Произвольный четырехугольник это что
Геометрия. Урок 4. Четырехугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение четырехугольника
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Выпуклые четырехугольники
В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:
S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ
где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).
Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.
Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.
Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Параллелограмм
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.
Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.
Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.
Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
Площадь ромба можно найти по трём формулам.
Как произведение стороны ромба на высоту ромба.
Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.
Как полупроизведение диагоналей ромба.
Прямоугольник
Свойства прямоугольника:
Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:
Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.
Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.
Квадрат
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:
Как квадрат стороны.
Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Свойства трапеции:
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками
math4school.ru
Четырёхугольники
Основные определения и свойства
Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:
Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:
Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:
Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:
В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.
Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:
Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:
MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).
Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:
Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.
Описанные четырёхугольники
Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.
Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:
Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:
Площадь описанного четырёхугольника:
где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.
Площадь описанного четырёхугольника:
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.
Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:
Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то
∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.
Вписанные четырёхугольники
Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.
Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:
Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:
Площадь вписанного четырёхугольника:
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.
У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.
Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:
Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:
∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:
Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).
Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:
Площадь параллелограмма можно определить:
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:
В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:
Площадь ромба можно определить:
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:
Площадь прямоугольника можно определить:
Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:
У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.
Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:
При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:
Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:
Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:
Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:
Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:
В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:
Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:
Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:
Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:
Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:
У равнобокой трапеции:
Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:
Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Площадь трапеции можно определить:
Дельтоид
Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.
Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.
Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.
В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.
Площадь любого дельтоида можно определить:
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.
Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.
Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.
Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.
Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:
Ортодиагональные четырёхугольники
Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.
Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:
Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:
Четырехугольники
теория по математике 📈 планиметрия
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Выпуклый четырехугольник
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.
Определение
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Виды и свойства выпуклых четырехугольников
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.
Прямоугольник
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.
S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.
Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Виды трапеций
Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.
углы А и С равны по 90 градусов
Средняя линия трапеции
Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.
Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.
Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.
По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.
Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.
с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:
Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Задание №1
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
| Цифры |
Решение
Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:
при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.
Итак, получили следующее:
1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.
Заполняем нашу таблицу:
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
| Цифры | 3 | 5 | 1 | 7 |
Записываем ответ: 3517
Задание №2
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).
Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».
Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.
Задание №3
Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.
Задание №4
Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).
Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м
Задание №5
Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.
| Номер магазина | Расход краски | Масса краски в одной банке | Стоимость одной банки краски | Стоимость доставки заказа |
| 1 | 0,25 кг/кв.м | 6 кг | 3000 руб. | 500 руб. |
| 2 | 0,4 кг/кв.м | 5 кг | 1900 руб. | 800 руб. |
Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
Решение
Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:
1 магазин: 232х0,25=58 кг
2 магазин: 232х0,4=92,8 кг
Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:
1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)
2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.
Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:
1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.
2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.
Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить