Прямая что это в математике

Общие сведения

Прямая — базовая простейшая неограниченная в пространстве фигура, состоящая из точек, которые соединяются в линию без каких-либо искажений. Она обозначается прописными литерами латинского алфавита m, n, o, p. Точка — элементарная единица геометрии (обозначение заглавными буквами, W, Y, N). Их совокупность образует геометрические фигуры.

Прямые бывают нескольких видов:

Первый состоит из точки и прямой. Он имеет начало, но конец неограничен в пространстве. При построении нужно обозначить точку, а затем прямую, исходящую из нее. Следующим видом является отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Обозначается двумя латинскими литерами: МС, RT.

Луч можно отмечать не только на прямой, но и на другом его экземпляре, а также отрезке. Прямая состоит из двух лучей, направленных в противоположные стороны.

Аксиомы геометрии

Аксиомы — базовые утверждения, на которых основываются другие доказательства теорем и тождеств. К прямой применимы следующие:

Все аксиомы — базовые утверждения, которые нет необходимости доказывать. Далее следует рассмотреть линейную функцию.

Прямо пропорциональная зависимость

Графиком линейной функции является прямая, расположение которой зависит от а и t. На основании значений коэффициентов (a и t), математики выделяют 4 свойства, влияющие на положение фигуры в декартовой системе координат:

Источник

Основы геометрии

Геометрия — это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.

Познакомимся с основными геометрическими понятиями, изучаемыми в начальной школе.

Точка

Точка — это основная и самая простая геометрическая фигура.

В геометрии точка обозначается заглавной латинской буквой или цифрой. Многие латинские буквы по написанию похожи на английские буквы.

В тексте точку обозначают следующим символом: « (·) A » — точка « А ».

Прямая

Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца.

Слова «не имеет ни начала, ни конца» говорят о том, что прямая бесконечна.

Способы обозначения прямых

Способы обозначения лучей

Отрезок

Основное свойство отрезка — это его длина.

Длина отрезка — это расстояние между его концами.

В математике отрезок обозначается заглавными латинскими буквами.

Ломаная

Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из точек, которые соединены отрезками.

Вершины ломаной — это точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную.

Звенья ломаной — это отрезки ломаной.

В математике ломаная обозначается заглавными латинскими буквами.

Чтобы найти длину ломаной, необходимо сложить длины всех её звеньев (отрезков), из которых она состоит.

KLCM = KL + LC + CM = 3 см + 2 см + 2 см = 7 см

Вот мы и познакомились с основами геометрии. Теперь мы готовы рассмотреть не менее важную геометрическую фигуру — угол.

Источник

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Содержание:

Прямая:

Прямая бесконечна (в обе стороны) и разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 24), для которых прямая является границей. Граница принадлежит полуплоскостям. На рисунке 25 точка С лежит на прямой между точками А и В, которые лежат по разные стороны от точки С. Точки С и В лежат по одну сторону от точки А. Из трех точек на прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими.

Если на плоскости отметить две точки А и В, то через них всегда можно провести прямую АВ (рис. 26, а). Через одну точку можно провести бесконечно много прямых (рис. 26, б), через три точки не всегда можно провести прямую (рис. 26, в). Через две точки можно провести бесконечно много окружностей (рис. 26, г), а прямую — только одну!

Аксиома прямой. Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

Из аксиомы следует, что если две прямые () имеют общую точку (М), то это единственная общая точка (рис. 27). Если предположить, что существует еще одна общая точка (К), то тогда через две точки (М и К) пройдут две прямые, что по аксиоме прямой невозможно.

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если прямые параллельны, то отрезки, изображающие эти прямые, никогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали (рис. 28).

Определение. Лучом называется часть прямой, ограниченная одной точкой.

Точка, ограничивающая луч, принадлежит лучу и называется началом луча. Луч бесконечен (в одну сторону). Он обозначается одной малой буквой, или двумя большими буквами, где первой всегда записывается начало луча.

При этом вторая точка может быть не отмечена на луче. Она указывает направление луча, например как точка В на луче АВ (рис. 29).

Определение. Два луча называются дополнительными (противоположными), если они имеют общее начало и лежат на одной прямой.

На рисунке 30 изображены дополнительные дополнительные лучи ОМ и ОК. Они дополняют друг друга до прямой. Чтобы построить луч, дополнительный данному, достаточно продлить данный луч за его начало вдоль прямой, на которой лежит данный луч. Любая точка прямой разбивает ее на два дополнительных луча.

Отрезок:

Определение. Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

Точки, ограничивающие отрезок, принадлежат отрезку и называются концами отрезка, остальные точки отрезка — его внутренними точками. На рисунке 31 изображен отрезок АВ с концами А и В. Точка М — внутренняя точка отрезка АВ.

Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то этот отрезок пересекает прямую, если в одной полуплоскости — то не пересекает. На рисунке 32 концы отрезка АВ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а, и он пересекает прямую . Концы же отрезка CD лежат в одной полуплоскости, и он не пересекает прямую .

Если при наложении отрезков их концы совпадут, то по аксиоме прямой эти отрезки совпадут всеми своими точками.

Определение. Два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением.

Важной характеристикой отрезка является его длина.

Свойства длины отрезка: каждый отрезок имеет длину, выраженную положительным числом; равным отрезкам соответствуют равные длины, большему отрезку — большая длина. И наоборот.

Аксиома измерения отрезков. Если на отрезке взять точку, то она разобьет данный отрезок на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка.

Аксиома откладывания отрезков. На любом луче от его вершины можно отложить отрезок данной длины, и притом только один.

На рисунке 33 точка С лежит на отрезке АВ. По аксиоме измерения отрезков следует, что АС + СВ=АВ.

Серединой отрезка называется точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. На рисунке 34 точка М — середина отрезка EF, то есть ЕМ = MF.

Определение. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

На рисунке 35 расстояние между точками К и N равно длине отрезка KN.

Ломаная:

На рисунке 36 отрезки АВ, ВС, CD, DE и EF последовательно соединены своими концами: отрезок ВС соединен с отрезком АВ, отрезок CD соединен с отрезком ВС и так далее. Полученная фигура представляет собой ломаную ABCDEF. Указанные отрезки называются звеньями ломаной, а точки А, В, С, D, Е и F — вершинами ломаной.

Определение. Ломаной называется геометрическая фигура, образованная отрезками, последовательно соединенными своими концами, у которой никакие два соседних звена не лежат на одной прямой. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Определение. Ломаная называется замкнутой, если начало ее первого звена совпадает с концом последнего. В противном случае она называется незамкнутой. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений и никакие два ее звена, кроме соседних, не имеют общих точек. В противном случае она называется непростой (рис. 37).

Простая замкнутая ломаная на плоскости называется многоугольником. Звенья этой ломаной называются сторонами этого многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника. Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. Часть плоскости, ограниченная многоугольником, называется плоским многоугольником. Слово «плоский» употреблять не будем. Отрезок, соединяющий вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне, называется его диагональю. Если у многоугольника три стороны, то у него три вершины и три угла, и он называется треугольником, если четыре стороны — четырехугольником, если пять — пятиугольником и так далее.

На рисунке 38 изображен четырехугольник ABCD со сторонами АВ, ВС, CD и AD. У него четыре угла: и две диагонали: АС и BD. Периметр этого четырехугольника:

При записи многоугольника его вершины записываются последовательно, начиная с любой вершины и в любом направлении. Например, СBAD — это тот же четырехугольник ABCD.

Самые известные четырехугольники — это прямоугольник и квадрат. У прямоугольника все углы прямые, а противоположные стороны равны. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. На рисунке 39 ABCD — прямоугольник, MNPK — квадрат. Позже мы дадим определение прямоугольника и квадрата и рассмотрим их свойства подробно. А пока будем пользоваться указанными представлениями.

Пример:

На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка С. Отрезок АС на 6 см больше отрезка СВ. Найти длину отрезка АС.

Решение:

Пусть СВ = см, тогда АС = см.

По аксиоме измерения отрезков (рис. 40).

То есть,

Ответ: 15 см.

Замечание. В дальнейшем при решении задач не будем ссылаться на аксиому измерения отрезков.

Пример:

На отрезке АВ отмечены точки С и D (рис. 41). Найти длину отрезка CD, если:

Решение:

Если сложить отрезки AD и ВС, то получим отрезок АВ плюс отрезок CD. Отсюда

Ответ: а) 6 см; б)

Пример:

На отрезке АВ, равном 42 см, взята точка М. Найти расстояние между серединами отрезков AM и MB.

Решение:

Пусть С — середина отрезка AM, D — середина отрезка MB.

Обозначим (рис. 42).

Тогда

Следовательно, (см).

Замечание. В данной задаче мы доказали свойство: «Если на отрезке отмечена точка, то расстояние между серединами полученных отрезков равно половине данного отрезка». Утверждения, которые будут доказаны нами в ключевых задачах, могут в дальнейшем использоваться как известные свойства.

Прямая в высшей математике

Прямая L в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой). Пусть задана такая точка и вектор (Рис. 5.1).

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой L и только этой прямой. Равенства (5.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим радиус-вектор точки — радиус-вектор точки М. Тогда:

(5.2)

В силу коллинеарности векторов и существует число такое, что Тогда из (5.2) получим векторное параметрическое уравнение прямой:

(5-3)

В координатной форме уравнение (5.3) равносильно трем уравнениям:

(5.4)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Исключая из уравнений (5.4) параметр t, легко перейти к каноническим уравнениям прямой (5.1).

Обратный переход от (5.1) к (5.4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (5.1) к t. При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки . Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь рис. 5.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой L будет вектор . Используя (5.1), получаем искомые уравнения в виде:

Прямую L в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линии L в общем виде:

(5.6)

Система двух уравнений первой степени (5.6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы и неколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (5.6) носят название «общее уравнение прямой в пространстве».

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (5.6) к ее каноническим уравнениям (5.1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить ее направляющий вектор .

Точку находят, давая произвольное значение одной из переменных х, у или z. Решая систему (5.6), получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор параллелен линии пересечения плоскостей (5.6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей:

Поэтому в качестве можно взять вектор:

Понятие прямой

Нормальным вектором прямой называется любой вектор, перпендикулярный прямой.

Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой.

Взаимное расположение прямых

Пусть даны две прямые:

Эти прямые заданы своими точками и направляющими векторами и Поэтому:

Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна, соответственно, параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:

Условие параллельности:

Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:

Условие (5.8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.

Уравнения прямой на плоскости

1. Па плоскости Оху составим уравнение прямой l, проходящей через точку с нормальным вектором n=(А,В) (рис.6).

Возьмем любую точку М(х,у), лежащую на прямой l, и рассмотрим вектор Векторы и n будут взаимно перпендикулярными по определению нормального вектора: Следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:

В координатной форме это равенство примет вид:

Уравнение Ах+Ву+С=0, где А и В не равны одновременно нулю называется общим уравнением прямой.

Если то это уравнение можно представить в виде уравнения с угловым коэффициентом:

притом — угол наклона прямой к оси Ох.

Вывод. Прямая на плоскости однозначно определяется точкой и нормальным вектором.

2. Па плоскости Оху составим уравнение прямой l, проходящей через точку с направляющим вектором (рис.7).

Так как векторы коллинеарны, то — некоторое число, называемое параметром. Подставляя это выражение в уравнение, получаем векторное уравнение прямой:

или в координатной форме параметрические уравнения прямой:

Пусть m и n отличны от нуля. Разрешим каждое из уравнений относительно t:

откуда получаем каноническое уравнение прямой:

Пусть прямая l проходит через две точки Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор Составим уравнение прямой, проходящей через две точки:

Вывод. Прямая однозначно определяется точкой и направляющим вектором.

Пример:

Вершины треугольника находятся в точках А(2,2), В(1,-2), С(-1,0). Найти проекцию точки А на основание ВС.

Решение:

Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания ВС с перпендикуляром, опущенным из А на ВС.

Составим уравнение прямой ВС по двум точкам:

— каноническое уравнение прямой ВС — общее уравнение прямой ВС.

Обозначим искомую проекцию точкой Н(х,у). Т.к. то скалярное произведение векторов

равно нулю:

— общее уравнение прямой АН.

Теперь найдем проекцию точки А на основание ВС. Для этого решим систему: Следовательно, Задача решена.

Замечание. Уравнение прямой АН можно было находить другими способами. Например, из общего уравнения прямой ВС х+у+1=0 можно выписать координаты нормального вектора (коэффициенты при х и у соответственно). Т.к. то нормальный вектор прямой ВС будет являться направляющим вектором прямой АН:

По нормальному вектору и точке А(2,2) составляем каноническое уравнение прямой АН:

Уравнения прямой в пространстве

Уравнения прямой l, проходящей через точку с направляющим вектором в пространстве Oxyz составляются аналогичным плоскости образом.

Параметрические уравнения прямой примут вид:

В случае выразим канонические уравнения прямой:

Наконец, составим уравнения прямой, проходящей через две точки

Внимание! В пространстве точка и нормальный вектор однозначным образом определяют плоскость. Поэтому в пространстве общие уравнения прямой будут задаваться линией пересечения двух плоскостей.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник