Почему правильная дробь ближе к 1 чем неправильная обратная

Правильные и неправильные дроби

Обыкновенные дроби делятся на правильные и неправильные.

Правильные дроби

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Чтобы узнать является ли дробь правильной, надо сравнить её члены между собой. Члены дроби сравниваются в соответствии с правилом сравнения натуральных чисел.

Пример. Рассмотрим дробь:

у которой 7 — это числитель, а 8 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:

7 Пример 1. Рассмотрим дробь:

у которой 8 — это числитель, а 7 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:

Так как числитель больше знаменателя, значит данная дробь является неправильной.

Пример 2. Рассмотрим дробь:

Сравним числитель со знаменателем:

Так как числитель равен знаменателю, значит данная дробь является неправильной.

Любая неправильная дробь больше единицы или равна ей:

Обратите внимание, что любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, следующим образом:

Дробь с числителем p и знаменателем 1 – это другая форма записи натурального числа p: .

Число 0 принято считать равным дроби вида , где q — любое натуральное число:

Любую неправильную дробь, у которой числитель больше знаменателя можно представить в виде смешанного числа.

Сравнение правильных и неправильных дробей

Любая неправильная обыкновенная дробь больше правильной, так как правильная дробь всегда меньше единицы, а неправильная больше единицы или равна ей.

Источник

Сравнение дробей: как правильно

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей — в том, чтобы определить меньшую и большую дроби.

Нет ситуации более благоприятной для сравнения, чем дроби с одинаковыми знаменателями. Если вся разница между дробями только в числителях, пользуемся следующим правилом:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше дробь с большим числителем. А меньше будет та дробь, числитель которой меньше.

А теперь на примерах.

Пример 1. Сравните дроби:

Пример 3. Сравните дроби:

Как видите, нет ничего сложного в сравнении дробей, если знаменатели равны. Вся задача заключается в том, чтобы определить больший и меньший числитель.

Давайте разберем наглядный пример сравнения дробей. Еще больше наглядных примеров — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Допустим, в торте 6 кусков. Если от целого торта отрезать один кусок — в торте останется 5 кусков.

Понять, что целый торт больше, чем торт без одного куска, можно и без сравнения дробей. Но это же самое правило можно применить и при менее очевидных сравнениях, которые часто встречаются в повседневной жизни.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями.

Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.

А теперь наши любимые примеры. Погнали!

Пример 1. Сравните дроби:

Пример 3. Сравните дроби:

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.

Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.

Давайте потренируемся в сравнении дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

При сравнении неправильных дробей с правильными помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.

Пример 2: Сравните дроби:

Вычитание смешанных чисел

Вычитание проходит гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

В случае, если вычитаемое больше уменьшаемого, разность оказывается отрицательной. В этом нет ничего страшного. Но математика в 5 классе — «положительная», поэтому научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь «в минусы».

При вычитании дробей действует тот же самый принцип: вычитаемое должно быть меньше уменьшаемого. Вот здесь то вам и пригодится навык сравнивать дроби.

Пример 1. Вычислите:

Вычитаемая дробь меньше уменьшаемой

Пример 2.Найдите разность:

Примеры для самопроверки

Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что

Пример 2. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что

Пример 3. Сравните дроби:

Ответ:.

Источник

Исследовательская работа по математике в 6 классе

Описание презентации по отдельным слайдам:

Исследовательская работа в 6 классе Тема работы: «Исследование свойств обыкновенных дробей» Вашкевич Татьяна Сергеевна, учитель математики

Постановка проблемы Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби «Если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится».

Подумайте над вопросами Даны две дроби – правильная и обратная к ней неправильная. Какая из этих дробей ближе к единице? 2) Существуют ли дроби правильная и обратная к ней неправильная находящиеся на одинаковом расстоянии от 1?

Доказательство выдвинутых гипотез Докажем, что правильная дробь ближе к 1, чем неправильная. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. Пусть А(1), В( а\с), С(с\а ) 1– а\с = с\с – а\с = (с – а)\с; с\а – 1 = с\а – а\а = (с-а)\а ; с-а\с а). 0 1 а\с с\а А В С

Доказательство выдвинутых гипотез Докажем, что не существует такой правильной дроби и обратной к ней, которые находятся на одинаковом расстоянии от 1. (с– а)\с ≠ (с – а)\а, так как с ≠ а

Выводы 1. если к числителю и знаменателю правильной дроби прибавлять одно и тоже натуральное число, то значение данной дроби будет увеличиваться и приближаться к 1 2. если к числителю и знаменателю неправильной дроби прибавлять одно и тоже натуральное число, то значение данной дроби будет уменьшаться и приближаться к 1 3. на координатной прямой правильная дробь расположена ближе к 1, чем обратная к ней неправильная дробь 4. не существует такой правильной дроби и обратной к ней неправильной дроби, которые находятся на одинаковом расстоянии от 1 5. в результате исследования гипотеза, что «если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится» не подтвердилась

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 80

с углубленным изучением английского языка Петроградского района

сценария урока для учащихся 6 класса

Тема: «Исследование свойств обыкновенных дробей»

Вашкевич Татьяной Сергеевной

высшей квалификационной категории

Исследовательская и проектная деятельность учащихся являются результативным способом достижения одной из важнейших целей образования: научить детей самостоятельно мыслить, ставить и решать проблемы, привлекая знания из разных областей; уметь прогнозировать вариативность результатов.

1. развитие творческого потенциала учащихся

2. научить детей самостоятельно мыслить, ставить и решать проблемы, привлекая знания из разных областей

3. уметь прогнозировать вариативность результатов

4. развитие информационной культуры

5. повышение интереса к предмету

воспитательная: продолжить работу по воспитанию:

1. навыков учебного труда

2. культуры устной и письменной математической речи

3. взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата

4. внимания, аккуратности, самоконтроля

развивающая: продолжить развитие

1. информационной компетенции

2. ценностно-смысловых компетенций

3. учебно-познавательных компетенций

4. коммуникативной компетенции

5. компетенций личностного самосовершенствования

6. общекультурных компетенций

Тип урока : урок изучения нового материала

Вид урока : урок – исследование

Педагогические технологии, используемые на уроке : элементы проектной технологии через исследовательскую деятельность на решение проблемы; технология обучения в сотрудничестве (работа в парах), здоровьесберегающие технологии, информационно-коммуникативные технологии

Дидактические материалы и средства обучения:

— печатные (учебники, технологические карты)

— экранные (презентация к уроку в виде слайдов)

Оформление урока – слайды, компьютер

Форма работы: работа в парах

Цель исследования:
Найти способы сравнения обыкновенных дробей, не приводя их к общему знаменателю
Задачи исследования:
1. Исследовать изменение величины правильной дроби, если к числителю и знаменателю дроби прибавлять одно и тоже натуральное число
2. Исследовать изменение величины неправильной дроби, если к числителю и знаменателю дроби прибавлять одно и тоже натуральное число
3. Определить какая из дробей правильная или обратная к ней неправильная будет ближе к 1 на координатной прямой.
4. Рассмотреть применение результатов исследования при решении задач
Объект исследования: математика
Предмет исследования: обыкновенные дроби
Гипотеза исследования: если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и тоже натуральное число, то значение дроби не изменится.

1. Постановка проблемы:

Задача: Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби

Возможные решения (разобрать подробно)

Чтобы выполнить это задание нам необходимо выяснить справедливость следующего утверждения:

«Если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится».

И сейчас мы с вами перемещаемся в научно-исследовательскую лабораторию, где нам и предстоит решить поставленную задачу.

2.Работа в парах. ( Каждая пара получает технологическую карту)

Исследовательская работа № 1

«Изменение величины правильной дроби»

К числителю и знаменателю правильной дроби прибавьте одно и тоже натуральное число. Заполните таблицу:

Источник

Правильные и неправильные дроби.

Виды дробей.

Как вы уже заметили дроби бывают разные. Например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, \frac<7><7>, \frac<13><5>, …\)

Делятся дроби на два вида правильные дроби и неправильные дроби.

В правильной дроби числитель меньше знаменателя, например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, …\)

В неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю, например, \(\frac<7><7>, \frac<9><4>, \frac<13><5>, …\)

Правильная дробь всегда меньше единицы. Рассмотрим пример:

Единицу мы можем представить как дробь \(1 = \frac<3><3>\)

Знаменатели одинаковые равны числу 3, далее сравниваем числители.

Вопросы по теме “Правильные или неправильные дроби”:
Может ли правильная дробь быть больше 1?
Ответ: нет.

Может ли правильная дробь равна 1?
Ответ: нет.

Может ли неправильная дробь меньше 1?
Ответ: нет.

Пример №1:
Напишите:
а) все правильные дроби со знаменателем 8;
б) все неправильные дроби с числителем 4.

Решение:
а) У правильных дробей знаменатель больше числителя. Нам нужно в числитель поставить числа меньшие 8.
\(\frac<1><8>, \frac<2><8>, \frac<3><8>, \frac<4><8>, \frac<5><8>, \frac<6><8>, \frac<7><8>.\)

б) В неправильной дроби числитель больше знаменателя. Нам нужно в знаменатель поставить числа меньшие 4.
\(\frac<4><4>, \frac<4><3>, \frac<4><2>, \frac<4><1>.\)

Пример №2:
При каких значениях b дробь:
а) \(\frac<12>\) будет правильной;
б) \(\frac<9>\) будет не правильной.

Решение:
а) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
б) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Задача №1:
Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 11 мин.?

Ответ: В часе 60 минут. Три минуты составят \(\frac<11><60>\) часа.

Источник

Правильные и неправильные дроби

Презентация к уроку

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока: формирование представления о правильных и неправильных дробях.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Методы обучения: проблемное изложение, объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

— Какие вопросы по домашнему заданию?

— Ребята, скажите, пожалуйста, какой раздел математики мы начали изучать на предыдущих уроках?

— Сегодня на уроке мы продолжим работу с обыкновенными дробями, вспомним, что мы про них знаем, а также познакомимся с некоторыми их видами.

— Как же сделать так, чтобы изучаемый материал был не только понятен, но и прочно усвоен? Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Последуем этому совету писателя, постараемся быть внимательными, будем “поглощать” знания с большим желанием, ведь они пригодятся нам в дальнейшем.Приветствуют учителя.

Спрашивают, если есть вопросы.

Слушают.Актуализация опорных знаний через устный счет(Слайд 1)

— Каждый может за версту
Видеть дробную черту.
Над чертой – числитель, знайте,
Под чертою – знаменатель.
Дробь такую, непременно,
Надо звать обыкновенной.Вставляют пропущенные слова.

— обыкновенной1. Прочитайте дроби. Назовите числитель и знаменатель дробей. (Слайд 2)

— Что показывает знаменатель дроби?

— Что показывает числитель обыкновенной дроби?

— Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями?Читают по цепочке с места.

— на сколько равных частей поделили

— сколько таких частей взяли

— по числителям, больше та дробь, числ-ль которой больше2. Сравните дроби (слайд 3):

Сравнивают.

— 1/13; 3/13; 5/13; 7/13; 8/13; 11/13.10. Расположите числа в порядке убывания (слайд 11).

— 19/17; 9/17; 8/17; 4/17; 1/17.11. Какая из точек лежит на координатном луче левее? Правее?

Объясните, почему. (Слайд 12).

— Е – правее;

С – левее.— Молодцы, хорошо справились с заданиями.

— Ребята, а как вы думаете, какая дробь больше и почему:

или ?

— А знаете ли вы, как называются эти дроби?

Слушаем разные мнения.3. Сообщение темы и цели урока— Кто догадался, чем мы сегодня будем заниматься на уроке?

— Откройте, пожалуйста, тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа и тема урока: “Правильные и неправильные дроби”.

— Какие задачи сегодня на уроке мы поставим перед собой? (слайд 15)Отвечают.

Слушают, записывают.Сегодня на уроке я хочу:

Узнать: какая дробь является правильной, а какая неправильной

Научиться: сравнивать правильные и неправильные дроби между собой и с единицей.

Понять: смысл правильных и неправильных дробей.

— Сегодня на уроке мы научимся сравнивать такие дроби и дадим каждой название.Формулируют. Я поправляю.4. Ознакомление с новым материаломЗадание. (Слайд 16)

— Распределите дроби на группы.

— Сколько групп получилось?

— По какому принципу выполнено распределение?

Думают. Отвечают.

Числит.=знамен.

— С какой группой дробей мы уже умеем работать, а какая для вас новая?

— Как вы думаете, какую группу дробей можно назвать правильными, а какую неправильными. Аргументируйте свой ответ.

(Слайд 19)Читают. Проверяют.— Пирог разрезали на 8 долей. На тарелку положили 3 доли. Какую часть всего пирога положили на тарелку?

пирога – это часть целого.

— А как вы думаете, часть меньше целого, больше целого или равна ему? Целое за что мы принимаем?

— Верно, тогда какой вывод можно сделать при сравнении 3/8 с 1?Отвечают.— Хорошо! Следующий случай.

— Пирог разрезали на 8 долей. На тарелку положили 8 долей. Какую часть пирога положили на тарелку?

— А 8/8 по-другому это сколько?

(Слайд 20-21)— Меньше целого

(слайд 22)— 11/8.— Запишите: 3/8 1

— Давайте рассмотрим изображение дробей на координатном луче.

— 11/8 > 1Задание: Отметьте на координатном луче дроби

— Что общего у данных дробей?

— Что показывает знаменатель?Записывают— Отрезок какой длины удобно взять в качестве единичного отрезка?

— Отметьте дроби на координатном луче.

— Какие из дробей являются правильными, а какие неправильными?

— Как расположены дроби по отношению к единице? Сделайте вывод.

— Давайте проверим наше предположение на стр. 152 учебника.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.Один ученик работает у доски, остальные – в тетрадях.

Проверяют.— А как вы думаете, какая дробь больше, если одна из них правильная, а другая неправильная?— Отвечают.

— Проверяют.— В чем была необходимость для людей в появлении дробей?— неправильная дробь всегда больше правильной

— высказывают свои предположенияСтранички Истории. (Слайд 24-28)

С древних времен людям не только приходилось считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары.

Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.

Посмотрите, как обозначались дроби в древнем Египте. В древнем Китае вместо черты использовали точку.

Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи. В 1202 году он ввел слово “дробь”.

Название “числитель” и “знаменатель” ввел в 13 веке Максим Планид – греческий монах, ученый – математик. В старых записях найдены такие названия дробей:

1/6 – полтреть.— слушают5. Физкультинутка (слайд 29)Раз, два, три, четыре, пять,
Начинаем отдыхать!
Спинку бодро разогнули,
Ручки кверху потянули!
Раз и два, присесть и встать,
Чтобы отдохнуть опять.
Раз и два вперёд нагнуться,
Раз и два назад прогнуться.
Вот и стали мы сильней,
Здоровей и веселей!Читают, повторяют упражнения6. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения(Слайд 30)

1. Загрузим в грузовик правильные дроби, для этого щелкни по ним мышкой.

2. Загрузим в поезд неправильные дроби, для этого щелкни по ним мышкой.

Один ученик работает с интерактивной доской, остальные – в тетрадях.№ 974, 976, 977, 988 (по учебнику “Математика 5” Виленкин Н. Я. И др.

Какой из отрезков будет длиннее? Почему?

— Начертите отрезки. (6 см, 10 см.)

б) 8 : 4 * 5 = 10 (см) 5/4 АВОдин ученик работает у доски, остальные в тетрадях№ 976

б) Один ученик работает у доски, остальные в тетрадях№ 977

а)

б)

а) 1) 40 : 5 * 2 = 16 б) 1) 72 : 6 * 5 = 60

2) 60 : 3 * 2 = 40 2) 81 : 9 * 2 = 18

Жили-были в одном городе числа. Однажды решили они организовать свой кружок по тяжелой атлетике. Стали числа выполнять упражнения: большие числа поднимали над головой на перекладине маленькие числа. Такое упражнение судьи называли правильным. Когда же меньшие числа поднимали большие над головой, то судьи такое упражнение назвали неправильным.

Так появились правильные и неправильные дроби. Разделились они на две команды: одна команда правильных дробей, а другая команда – неправильных. Только неправильные почему-то всегда выигрывали у правильных.Отвечают.Ребята, а как вы думаете почему?

— Ребята, поднимите, пожалуйста, руки кто согласен со следующим утверждением:

1. Я все понял. Урок понравился. (Что вам понравилось на уроке?)

2. На уроке было не интересно. (Почему вы так считаете?)

Источник