Прямая и плоскость имеют только одну общую точку это значит что они
Аксиомы стереометрии
Аксиома стереометрии — это основополагающее
утверждение в стереометрии, не требующее доказательств.
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий
свойства и признаки фигур в пространстве.
В стереометрии существует три основные аксиомы,
из которых следует остальные не менее важные утверждения.
Свойства точек, прямых а также плоскостей выражены в аксиомах.
Первая аксиома стереометрии
Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость причем только одна.
Плоскость — неограниченная,
ровная поверхность.
Плоскость обозначают тремя буквами
греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма).
На рисунке 1 изображена плоскость альфа.
Вторая аксиома стереометрии
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то и все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
Смотрим на рисунок 2 — точка A и точка B прямой a лежат в плоскости β, значит
все точки данной прямой лежат в плоскости β.
Третья аксиома стереометрии
Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, по которой они пересекаются.
Плоскость γ пересекается с плоскостью α (рисунок 3).
Лекция «Параллельность прямой и плоскости»
Параллельность прямой и плоскости.
Возможны три расположения прямой и плоскости:
1. прямая лежит в плоскости
1. прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются
1. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:
1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.
Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7=10
Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10
Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.
MC 
Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит
. BC=AD= 8 см; 
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Лекция «Параллельность прямых в пространстве»
Презентация на тему «Решение задач по нахождению угла между прямой и плоскостью»
Презентация на тему «Решение задач на нахождение угола между прямыми в пространстве»
Внеклассное мероприятие по геометрии «Великие математики»
Тексты задач по окружности из сборника по подготовке к ОГЭ
Презентация урока подготовки к ОГЭ задача по теме «Окружность» 9 класс
Билеты для зачета по геометрии 8 класс
Презентация по геометрии на тему «Площади четырехугольников»(8 класс)
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5426306 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Зарплаты педагогов Ростовской области вырастут в среднем на 10-15%
Время чтения: 2 минуты
Московские школьники победили на международной олимпиаде по информатике
Время чтения: 1 минута
Чем заняться с детьми в новогодние праздники в Москве
Время чтения: 4 минуты
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Лекция по математике на тему «Аксиомы стереометрии»
Аксиома – это утверждение не требующее доказательства.
Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.
Аксиома А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома А1 состоит из двух частей.
Первая часть утверждает, что через три точки проходит плоскость, т.е. существует хотя бы одна плоскость.
А вторая часть аксиомы говорит, что такая плоскость только одна.
Символ 
читается как существует.
По этой аксиоме, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость.
Поэтому плоскости иногда обозначают тремя большими буквами, используя любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой.
У нас на экране плоскость обозначена как α. Эту же плоскость можно обозначить как ABC
Аксиома 1 (существование плоскости)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
, причем α – единственная.
Аксиома А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Эта аксиома устанавливает взаимосвязь между прямой и плоскостью, то есть тот факт, что плоскость действительно плоская и прямая ее не «протыкает», а целиком содержится в ней.
Из аксиомы A 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку..
Эта аксиома очень важная. Она утверждает, что две плоскости не могут пересекаться по одной единственной точке.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Справедливость фактов планиметрии
Мы с вами познакомились с тремя аксиомами стереометрии.
Возникает вопрос: «Можем ли мы пользоваться теми фактами, которые справедливы на плоскости: теорема Пифагора, формулы площади треугольников, параллелограмма? Или все эти формулы, теоремы для нас уже не имеют значения?»
В планиметрии мы имели дело с одной плоскостью, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много плоскостей.
И в каждой из плоскостей, справедливы все факты планиметрии. В любой из плоскостей выполняется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, верны формулы длины окружности, верны формулы для площади.
Все что мы изучали, мы теперь можем применять смело в каждой из рассматриваемых плоскостей.
Аксиомы стереометрии не противоречат аксиомам планиметрии.
В стереометрии принимаются все факты планиметрии для каждой плоскости.
Переходим к решению задач
Задача 1. По рисунку назовите:
По рисунку назовите:
Аналогично: 
Аналогично: 
.
Аналогично: 
Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?
Две точки A и С прямой m принадлежат в плоскости 
, значит и точка B этой прямой принадлежит этой плоскости.
Получается, что в одной плоскости лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Значит предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.
лежать на одной прямой.
Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?
Пусть: 
(аксиома А1)
(аксиома А2)
. Получили противоречие, по условию задачи точки не лежат в одной плоскости.
Предположение неверно, никакие три точки не лежат на одной прямой.
Задача 3. Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?
Найти :Количество плоскостей
Так как две точки A и C прямой m принадлежат плоскости α, то и точка B прямой m принадлежит этой плоскости.
Все три точки принадлежат плоскости.
Значит плоскость α – искомая плоскость.
Ответ: Через три данные точки, лежащие на одной прямой, может проходить
бесконечное множество плоскостей.
Доказать: 
Найти: Количество плоскостей
Пусть 
.
(аксиома A 1).
(аксиома A 2).
Плоскость α – искомая плоскость.
Т. к D – произвольная точка, то таких плоскостей бесконечное множество.
Ответ: бесконечное множество.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-025570
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В России стартует пилотный проект по реабилитации детей-инвалидов
Время чтения: 2 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Ученые изучили проблемы родителей, чьи дети учатся в госпитальных школах
Время чтения: 5 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Все школы РФ с 2023 года подключат к государственной информационной системе «Моя школа»
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Лекция по теме: «Основные понятия стереометрии»
Первейшим гарантом непогрешимости математического мышления считается то, что исходным пунктом рассуждений и действий в этой науке служат аксиомы.
выдающийся физиолог, психолог
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
1 Структура курса геометрии
2 Определения и обозначения
3 Основные свойства плоскости
4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
1 Структура курса геометрии
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Она является второй составляющей геометрии и строится так же, как и планиметрия.
В стереометрии свойства геометрических фигур устанавливаются с помощью доказательства теорем (из греч. — рассматриваю), которые основываются на аксиомах (из греч. — считаю достойным, настаиваю, требую) — математических предложениях, принимаемых без доказательства
2 Определения и обозначения
Плоскость понимают также как множество точек.
3 Основные свойства плоскости
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
Система аксиом стереометрии состоит из двух групп. Первая из них включает все аксиомы планиметрии. Они выполняются в каждой плоскости пространства. Эти аксиомы вам известны из курса планиметрии. Здесь рассмотрим группу аксиом, выражающую основные свойства плоскостей в пространстве.
1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну
2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой. Простейшими теоремами являются следствия из аксиом стереометрии.
Теорема 1 Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость и притом только одну
Доказательство. Данная точка и две точки прямой составляют три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме 1 через них проходит единственная плоскость. По аксиоме 3 данная прямая лежит в этой плоскости.
Теорема 2 Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.
Доказательство. На каждой из прямых можно взять по одной необщей точке. Вместе с точкой пересечения прямых они образуют три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме 1 через них проходит единственная плоскость. По аксиоме 3 обе прямые лежат в этой плоскости.
Теорема 3 Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.
Доказательство. По теореме 1 через одну из параллельных прямых и произвольную точку другой прямой можно провести плоскость, и притом только одну.
Если учесть вышеизложенное, то можно сделать вывод, что плоскость однозначно определяют:
1) три точки, не лежащие на одной прямой;
2) прямая и точка, не принадлежащая этой прямой;
3) две пересекающиеся прямые;
4) две параллельные прямые.
4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве можно свести к следующим случаям.
1 Прямые пересекаются, тогда они лежат в одной плоскости.
2 Прямые параллельны — тогда они лежат в одной плоскости
3 Прямые не пересекаются и не параллельны — такие прямые называются скрещивающимися.
4 Прямые совпадают, если они имеют по крайней мере две общие точки
Возможны следующие варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
1) Прямая и плоскость имеют по крайней мере две общие точки. Тогда прямая лежит в плоскости, то есть прямая и плоскость имеют множество общих точек;
2) Прямая и плоскость имеют одну общую точку. Возможность такого размещения прямых и плоскостей обеспечивается тем, что вне плоскости являются точки пространства. Произвольная точка плоскости и точка вне плоскости определяют прямую, которая имеет с плоскостью одну общую точку, то есть пересекает ее.
3) Прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Прямая и плоскость, которые не имеют общих точек, называются параллельными
Плоскости в пространстве могут принимать следующие положения друг относительно друга:
1 Две плоскости пересекаются по прямой — в этом случае они не имеют других общих точек вне этой прямой
2 Плоскости совпадают
3 Если две разные плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными.
1 Какой раздел геометрии называется стереометрией?
2 Какие предложения называются аксиомами? Теоремами?
3 Сформулируйте аксиомы плоскости и следствия из них.
4 Назовите возможные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.
5 Перечислите возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.
6 Приведите возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве.
Задачи, задания, вопросы
№3 Выберите для двух различных плоскостей и одинаковые по смыслу утверждения.
1) Плоскости и пересекаются;
2) плоскости и имеют лишь одну общую точку;
3) плоскости и имеют общую точку;
4) плоскости и имеют не больше двух общих точек;
5) плоскости и имеют общую прямую.
№5 Плоскости пересекаются. Определите количество общих прямых, которые они могут иметь.
№7 Выберите четыре утверждения, которые определяют единственность плоскости.
1) Любые две точки пространства;
2) любая прямая пространства и точка на ней;
3) любая прямая пространства и точка вне нее;
4) любые три прямых пространства;
5) любые три точки пространства;
6) любые две параллельные прямые;
7) любые две прямые;
8) любые две пересекающиеся прямые.
№13 Выберите правильное утверждение.
1) Через точку пространства, которая не лежит на прямой, можно провести множество прямых, которые параллельные данной;
2) две прямые, параллельные третьей, пересекаются в одной точке;
3) если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая пересекает плоскость;
4) через прямую и точку вне прямой можно провести две различные плоскости;
5) через точку пространства, не лежащую на плоскости, можно провести множество прямых, которые будут пересекать эту плоскость.
1) — единственная возможная плоскость, параллельная плоскости ;
2) — единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость ;
3) — единственная возможная плоскость, параллельная плоскости ;
4) — единственная возможная плоскость, пересекающая плоскость ;
Математика: учебник для ссузов / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 7-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2010., стр. 320-323
Геометрия. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 18-е изд., — М.: Просвещение, 2009, стр. 3-8.
Математика: підручник для 10 кл. загальноосвітніх навчальних закладів: рівень стандарту / О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2010, стор. 127-133, 135-137