— самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Освоим эти приёмы на примерах.
Неопределённость вида
Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел 
.
Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на 
:
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен 
.
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел 
.
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо «икса».
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Неопределённость вида
Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел 
.
.
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел: 
Раскрыть неопределённости самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 17. Раскрыть неопределённость и найти предел
.
Пример 18. Раскрыть неопределённость и найти предел
.
Пример 19. Раскрыть неопределённость и найти предел
.
Пределы функций. Примеры решений
Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела 
.
2) Записи под значком предела, в данном случае 
. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно 
, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (
).
3) Функции под знаком предела, в данном случае 
.
Сама запись 
читается так: «предел функции 
при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала 
, затем 
, 
, …, 
, ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое 
? Это тот случай, когда 
неограниченно возрастает, то есть: сначала 
, потом 
, потом 
, затем 
и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией 
? 
, 
, 
, …
Итак: если 
, то функция 
стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию 
бесконечность и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать 
до бесконечности и смотрим на поведение функции:
Вывод: при 
функция 
неограниченно возрастает: 
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если 
, попробуйте построить последовательность 
, 
, 
. Если 
, то 
, 
, 
.
! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: 
, то все равно 
, так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как 
, 
, 
и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:
Пределы с неопределенностью вида 
и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда 
, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Вычислить предел 
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида 
. Можно было бы подумать, что 
, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим 
в старшей степени: 
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим 
в старшей степени: 
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность 
необходимо разделить числитель и знаменатель на 
в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на 
Вот оно как, ответ 
, а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак 
, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: 
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Найти предел 
Снова в числителе и знаменателе находим 
в старшей степени: 
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности 
делим числитель и знаменатель на 
.
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Найти предел 
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( 
можно записать как 
)
Для раскрытия неопределенности 
необходимо разделить числитель и знаменатель на 
. Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на 
Под записью 
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида 
у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида 
и метод их решения
Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида 
, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел 
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: 
Сначала находим дискриминант: 
И квадратный корень из него: 
.
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни: 
Таким образом: 
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель 
уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на 
:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители. 
Вычислить предел 
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: 
Знаменатель: 
, 
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.
Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.
Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида 
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Найти предел 
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.
Получена неопределенность вида 
, которую нужно устранять. 
Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности 
используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: 
И смотрим на наш предел: 
Что можно сказать? 
у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать 
(которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, 
мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на 
:
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.
Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу 
:
Неопределенность 
не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе: 
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Найти предел 
Сначала попробуйте решить его самостоятельно.
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители: 
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
Спасибо за внимание.
Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам