Положительное число разделить на отрицательное что получится
Урок 37 Бесплатно Деление
В прошлом уроке мы познакомились с умножением.
Сейчас перейдем к делению, узнаем правила деления для чисел с разными знаками, деления отрицательных чисел, проведем параллели между умножением и делением, а также определим, какой может быть знак результата деления в зависимости от знаков делимого и делителя.
Деление отрицательных чисел
Правило: для того, чтобы разделить одно отрицательное число на другое отрицательное число, необходимо разделить модуль первого числа на модуль второго числа.
Это правило очень похоже на правило для умножения. Откуда такая схожесть мы узнаем чуть позже, а пока посмотрим на примеры.
Пример:
Допустим надо разделить -15 на -5
1) Найдем модули от этих чисел:
2) Посчитаем частное этих двух чисел:
Пример:
Разделим -132 на -3
1) Находим модули этих чисел:
2) Посчитаем частное модулей:
Это правило работает для нецелых чисел:
2) Выполняем деление:
И еще несколько примеров уже менее подробно:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Деление чисел с разными знаками
Допустим, мы знаем, что на заводе 250 работников, получающих одинаковую зарплату, также мы знаем, что вся сумма денег на выплату зарплат изменилась на -100000 рублей.
На сколько изменилась зарплата каждого конкретного работника?
Необходимо разделить общее изменение на количество работников. Иными словами, необходимо разделить отрицательное число на положительное.
Правило: чтобы разделить отрицательное число на число положительное, нужно поделить модуль первого числа на модуль второго числа и к результату деления приписать минус.
Воспользуемся им для решения задачи:
1) Берем модули чисел:
3) И приписываем к результату минус:
Получаем, что зарплата каждого работника изменилась на -400 рублей, иными словами, уменьшилась на 400 рублей.
Теперь посмотрим, как разделить положительное число на отрицательное.
Правило: чтобы разделить положительное число на число отрицательное, нужно поделить модуль первого числа на модуль второго числа и к результату приписать минус.
Допустим, необходимо разделить 161 на -7:
1) Посчитаем модули:
2) Посчитаем частное:
3) И приписываем к нему минус:
Это и будет ответом.
Заметим, что оба правила достаточно похожи, поэтому можно их обобщить и запомнить общее правило.
Правило: чтобы посчитать частное чисел с разными знаками, необходимо посчитать частное их модулей и приписать к нему минус.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Сведение деления к умножению
Вы уже могли заметить, что правила для умножения и деления весьма похожи. Это вполне закономерно.
Как мы уже говорили в уроке про деление дробей, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю.
И это верно для отрицательных чисел тоже.
Посмотрим, как это происходит на примерах.
1-й способ: воспользоваться правилом для деления отрицательных чисел:
2-й способ: представить деление как умножение на число, обратное делителю, и воспользоваться правилом для умножения отрицательных чисел:
Как вы можете заметить, результаты вычислений разными подходами совпадают. Более того, совпадают даже последние действия, поэтому можете выбирать любой удобный для вас способ.
Такой же подход работает и для деления чисел с разными знаками.
Пример:
1-й способ: воспользуемся правилом для деления чисел с разными знаками:
2-й способ: заменим деление на умножение и воспользуемся правилом для умножения чисел с разными знаками:
Можно заметить, что результаты совпадают.
Так что можно выбирать любой способ для выполнения деления чисел с разными знаками.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Определение знака частного
Если мы хотим определить, какой знак будет у частного, не считая его, тогда нам помогут следующие правила:
Правило: частное двух отрицательных чисел всегда число положительное
Пример:
Частное \(\mathbf<-32>\) и \(\mathbf<-4>\) будет больше нуля.
Правило: частное положительного числа и отрицательного равно нулю
Пример 1:
Частное 45 и \(\mathbf<-5>\) будет меньше нуля.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
Мы уже говорили о площади круга и площади квадрата.
Эти знания нам сейчас пригодятся, потому что так мы можем найти математическую ошибку в одном литературном произведении, а именно, в романе Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома».
«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикреплённый к трактору. Механики нажали рычаг, и мотор заработал.
Машина сама двинулась вперёд, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.
– Чтобы окончательно усовершенствовать машину, Грэхем, вам остаётся превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.
– Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли.
Грэхем произвёл некоторые вычисления, затем заметил:
– Теряем примерно три акра из каждых десяти.
И сейчас мы проверим, прав ли был Грэхем.
Посчитаем площадь квадрата: возводим длину сторон х в квадрат.
Так что площадь квадрата- \(\mathbf
Теперь посчитаем площадь круга: \(\mathbf<\pi(\frac
Теперь мы можем вычесть из площади квадрата площадь круга и понять, какая часть площади не используется.
Как мы видим, не используется 0.22 земли, что явно меньше 0.3, о которых говорится в тексте.
Возможно, так автор хотел изобразить математическое невежество героев, или же он просто не уделил внимание таким подробностям.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Деление отрицательных чисел: правило и примеры
В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.
Деление отрицательных чисел. Правило
Правило деления отрицательных чисел
Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.
Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.
Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.
В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Деление отрицательных чисел. Примеры
Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.
Пример 1. Как делить отрицательные числа
Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.
Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.
Пример 3. Как делить отрицательные числа
Теперь можно выбрать один из двух способов:
Разберем оба способа.
1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.
2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.
Полученные результаты совпадают.
В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.
Пример 4. Как делить отрицательные числа
Деление положительных и отрицательных чисел (6 класс)
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
ДЕЛЕНИЕ
положительных и отрицательных чисел
6 класс
к учебнику математики Н.Я.Виленкина и др.
Описание слайда:
Ребята!
Нам нужно повторить деление отрицательных чисел и чисел с разными знаками.
Описание слайда:
Деление отрицательных чисел
Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль
делимого на модуль делителя.
Обратите внимание,
ответ получается положительным
Описание слайда:
Описание слайда:
Деление чисел с разными знаками
При делении чисел с разными знаками надо:
1) разделить модуль делимого на модуль делителя;
2)поставить перед полученным числом знак «-»
Обратите внимание,
ответ получается отрицательным
Описание слайда:
Итак, подведем итоги…
Выберите правильный ответ и если вы согласны, проверьте себя нажав на знак «?»
При делении двух отрицательных чисел получается положительное число
При делении двух отрицательных чисел получается отрицательное число
При делении чисел с разными знаками получается отрицательное число
При делении чисел с разными знаками получается положительное число
Описание слайда:
Описание слайда:
ЗАПОМНИ!
При делении двух отрицательных чисел получится положительное число
Описание слайда:
ЗАПОМНИ!
При делении чисел с разными знаками получиться отрицательный ответ
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
ты молодец!
правильно
Описание слайда:
будь внимательнее
это не верный ответ
Описание слайда:
Описание слайда:
отлично
это правильный
ответ
Описание слайда:
ошибочка вышла
подумай еще
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
думать нужно
лучше
Описание слайда:
Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущества», а отрицательные числа как «долги».
Вот как индийский математик Брахмагупта (VIIв) излагал правила сложения и вычитания: «Сумма двух долгов есть долг», «Сумма двух имуществ есть имущество», «сумма имущества и долга равна их разности» и т.д.
Попробуйте и вы на досуге сформулировать правила деления положительных и отрицательных чисел на «языке Брахмагупты»
для любознательных.
Описание слайда:
Вам понравилось, друзья?
Если да, то рада я.
Пусть удача ждет, успех
В математике вас всех!
Описание слайда:
Об авторе:
Голощапова Светлана Валентиновна
учитель математики Сагайской основной
общеобразовательной школы
тел: 83913723198 (дом)
89020133448 (сот)
e-mail: wdtnjrrfhfnep@rambler.ru
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Использование инновационных технологий на уроках якутского языка и литературы
Классный час на новогоднюю тематику «Послание Деда Мороза»
Конспект НОД на тему «Русское народное творчество» для детей подготовительной к школе группе
Рабочая программа средств учебной дисциплины ОП.11. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОФЕССИО-НАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ программы подготовки специалистов среднего звена специальности профессиональный цикл 15.02.08 Технология машиностроения
Культура Саратовского края 19 век
Реферат:»Требования к профессиональной компетентности педагога-наставника»
Творческий конкурс по истории Саратовского края «Саратов- мой город любимый»
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5387349 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов
Время чтения: 3 минуты
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Деление чисел с остатком
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Деление с остатком целых положительных чисел
Деление — это разбиение целого на равные части.
Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.
Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!
Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.
Попрактикуемся в решении.
Пример
Разделить 14671 на 54.
Выполним деление столбиком:
Неполное частное равно 271, остаток — 37.
Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).
Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное
Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:
В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|.
Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.
Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».
Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.
Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):
Пример
Разделить 17 на −5 с остатком.
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.
Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное
Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:
Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле:
d = a − b * c
Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.
Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:
Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.
Пример
Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.
Разделим заданные числа по модулю.
Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.
Так как получили 3, противоположное ему −3.
Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.
Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:
d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.
Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.
Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).
Деление с остатком целых отрицательных чисел
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле:
d = a − b * c
Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.
Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:
Пример
Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.
Применим алгоритм для деления с остатком.
Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.
Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.
Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.
Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).
Деление с остатком с помощью числового луча
Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.
Пример 1
Рассмотрим выражение: 10 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.
Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).
Пример 2
Рассмотрим выражение: 11 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.
Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).
Проверка деления с остатком
Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.
Формула деления с остатком
a = b * c + d,
где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток.
Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.
Пример
Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).
В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.
Теорема
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом:
где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b.
Доказательство:
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q
Деление чисел с разными знаками, правило, примеры.
В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками. Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.
Навигация по странице.
Правило деления чисел с разными знаками
В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками. Его можно распространить и на рациональные числа, и на действительные числа, повторив все рассуждения из указанной статьи.
Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.
Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.
Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.
Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.
Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.
Это же правило используется при делении отрицательных чисел.
Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.
Примеры деления чисел с разными знаками
Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками, чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.
.
При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.
.
В заключение стоит отметить, что если делимое и (или) делитель является иррациональным числом, записанным как корень, степень, логарифм и т.п., то частное часто записывается в виде числового выражения. Выражение по возможности упрощается, а его значение вычисляется приближенно с требуемой точностью только при необходимости.
Разделите положительное число 5/7 на отрицательное число 
.
.
Смотрите также материал статьи деление действительных чисел.