Почему правильная дробь ближе к 1 чем неправильная
Исследовательская работа по математике в 6 классе
Описание презентации по отдельным слайдам:
Исследовательская работа в 6 классе Тема работы: «Исследование свойств обыкновенных дробей» Вашкевич Татьяна Сергеевна, учитель математики
Постановка проблемы Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби «Если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится».
Подумайте над вопросами Даны две дроби – правильная и обратная к ней неправильная. Какая из этих дробей ближе к единице? 2) Существуют ли дроби правильная и обратная к ней неправильная находящиеся на одинаковом расстоянии от 1?
Доказательство выдвинутых гипотез Докажем, что правильная дробь ближе к 1, чем неправильная. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. Пусть А(1), В( а\с), С(с\а ) 1– а\с = с\с – а\с = (с – а)\с; с\а – 1 = с\а – а\а = (с-а)\а ; с-а\с а). 0 1 а\с с\а А В С
Доказательство выдвинутых гипотез Докажем, что не существует такой правильной дроби и обратной к ней, которые находятся на одинаковом расстоянии от 1. (с– а)\с ≠ (с – а)\а, так как с ≠ а
Выводы 1. если к числителю и знаменателю правильной дроби прибавлять одно и тоже натуральное число, то значение данной дроби будет увеличиваться и приближаться к 1 2. если к числителю и знаменателю неправильной дроби прибавлять одно и тоже натуральное число, то значение данной дроби будет уменьшаться и приближаться к 1 3. на координатной прямой правильная дробь расположена ближе к 1, чем обратная к ней неправильная дробь 4. не существует такой правильной дроби и обратной к ней неправильной дроби, которые находятся на одинаковом расстоянии от 1 5. в результате исследования гипотеза, что «если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится» не подтвердилась
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 80
с углубленным изучением английского языка Петроградского района
сценария урока для учащихся 6 класса
Тема: «Исследование свойств обыкновенных дробей»
Вашкевич Татьяной Сергеевной
высшей квалификационной категории
Исследовательская и проектная деятельность учащихся являются результативным способом достижения одной из важнейших целей образования: научить детей самостоятельно мыслить, ставить и решать проблемы, привлекая знания из разных областей; уметь прогнозировать вариативность результатов.
1. развитие творческого потенциала учащихся
2. научить детей самостоятельно мыслить, ставить и решать проблемы, привлекая знания из разных областей
3. уметь прогнозировать вариативность результатов
4. развитие информационной культуры
5. повышение интереса к предмету
воспитательная: продолжить работу по воспитанию:
1. навыков учебного труда
2. культуры устной и письменной математической речи
3. взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата
4. внимания, аккуратности, самоконтроля
развивающая: продолжить развитие
1. информационной компетенции
2. ценностно-смысловых компетенций
3. учебно-познавательных компетенций
4. коммуникативной компетенции
5. компетенций личностного самосовершенствования
6. общекультурных компетенций
Тип урока : урок изучения нового материала
Вид урока : урок – исследование
Педагогические технологии, используемые на уроке : элементы проектной технологии через исследовательскую деятельность на решение проблемы; технология обучения в сотрудничестве (работа в парах), здоровьесберегающие технологии, информационно-коммуникативные технологии
Дидактические материалы и средства обучения:
— печатные (учебники, технологические карты)
— экранные (презентация к уроку в виде слайдов)
Оформление урока – слайды, компьютер
Форма работы: работа в парах
Цель исследования:
Найти способы сравнения обыкновенных дробей, не приводя их к общему знаменателю
Задачи исследования:
1. Исследовать изменение величины правильной дроби, если к числителю и знаменателю дроби прибавлять одно и тоже натуральное число
2. Исследовать изменение величины неправильной дроби, если к числителю и знаменателю дроби прибавлять одно и тоже натуральное число
3. Определить какая из дробей правильная или обратная к ней неправильная будет ближе к 1 на координатной прямой.
4. Рассмотреть применение результатов исследования при решении задач
Объект исследования: математика
Предмет исследования: обыкновенные дроби
Гипотеза исследования: если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и тоже натуральное число, то значение дроби не изменится.
1. Постановка проблемы:
Задача: Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби
Возможные решения (разобрать подробно)
Чтобы выполнить это задание нам необходимо выяснить справедливость следующего утверждения:
«Если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится».
И сейчас мы с вами перемещаемся в научно-исследовательскую лабораторию, где нам и предстоит решить поставленную задачу.
2.Работа в парах. ( Каждая пара получает технологическую карту)
Исследовательская работа № 1
«Изменение величины правильной дроби»
К числителю и знаменателю правильной дроби прибавьте одно и тоже натуральное число. Заполните таблицу:
Правильные и неправильные дроби.
Виды дробей.
Как вы уже заметили дроби бывают разные. Например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, \frac<7><7>, \frac<13><5>, …\)
Делятся дроби на два вида правильные дроби и неправильные дроби.
В правильной дроби числитель меньше знаменателя, например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, …\)
В неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю, например, \(\frac<7><7>, \frac<9><4>, \frac<13><5>, …\)
Правильная дробь всегда меньше единицы. Рассмотрим пример:
Единицу мы можем представить как дробь \(1 = \frac<3><3>\)
Знаменатели одинаковые равны числу 3, далее сравниваем числители.
Вопросы по теме “Правильные или неправильные дроби”:
Может ли правильная дробь быть больше 1?
Ответ: нет.
Может ли правильная дробь равна 1?
Ответ: нет.
Может ли неправильная дробь меньше 1?
Ответ: нет.
Пример №1:
Напишите:
а) все правильные дроби со знаменателем 8;
б) все неправильные дроби с числителем 4.
Решение:
а) У правильных дробей знаменатель больше числителя. Нам нужно в числитель поставить числа меньшие 8.
\(\frac<1><8>, \frac<2><8>, \frac<3><8>, \frac<4><8>, \frac<5><8>, \frac<6><8>, \frac<7><8>.\)
б) В неправильной дроби числитель больше знаменателя. Нам нужно в знаменатель поставить числа меньшие 4.
\(\frac<4><4>, \frac<4><3>, \frac<4><2>, \frac<4><1>.\)
Пример №2:
При каких значениях b дробь:
а) \(\frac<12>\) будет правильной;
б) \(\frac<9>\) будет не правильной.
Решение:
а) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
б) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Задача №1:
Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 11 мин.?
Ответ: В часе 60 минут. Три минуты составят \(\frac<11><60>\) часа.
Правильные и неправильные дроби
Обыкновенные дроби делятся на правильные и неправильные.
Правильные дроби
Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Чтобы узнать является ли дробь правильной, надо сравнить её члены между собой. Члены дроби сравниваются в соответствии с правилом сравнения натуральных чисел.
Пример. Рассмотрим дробь:
у которой 7 — это числитель, а 8 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:
7 Пример 1. Рассмотрим дробь:
у которой 8 — это числитель, а 7 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:
Так как числитель больше знаменателя, значит данная дробь является неправильной.
Пример 2. Рассмотрим дробь:
Сравним числитель со знаменателем:
Так как числитель равен знаменателю, значит данная дробь является неправильной.
Любая неправильная дробь больше единицы или равна ей:
Обратите внимание, что любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, следующим образом:
Дробь с числителем p и знаменателем 1 – это другая форма записи натурального числа p: 
.
Число 0 принято считать равным дроби вида 
, где q — любое натуральное число:
Любую неправильную дробь, у которой числитель больше знаменателя можно представить в виде смешанного числа.
Сравнение правильных и неправильных дробей
Любая неправильная обыкновенная дробь больше правильной, так как правильная дробь всегда меньше единицы, а неправильная больше единицы или равна ей.
Сравнение дробей: как правильно
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей — в том, чтобы определить меньшую и большую дроби.
Нет ситуации более благоприятной для сравнения, чем дроби с одинаковыми знаменателями. Если вся разница между дробями только в числителях, пользуемся следующим правилом:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше дробь с большим числителем. А меньше будет та дробь, числитель которой меньше.
А теперь на примерах.
Пример 1. Сравните дроби:
Пример 3. Сравните дроби:
Как видите, нет ничего сложного в сравнении дробей, если знаменатели равны. Вся задача заключается в том, чтобы определить больший и меньший числитель.
Давайте разберем наглядный пример сравнения дробей. Еще больше наглядных примеров — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
Допустим, в торте 6 кусков. Если от целого торта отрезать один кусок — в торте останется 5 кусков.
Понять, что целый торт больше, чем торт без одного куска, можно и без сравнения дробей. Но это же самое правило можно применить и при менее очевидных сравнениях, которые часто встречаются в повседневной жизни.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями.
Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.
А теперь наши любимые примеры. Погнали!
Пример 1. Сравните дроби:
Пример 3. Сравните дроби:
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.
Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.
Давайте потренируемся в сравнении дробей.
Пример 1. Сравните дроби:
При сравнении неправильных дробей с правильными помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.
Пример 2: Сравните дроби:
Вычитание смешанных чисел
Вычитание проходит гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого.
В случае, если вычитаемое больше уменьшаемого, разность оказывается отрицательной. В этом нет ничего страшного. Но математика в 5 классе — «положительная», поэтому научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь «в минусы».
При вычитании дробей действует тот же самый принцип: вычитаемое должно быть меньше уменьшаемого. Вот здесь то вам и пригодится навык сравнивать дроби.
Пример 1. Вычислите:
Вычитаемая дробь меньше уменьшаемой
Пример 2.Найдите разность:
Примеры для самопроверки
Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.
Пример 1. Сравните дроби:
Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что
Пример 2. Сравните дроби:
Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что
Пример 3. Сравните дроби:
Ответ:
.
Сравнение неправильных дробей правила и примеры.
Неправильные дроби сравниваем по тем же правилам, что и обыкновенные дроби или правильные дроби. Рассмотрим подробно эти правила.
Сравнение неправильных дробей с одинаковыми знаменателями.
Есть несколько правил сравнения неправильных дробей с одинаковыми знаменателями:
Рассмотрим пример:
Выполните сравнение неправильных дробей с одинаковыми знаменателями: а) \(\frac<20><13>\) и \(\frac<15><13>\) б) \(\frac<-161><57>\) и \(\frac<-98><57>\) г) \(\frac<17><3>\) и \(\frac<-11><3>\)
Решение:
а) Раз у дробей \(\frac<20><13>\) и \(\frac<15><13>\) одинаковые знаменатели переходим к сравнению числителей 20>15,
Сравнение неправильных дробей с одинаковыми числителями.
Пример:
Выполните сравнение неправильных дробей с одинаковыми числителями: а) \(\frac<21><9>\) и \(\frac<21><10>\) б) \(\frac<-15><3>\) и \(\frac<-15><4>\)
Решение:
а) У неправильных дробей с одинаковыми положительными числителями \(\frac<21><9>\) и \(\frac<21><10>\), та дробь больше, где знаменатель меньше 9 \frac<21><10>\)
б) У неправильных дробей с одинаковыми отрицательными числителями \(\frac<-15><3>\) и \(\frac<-15><4>\), та дробь больше где знаменатель больше 3 44, следовательно,
Сравнение неправильной дроби с правильной дробью.
Пример:
Сравните правильную дробь и неправильную дробь: а) \(\frac<14><13>\) и \(\frac<13><14>\) б) \(-\frac<27><6>\) и \(-\frac<17><18>\)
Решение:
а) Правильная и неправильная дробь положительны, поэтому неправильная дробь больше правильной дроби.
б) Правильная и неправильная дробь отрицательны, поэтому неправильная дробь меньше правильной дроби.
б) Неправильная дробь \(-\frac<4><3>\) отрицательна, поэтому \(0 1\)
Равные неправильные дроби.
Правило равных неправильных дробей:
Неправильные дроби равны тогда, когда при одинаковых знаменателях равны их числители. Например:
You may also like:
Сравнение рациональных чисел, определения и примеры.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.