Прямая и плоскость не имеют общих точек это значит что

Лекция «Параллельность прямой и плоскости»

Параллельность прямой и плоскости.

Возможны три расположения прямой и плоскости:

1. прямая лежит в плоскости

1. прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются

1. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.

Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.

MC

Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит

. BC=AD= 8 см;

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Лекция «Параллельность прямых в пространстве»

Презентация на тему «Решение задач по нахождению угла между прямой и плоскостью»

Презентация на тему «Решение задач на нахождение угола между прямыми в пространстве»

Внеклассное мероприятие по геометрии «Великие математики»

Тексты задач по окружности из сборника по подготовке к ОГЭ

Презентация урока подготовки к ОГЭ задача по теме «Окружность» 9 класс

Билеты для зачета по геометрии 8 класс

Презентация по геометрии на тему «Площади четырехугольников»(8 класс)

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5426306 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Московские школьники победили на международной олимпиаде по информатике

Время чтения: 1 минута

В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Аксиомы стереометрии

Аксиома стереометрии — это основополагающее
утверждение в стереометрии, не требующее доказательств.

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий
свойства и признаки фигур в пространстве.

В стереометрии существует три основные аксиомы,
из которых следует остальные не менее важные утверждения.

Свойства точек, прямых а также плоскостей выражены в аксиомах.

Первая аксиома стереометрии

Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость причем только одна.

Плоскость — неограниченная,
ровная поверхность.

Плоскость обозначают тремя буквами
греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма).

На рисунке 1 изображена плоскость альфа.

Вторая аксиома стереометрии

Если две точки прямой лежат в плоскости,
то и все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

Смотрим на рисунок 2 — точка A и точка B прямой a лежат в плоскости β, значит
все точки данной прямой лежат в плоскости β.

Третья аксиома стереометрии

Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, по которой они пересекаются.

Плоскость γ пересекается с плоскостью α (рисунок 3).

Источник

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.

Источник

Прямая и плоскость не имеют общих точек это значит что

одну или бесконечно много

одну или бесконечно много

П – 2. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

Вариант А1

Вариант А2

Верно ли, что две параллельные прямые лежат в одной плоскости?

Верно ли, что две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны?

Может ли прямая, параллельная плос-кости, пересекать какую-либо прямую этой плоско-сти?

Может ли прямая, пересекающая плоскость, быть параллельна какой-либо прямой этой плоскости?

Поставьте вместо пропуска слова «прямой» или «плоскости» так, чтобы данное утверждение было верным:

Поставьте вместо пропуска слова «прямой» или «плоскости» так, чтобы данное утверждение было верным:

П – 2. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

Вариант Б1

Вариант Б2

Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых лежит в некоторой плоско-сти, то и вторая прямая лежит в этой плоскости?

Верно ли, что если одна из двух

параллельных прямых пересекает некоторую плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость?

Может ли прямая в пространстве пе-ресекать одну из двух па-раллельных прямых, но не пересекать другую?

Может ли плоскость быть параллельной одной из двух параллельных прямых и не быть параллельной другой прямой?

Поставьте вместо пропуска слова «прямая» или «плоскость» так, чтобы данное утверждение было верным:

каждой из двух дан-ных прямых, то данные прямые могут пересекаться».

Поставьте вместо пропуска слова «прямая» или «плоскость» так, чтобы данное утверждение было верным:

П – 2. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

Вариант В1

Вариант В2

Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, параллельны?

Верно ли, что плоскость, параллельная одной из двух параллельных прямых, параллельна и второй прямой?

Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными, если прямые AD и ВС пересекаются?

Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными, если точка D не лежит в плоскости АВС?

Поставьте вместо пропуска слова «прямая» или «плоскость» так, чтобы данное утверждение было верным:

Поставьте вместо пропуска слова «прямая» или «плоскость» так, чтобы данное утверждение было верным:

П – 2. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

Источник

Содержание:

Точка, прямая и плоскость в пространстве

В разделе планиметрии в геометрии изучаются фигуры, все точки которых лежат в одной плоскости. Эти фигуры называются плоскими фигурами. Однако в реальной жизни нас окружают трехмерные объекты. Их измерениями являются длина, ширина и высота(глубина). Эти фигуры называются пространственными фигурами, а раздел геометрии, который занимается изучением этих фигур, называется стереометрией. Принято считать, что точка, прямая и плоскость также являются пространственными фигурами. Плоскость бесконечна, и обычно, её условно изображают в виде параллелограмма и обозначают одной маленькой буквой или тремя буквами( указывающие три точки, не расположенные на одной прямой). Например, плоскость а или плоскость ABC.

Аксиома 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома 2. Если у двух различных плоскостей есть общая точка, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Прямая задаётся двумя точками, то есть через две точки можно провести одну и только одну прямую (а сколько прямых можно провести через одну точку?). Сколькими точками задаётся плоскость? Двумя точками плоскость задать нельзя. Как видно по рисунку, через точки А и В можно провести бесконечно много плоскостей. Однако, среди этих плоскостей есть такая плоскость, что точка С расположена на ней. Значит, плоскость можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Аксиома 3. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Точки, расположенные на одной прямой, называются коллинеарными точками. Покажем, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.

Пусть, точки А и В прямой принадлежат плоскости а. Возьмём точку Р, которая не принадлежит прямой и плоскости а. Через точки Р, А и В проведём плоскость . Так как плоскости а и пересекаются по линии, проходящей через точки А и В, то она совпадает с прямой . Все точки линии пересечения принадлежат плоскости а, т.е. все точки прямой также принадлежат плоскости а. Из аксиом стереометрии вытекают следующие следствия.

Таким образом плоскость можно задать:

Пример. Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой и точка Р, не лежащая с ними в одной плоскости. Запишите названия всех плоскостей, проходящих через каждые три из них.

Решение:

Точки, принадлежащие одной плоскости, называются компланарными. Точки А, В, С и Р из примера некомпланарные.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые в пространстве могут быть параллельными (в частном случае совпадать) или пересекаться.

Известно, что если прямые и пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. В планиметрии эти два случая соответствуют пересечению или параллельности прямых.

Если две пересекающиеся прямые пересекаются с третьей в разных точках, то эти прямые расположены в одной плоскости. Если две пересекающиеся прямые, пересекаются с третьей в одной точке, то они могут быть расположены как в одной плоскости, так и в разных.

Две не параллельные прямые в пространстве не всегда пересекаются. Прямые, которые не параллельны и не пересекаются, называются скрещивающимися прямыми. Скрещивающиеся прямые а и b обозначаются так: . Через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость. Углу между скрещивающимися прямыми соответствует угол, между параллельными им и пересекающимися прямыми.

Теорема 1. (Признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Следствие. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна этой прямой.

Следствие. Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.

Теорема 2. Если плоскости, проходящие через две параллельные прямые пересекаются, то линия пересечения параллельна этим прямым.

Доказательство: предположим, что а || b. Проведём плоскости соответственно через прямые а и b. Обозначим линию пересечения через с. По признаку параллельности прямой и плоскости . Отсюда а || с. Аналогично, если , то b || с.

Теорема 3. Две прямые параллельные третьей, параллельны между собой.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Если прямая (a), пересекающая плоскость , перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения, то прямая (а) перпендикулярна плоскости и это записывается так: .

Теорема 1. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Дано. Пересекающиеся прямые а и b принадлежат плоскости .

, .

Доказать, что. .

В равнобедренном треугольнике , отрезок РQ является и медианой и высотой. Отсюда . По определению имеем . Теорема доказана.

По рисунку видно, что прямая перпендикулярная плоскости в точке пересечения, перпендикулярна любой прямой в данной плоскости.

Теорема 2. Через точку на прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость и притом только одну.

Теорема 3. Через точку на плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую и притом только одну.

Докажем теорему 3.

Дано: прямая перпендикулярная плоскости в точке Р.

Доказать, что : через точку Р можно провести единственную прямую

, перпендикулярную плоскости .

Тогда и прямая , и прямая z должны быть перпендикулярны плоскости . Однако, это невозможно, так как . Таким образом, через точку Р в плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную прямую. Если в пространстве, через точку А провести перпендикулярную прямую, которая пересекает плоскость в точке Р, то отрезок АР называется перпендикуляром из точки А к плоскости . Отрезок, соединяющий точку А с любой точкой (отличной от точки Р) в плоскости называется наклонной.

Отрезок ВР называется проекцией наклонной на плоскость. Если из точки к плоскости провести перпендикуляр и наклонную, то:

1)перпендикуляр меньше наклонной;

2)равные наклонные имеют равные проекции;

3)большая наклонная имеет большую проекцию.

Пример. Из точки на плоскость проведены две наклонные длиной

20 см и 13 см. Найдите длину меньшей проекции, если длина большей проекции равна 16 см.

Решение: АР перпендикуляр, АВ и АС наклонные. Пусть ВО и СО являются проекциями наклонных. Из по теореме Пифагора:

Из по теореме Пифагора:

Углом между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол между наклонной и её проекцией на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью не больше углов, образованных этой прямой и любой другой прямой в плоскости.

В случае, если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен

90°.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. То есть, если прямая а, принадлежащая плоскости перпендикулярна прямой ВС в точке С, то она перпендикулярна и прямой АС.

Краткая запись: если и , то .

Для данной теоремы верна и обратная теорема.

Обратная теорема. Если прямая, лежащая в плоскости перпендикулярна

наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

То есть, если прямая а, лежащая в плоскости, перпендикулярна прямой

Краткая запись: если и , то

Дано:

Доказать: СО АС

Пример 1. Длина перпендикуляра СМ, восстановленного к вершине прямого угла прямоугольного треугольника АВС равна 7,2 единицам, а длина высоты, проведённой к гипотенузе равна 9,6 единицам. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы.

Решение: по теореме о трёх перпендикулярах, т.к. , то . Расстояние от точки М до гипотенузы равно длине отрезка МН. Из по теореме Пифагора имеем: . Пример 2. Длина перпендикуляра, восстановленного к плоскости треугольника из вершины большего угла равна 15 ед. Найдите расстояние от вершины перпендикуляра до большей стороны, если стороны треугольника равны 10, 17 и 21 ед.

Решение: если , то . То есть, надо найти длину отрезка КF.

По формуле Герона найдём площадь .

С другой стороны, .

Отсюда

Так как отрезок КВ перпендикулярен ВР, то прямоугольный.

Угол между двумя плоскостями. Двугранный угол

Угол, образованный двумя полуплоскостями и имеющий общую границу называется двугранным углом. Полуплоскости называются гранями, их общая граница называется ребром. При пересечении двух плоскостей образуется 4 двугранных угла. Если, из любой точки на ребре двугранного угла, в каждую полуплоскость провести перпендикулярные лучи, то они образуют угол, который называется линейным углом двугранного угла.

Двугранный угол измеряется его линейным углом. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Все линейные углы двугранного угла при параллельном переносе совпадают, то есть они равны (прямые, перпендикулярные одной и той же прямой параллельны).

Значение линейного угла не зависит от места расположения его вершины.

Градусная мера двугранного угла лежит в пределах от 0° до 180°.

Пример 1. На грани двугранного угла, градусная мера которого равна 30°, взята точка, удалённая от другой грани на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Решение. Пусть дана точка . Проведём . По теореме о трёх перпендикулярах Значит, линейный угол и . В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий напротив в угла 30° равен половине гипотенузы:

Отсюда: .

Углом между двумя пересекающимися плоскостями принято считать меньший из двух углов, образованных при пересечении плоскостей. На рисунке, говоря об угле между плоскостями имеют ввиду угол , образованный перпендикулярными прямыми, опущенными на линию пересечения плоскостей.

Изобразим треугольник ABC и лучи ТА, ТВ и ТС, из точки Т вне плоскости треугольника. Точка Т является общей вершиной для углов , ATB и BTC, не расположенных в одной плоскости. Полученная фигура называется трёхгранным углом. Плоские углы называются гранями, стороны называются рёбрами, общая вершина называется вершиной трёхгранного угла. Каждое ребро, в свою очередь, также является ребром двугранного угла.

Теорема 1. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360°.

Теорема 2. Плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух други плоских углов.

Пример 2. Существует ли трёхгранный угол с плоскими углами:

а)130°, 100°, 140° ; б) 70°, 80°, 100°?

Решение:

а) нет, так как 130°+ 100°+ 140°= 370° > 360°

б)да, так как 70°+80°+ 100°

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник