В рамках курса «Электричество и магнетизм» диэлектрик – это среда, содержащая большое число электрических диполей (молекул, обладающих нулевым зарядом и ненулевым электрическим дипольным моментом). Эти диполи лишены поступательных степеней свободы, но вращательные у них имеются. В отсутствие внешнего электрического поля диполи ориентированы случайно. При наложении внешнего поля диполи поворачиваются, приобретая преимущественную ориентацию. В результате к внешнему полю добавляется поле диполей. Определение полного поля составляет задачу электростатики в диэлектриках. При этом подразумевается поле в макроскопическом смысле, то есть усредненное по физически бесконечно малым элементам объема и, таким образом, не зависящее от микроскопических колебаний плотности заряда, связанных с молекулярным строением вещества. Другими словами, дополнительное поле рассчитывается в приближении сплошной среды.
В случае однородного диэлектрика даже выстроенные по внешнему полю диполи не приводят к появлению объемного заряда, поскольку в любом объеме число отрицательных и положительных зарядов одинаково. Нескомпенсированный заряд возможен только на границе диэлектрика, где он характеризуется поверхностной плотностью. Поэтому дополнительное поле можно свести к действию только поверхностных зарядов, что технически значительно проще, чем рассчитывать интегральное поле диполей по всему объему диэлектрика.
Заряды в диэлектрике могут формироваться как за счет молекул самого диэлектрика, так и зарядами, привнесенными со стороны (например, путем ионного внедрения). Заряды первого типа называются связанными, второго – сторонними или, что то же, свободными. Во избежание недоразумений подчеркнем, что данная терминология не имеет ничего общего с тем, подвижны заряды или нет.
Ниже приведен ряд практических примеров на решение задач электростатики в диэлектриках.
Иродов 3.79. У плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε напряженность электрического поля в вакууме равна E0, причем вектор E0 составляет угол ϑ с нормалью к поверхности диэлектрика (рис. 3.11). Считая поле внутри и вне диэлектрика однородным, найти: а) поток вектора Е через сферу радиуса R с центром на поверхности диэлектрика; б) циркуляцию вектора […]
Иродов – 3.78
Иродов 3.78. Вблизи точки А (рис. 3.10) границы раздела стекло — вакуум напряженность электрического поля в вакууме E0 = 10,0 В/м, причем угол между вектором E0 и нормалью n к границе раздела α0 = 30°. Найти напряженность E поля в стекле вблизи точки А, угол α между вектором E и n, а также поверхностную плотность […]
Иродов – 3.77
Иродов 3.77. Однородный изотропный диэлектрик имеет вид сферического слоя с радиусами a и b. Изобразить примерные графики напряженности электрического поля E и потенциала φ как функций расстояния r от центра слоя, если диэлектрик имеет некоторый положительный сторонний заряд, распределенный равномерно: а) по внутренней поверхности слоя; б) по объему слоя. Скачать решение: Скачать решение задачи
Иродов – 3.76
Иродов 3.76. Проводник произвольной формы, имеющий заряд q, окружен однородным диэлектриком с проницаемостью ε (рис. 3.9). Найти суммарные поверхностные связанные заряды на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика. Скачать решение: Скачать решение задачи
Иродов – 3.75
Иродов – 3.74
Иродов 3.74. Точечный заряд q находится в центре шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε. Найти поляризованность P как функцию радиус-вектора r относительно центра системы, а также заряд q’ внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара. Скачать решение: Скачать решение задачи
Иродов – 3.73
Иродов 3.73. На оси тонкого равномерно заряженного кольца радиуса R находится неполярная молекула. На каком расстоянии x от центра кольца модуль вектора силы F, действующей на данную молекулу: а) равен нулю; б) имеет максимальное значение? Изобразить примерный график зависимости Fx (x). Скачать решение: Скачать решение задачи
Иродов – 3.72
Иродов 3.72. Неполярная молекула с поляризуемостью β находится на большом расстоянии l от полярной молекулы с электрическим моментом p. Найти модуль вектора силы взаимодействия этих молекул, если вектор p ориентирован вдоль прямой, проходящей через обе молекулы. Скачать решение: Скачать решение задачи
Иродов – 3.69
Иродов 3.69. Металлический шарик радиуса R = 1,5 см имеет заряд q = 10 мкКл. Найти модуль вектора результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной половине шарика. Скачать решение: Скачать решение задачи
Иродов – 3.68
Иродов 3.68. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности произвольного проводника, если поверхностная плотность заряда равна σ. Скачать решение: Скачать решение задачи
Для описания макроскопических электрических свойств диэлектриков достаточно ограничиться представлением о том, что в них отсутствуют свободные носители заряда, и при помещении диэлектрика в электрическое поле в материале возбуждается множество микроскопических диполей. В случае неполярных молекул это происходит путем смещения в пределах молекул их положительных зарядов в направлении внешнего поля и отрицательных в противоположном направлении (рис. 5.1).
Приобретаемый молекулой дипольный момент пропорционален напряженности поля, в котором находится молекула. В системе СИ он записывается, как
где коэффициент пропорциональности β называется поляризуемостью молекулы.
Для вещества, состоящего из полярных молекул, под действием момента сил (3.9) происходит преимущественное выстраивание молекул в направлении внешнего поля. В обоих случаях (неполярных и полярных молекул) в результате появляется дипольный момент и у всего объема диэлектрика. Средний дипольный момент, индуцированный полем в единице объема, называется поляризованностью диэлектрика:
где суммирование производится по всем молекулам, находящимся в объеме Δ V, а дипольный момент p каждой молекулы определяется суммированием по всем заряженным частицам, входящим в молекулу:
Домножив и разделив правую часть (5.2) на число молекул Δ N, находящихся в объеме Δ V, получим еще одно выражение для поляризованности:
Вообще говоря, P меняется в диэлектрике от точки к точке, но для широкого класса веществ в каждой точке P
E. Существуют вещества, обладающие поляризованностью и в отсутствие внешнего поля, однако здесь они не рассматриваются.
Поскольку в целом молекулы нейтральны, то именно дипольный момент и определяет электрическое поле, создаваемое самим материалом, когда его помещают во внешнее поле. В силу принципа суперпозиции поле внутри диэлектрика есть сумма внешнего поля и поля от всех диполей, индуцированных в диэлектрике:
Так как каждая молекула поляризуется под воздействием как поля сторонних зарядов, так и поля, создаваемого всеми другими поляризованными молекулами, то поляризованность диэлектрика пропорциональна напряженности именно суммарного поля (5.5):
Теорема Гаусса для вектора P
Следовательно, для выбранного элемента поверхности соответствующая абсолютная величина нескомпенсированного заряда внутри объема V равна
Преобразуем левую часть выражения (5.9) по теореме Остроградского-Гаусса, а связанный заряд q’ представим, как
откуда с учетом произвольности выбранного объема V получим теорему Гаусса для вектора поляризованности в дифференциальной форме:
Выясним, в каких случаях объемная плотность связанных зарядов отлична от нуля. Выразим P в (5.12) через E согласно (5.6)
В теореме Гаусса для вектора E, записанной в дифференциальной форме (2.17), в правой части стоит объемная плотность заряда, включающая в случае диэлектрика как плотность сторонних, так и связанных зарядов
Заменяя в (5.13) ∇E согласно (5.14) получим
Из последнего выражения видно, что объемная плотность связанного заряда в диэлектрике отлична от нуля в двух случаях: (1) когда диэлектрик поляризуется неоднородно ( κ есть функция координаты) и/или (2) в диэлектрике присутствует сторонний заряд ( ρ отлично от нуля). При однородной поляризации и отсутствии стороннего заряда внутри диэлектрика равенство нулю связанного объемного заряда легко усматривается из рис. 5.1.
Рассмотрим границу раздела двух однородных изотропных диэлектриков 1 и 2 (рис. 5.4). Выделим мысленно на границе раздела цилиндр с площадью основания Δ S с образующей, перпендикулярной границе раздела. Выберем произвольно направление нормали n к границе, как показано на рисунке. Пусть площадка Δ S, вырезаемая цилиндром на границе, столь мала, что ее можно считать плоской, а поляризованность каждого из диэлектриков в ее пределах постоянной.
Найдем поток Ф вектора P через поверхность цилиндра. Поток через нижнее основание цилиндра равен P1· Δ S cos (P1, n1), а через верхнее P2· Δ S cos (P2, n2), где индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся соответственно к внутренней и внешней по отношению к нормали n сторонам границы раздела. Поток через боковую поверхность цилиндра обозначим Ф’. Тогда будем иметь
Направление нормали n2 совпадает с направлением нормали n, а направление нормали n1 прямо противоположно. Следовательно
Будем теперь уменьшать высоту цилиндра, не изменяя при этом его основания. Поток Ф’ через безгранично уменьшающуюся боковую поверхность будет стремиться к нулю, так что общий поток через поверхность цилиндра сведется в пределе к потоку через его основания:
Иными словами, на границе раздела нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величина которого зависит от σ ‘. В частности, если среда 2 вакуум, то P2n = 0 и
где Pnпроекция вектора P на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика.
Вектор D
В случае диэлектрика теорема Гаусса для вектора E запишется как
Пользуясь теми же соображениями, что и при переходе от интегральной формы теоремы Гаусса для вектора P к дифференциальной, запишем теорему Гаусса для вектора D в дифференциальной форме
Для изотропного диэлектрика P = κε 0E. Тогда
Условия на границе двух диэлектриков
Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела однородных изотропных диэлектриков.
Для установления связи между тангенциальными составляющими вектора E по обе стороны границы воспользуемся теоремой о циркуляции вектора E. Выберем контур небольшой длины l, как показано на рис. 5.5 и в предположении, что векторы E1 и E2 с обеих сторон границы постоянны в пределах контура, запишем на основании этой теоремы
Иными словами, тангенциальная составляющая вектора E одинакова по обе стороны границы раздела.
Обратимся теперь к нормальной составляющей вектора D. Воспользуемся для этого теоремой Гаусса для этого вектора. Выбирая поверхность интегрирования как показано на рис. 5.4 и следуя тем же рассуждениям, которые привели к выражению (5.18), получим
Из этого соотношения следует, что при наличии на границе раздела стороннего заряда с поверхностной плотностью σ нормальная составляющая вектора D терпит разрыв. При отсутствии стороннего заряда на границе
Как следует из полученных соотношений (5.30) и (5.35) нормальная и тангенциальная составляющие вектора E на границе раздела ведут себя по разному. В результате линии вектора E испытывают преломление (рис. 5.6). Найдем соотношение между углами α 1 и α 2 для случая, когда сторонних зарядов на границе раздела нет. Как видно из рисунка
Отсюда на основании (5.30) и (5.35) получаем
Если к заряженному проводнику прилегает однородный диэлектрик, то на границах диэлектрика выступают связанные поверхностные заряды. Найдем их поверхностную плотность σ ‘. Следуя рассуждениям, которые привели к выводу соотношения (4.1), в данном случае получим для нормальной составляющей вектора E
С учетом (5.39) из (5.38) получим
Поле внутри однородного изотропного диэлектрика
Если однородный и изотропный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, то напряженность поля внутри диэлектрика в ε раз меньше, чем напряженность поля сторонних зарядов.
Продемонстрируем справедливость приведенного утверждения на примере плоского конденсатора. П редположим, что пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено однородным и изотропным диэлектриком. Тогда на поверхности диэлектрика, прилегающей к пластине с положительным зарядом, появится индуцированный связанный отрицательный заряд, а на противоположной поверхности диэлектрика – индуцированный связанный положительный заряд. Этот связанный заряд σ ‘ является источником электрического поля с напряженностью
причем, согласно ( 5.19), σ ‘ = Pn, где Pn – нормальная составляющая вектора поляризованности.
В результате, в силу принципа суперпозиции поле внутри диэлектрика окажется векторной суммой полей, создаваемых сторонним зарядом, находящимся на обкладках конденсатора, и поверхностным связанным зарядом:
причем векторы E0 и E‘ коллинеарны и направлены навстречу друг другу. Поэтому модуль вектора напряженности будет равен
Так как диэлектрик предполагается однородным и изотропным, то поляризованность диэлектрика пропорциональна напряженности поля:
Поскольку диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, то вектор E на границе между проводящей обкладкой конденсатора и прилегающим к ней диэлектриком перпендикулярен границе, т.е.
Тогда, с учетом того, что σ ‘ = Pn получается
откуда для напряженности поля внутри конденсатора имеем
§10. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле
10.6 Описание электрического поля в диэлектриках.
Описание электрического поля в диэлектриках, помимо проблем, рассмотренных при расчете полей в присутствии проводников, усложняется тем, что внутри диэлектриков могут возникать объемные поляризационные заряды. Поэтому мы в состоянии рассмотреть только простейшие задачи, связанные с описанием полей в присутствии диэлектриков.
Прежде всего, мы ограничим рассмотрение однородными и изотропными диэлектриками, то есть веществами, у которых поляризуемость одинакова во всех точках и не зависит от направления поля. Кроме того, будем рассматривать электрические поля только простейшей конфигурации.
Заметим, что среди диэлектриков существуют такие кристаллические диэлектрики, в которых поляризуемость зависит от направления поля (анизотропия). Качественно понять такую зависимость можно – смещение зарядов различно в различных направлениях. В таких диэлектриках направление вектора поляризации может не совпадать с направлением вектора напряженности электрического поля.
Пусть во внешнее однородное электрическое поле помещена плоскопараллельная пластина толщиной h, изготовленная из однородного диэлектрика, причем силовые линии электрического поля перпендикулярны граням пластины.
Под действием электрического поля диэлектрик поляризуется, то есть происходит смещение положительных и отрицательных зарядов. Схематически картину поляризации можно представить следующим образом. Мысленно разделим пластину на две – однородно заряженные (положительно и отрицательно) вложенные друг в друга (рис.261). Объемные плотности зарядов этих воображаемых пластин равны по модулю. Поэтому когда платины полностью вложены одна в другую, то суммарная объемная плотность заряда равна нулю. При наложении внешнего однородного поля происходит малое смещение этих пластин друг относительно друга. В области их перекрытия объемный заряд по-прежнему отсутствует, а там где они расходятся, появляются нескомпенсированные заряды. Так как смещения зарядов крайне малы, то можно считать, что на поверхностях появляются поверхностные заряды, поверхностную плотность которого обозначим σ. Заметим, что в данном случае поляризационные заряды не создают электрического поля вне пластины, поэтому здесь поле остается неизменным.
Свяжем поверхностную плотность индуцированных поляризационных зарядов с величиной вектора поляризации диэлектрика. Для этого выделим в пластине цилиндр, основания которого (площадью ΔS) расположены на гранях пластины. С одной стороны, по определению вектора поляризации P, дипольный момент выделенного цилиндра равен произведению модуля вектора поляризации на объем цилиндра ΔV = hΔS
а с другой, по определению дипольного момента, эта же величина равна произведению заряда основания \(q = \sigma \Delta S\), на расстояние между зарядами h
Из сравнения этих выражений следует замечательный результат: поверхностная плотность поляризационных зарядов равна модулю вектора поляризации диэлектрика:
В общем случае вектор поляризации диэлектрика может быть направлен под некоторым углом α к поверхности. Также выделим внутри пластины наклонный цилиндр, основания которого находятся на гранях пластины, а образующие параллельны вектору поляризации \(
\vec P\). В этом случае запишем нормальную к поверхности составляющую дипольного момента выделенного цилиндра в двух формах:
-по определению вектора поляризации \(
Из сравнения этих выражений следует, что поверхностная плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации диэлектрика:
Вернемся к расчету поля внутри диэлектрической пластины. Напряженность электрического поля внутри пластины равно сумме напряженностей внешнего поля \(
\vec E_0\) и поля, создаваемого поляризационными зарядами \(
Напряженность поля поляризационных зарядов выражается через поверхностную плотность зарядов σ
которая в свою очередь равна модулю вектора поляризации \(
\sigma = P\). Поляризация среды определяется полем внутри нее, то есть величиной суммарной напряженности \(
Из уравнения (4) получаем
Из записанных соотношений также можно выразить поверхностную плотность поляризационных зарядов
В этих соотношениях обозначено \(\varepsilon = 1 + \chi\). Таким образом, поляризационные заряды уменьшают поле внутри диэлектрика в (1 + χ) раз по сравнению с внешним полем. Величина ε = 1 + χ называется диэлектрической проницаемостью вещества. Именно эта величина выступает в качестве основной характеристики электрических свойств веществ и чаще всего приводится в справочниках физических величин.
Диэлектрическая проницаемость веществ может изменяться в широких пределах
Диэлектрическая проницаемость вещества показывает, во сколько раз это вещество уменьшает напряженность электрического поле, при условии, что силовые линии поля перпендикулярны поверхности диэлектрика. Конечно, это уменьшение связано с тем, что на поверхности диэлектрика возникают поляризационные заряды, поле которого направлено противоположно внешнему полю, породившему эти заряды.
Особо подчеркнем, что поле внутри диэлектрического тела зависит от:
Утверждение о том, что диэлектрик всегда уменьшает поле в ε раз, мягко говоря, не всегда справедливо, оно верно тогда когда силовые линии перпендикулярны границам тела, или если эти границы находятся так далеко, что полем поляризационных зарядов можно пренебречь.
Пусть теперь внешнее однородное поле \(
\vec E_0\) направлено под некоторым углом α к нормали поверхности пластины (рис. 264). Напряженность поля внутри пластины и в этом случае сумме напряженностей внешнего поля \(
\vec E_0\) и поля, создаваемого поляризационными зарядами \(
Напряженность поля создаваемого поляризационными зарядами \(
\vec E’\) направлено перпендикулярно поверхности пластин (не совпадает с направлением внешнего поля \(
\vec E_0\)), поэтому вектор напряженности электрического поля внутри пластины направлен под другим углом к поверхности пластины.
Для определения поля разложим векторы напряженности полей вне и внутри пластины на нормальные (перпендикулярные к поверхности) \(
\vec E_<0n>, \vec E_n\) и тангенциальные (параллельные поверхности) \(
\vec E_<0 \tau>, \vec E_<\tau>\) составляющие (рис. 265). Согласно принципу суперпозиции эти компоненты поля можно рассматривать независимо.
Случай нормальных составляющих мы уже рассмотрели и показали, что для напряженностей полей выполняется соотношение \(
E_n = \frac><\varepsilon>\), которое можно переписать в виде
Так как поляризационные заряды создают поле, вектор напряженности которого направлен перпендикулярно поверхности, то тангенциальные составляющие полей вне и внутри пластины будут равны
Соотношения (7) и (8) определяют законы изменения векторов напряженностей полей на границе диэлектрика (задают граничные условия). Они играют важную роль при расчетах полей в присутствии диэлектриков.
Выразим модуль вектора напряженности поля внутри диэлектрика
Как видите, вектор напряженности поля внутри диэлектрика не только не совпадает по направлению с напряженностью внешнего поля, но и его модуль зависит от угла, между напряженностью внешнего поля и вектором нормали к поверхности диэлектрика.
Задания для самостоятельной работы.
Если проводящее тело находится внутри диэлектрика, то на границе проводника и диэлектрика возникают поляризационные заряды, которые уменьшают поле внутри диэлектрика. Найдем поверхностную плотность этих зарядов. Пусть в некоторой точке поверхности проводника поверхностная плотность заряда равна σ0, тогда напряженность поля, создаваемого зарядами на проводнике определяется выражением \(
Понятно, что эти заряды противоположны по знаку зарядам на проводнике, поэтому суммарная поверхностная плотность заряда в данной точке границы равна
Вот еще одно явное объяснение уменьшения поля в диэлектрике – на границе проводника и диэлектрика возникают поляризационные заряды противоположного знака, при этом суммарный поверхностный заряд уменьшается в ε раз, соответственно во всех точках внутри диэлектрика поле также уменьшается во столько же раз (конечно, если пренебречь полем зарядов, возникающих на других границах диэлектрика).
Если два небольших заряженных тела (которые можно считать точечными зарядами) находятся внутри бесконечного диэлектрика, то сила взаимодействия между ними уменьшается, по сравнению с силой взаимодействия в вакууме. На границе раздела заряженных тел и диэлектрика возникают поляризационные заряды, которые частично экранируют поля, создаваемые точечными зарядами. Как мы показали, напряженность поля, создаваемого одним из зарядов, уменьшается в ε раз, по сравнением с полем в вакууме. Поэтому сила, действующая на второе тело, также уменьшается в ε раз. Заметьте, что речь идет о силе, действующей на само заряженное тело, без учета сил, действующих на поляризационные заряды, возникшие вблизи этого тела. Ведь эти поляризационные заряды «привязаны» к диэлектрику, а не к рассматриваемому телу. Поэтому сила взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся в однородном бесконечном диэлектрике рассчитывается по формуле
В некоторых учебных и справочных пособиях по физике именно эту формулу приводят в качестве формулировки закона Кулона. Однако, такое расширение закона Кулона нельзя признать удовлетворительным. Во-первых, эта формула получена как следствие применения законов электрического поля и свойств веществ, во-вторых, ее применение требует значительных оговорок – диэлектрик должен быть бесконечным, однородным, для него должна выполняться линейная связь между напряженностью поля и поляризацией диэлектрика. Далее, диэлектрическая проницаемость является усредненной характеристикой вещества, она никоим образом не учитывает атомную структуру строения материи – очень интересный вопрос: «чему равна сила взаимодействия между двумя электронами, находящимися в воде?», ведь размеры электрона намного меньше размеров молекулы воды. Поэтому разумно формулировать, как постулат (подтверждаемый экспериментально) закон Кулона, как закон взаимодействия точечных зарядов в вакууме, а влияние среды на взаимодействие заряженных тел рассматривать отдельно, и полученные результаты рассматривать как следствие из закона Кулона и электрических свойств среды.
