Произведение трех различных натуральных чисел равно 91 чему равна их сумма
Произведение трех различных натуральных чисел равно 91 чему равна их сумма
Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 999?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 66?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Упорядочим числа по возрастанию x1
999 + 1000 + 1001 + 1002 > 1026 + 1027 + 1028.
б) Если там есть число 66, то
в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие
не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше.
Если x30 ≠ x29 + 1, то можно заменить x30 на x29 + 1. Если после этого x29 ≠ x28 + 1, то можно заменить x29 на x28 + 1 и x30 на x28 + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд (даже все числа от x2 до x30 можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства
а примером могут служить числа от 79 до 108.
Произведение трех различных натуральных чисел равно 91 чему равна их сумма
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 420?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 419?
в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число — трехзначное, а последнее равно 5?
а) Да, например, для числа 398 получим 398 + 20 + 2 = 420.
б) Нет. Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3, поэтому сумма трех таких чисел всегда кратна 3, число 419 трем не кратно.
в) Поскольку число трехзначное, его сумма цифр не превосходит 27, значит, она должна быть равна 14 или 23. Переформулируем: подходят все трехзначные числа с остатком 5 при делении на 9, кроме тех, у которых сумма цифр 5.
Из цифр 5, 0, 0 можно составить одно такое трёхзначное число.
Из цифр 4, 1, 0 можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 3, 2, 0 можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 3, 1, 1 можно составить три таких числа.
Из цифр 2, 2, 1 можно составить три таких числа.
Других наборов с суммой 5 нет. Итого: 100 − 1 − 4 − 4 − 3 − 3 = 85 чисел.
Ответ: а) да, б) нет, в) 85.
Приведём решение пункта б) Елизаветы Зелененькой (Москва).
б) Представим первое число в следующем виде: x1 = 100a + 10b + c. Тогда второе число x2 = a + b + c = 10d + h, отсюда h = a + b + c − 10d. Третье число х3 = d + h. Запишем сумму всех трех чисел:
Заметим, что 102, 12, 3 и −9 делятся на три, значит, вся сумма делится на 3.
Приведём решение пункта в) Ярослава Бесчастного.
в) Если последнее число равно 5, то сумма цифр второго числа равна 5. Так как первое число трехзначное, его максимальная сумма цифр равна 27, значит, второе число либо 14, либо 23. Переберем все возможные варианты.
Если а = 9, то b + c = 5 (все пары (b; c): (5; 0), (4; 1), (3; 2), (2; 3), (1; 4), (0; 5)) — 6 вариантов. Дальше количество вариантов будет увеличиваться на 1:
Если а = 8, то b + c = 6 — 7 вариантов: (6; 0), (5; 1), (4; 2), (3; 3), (2; 4), (1; 5), (0; 6).
Если а = 7, то b + c = 7 — 8 вариантов: (7; 0), (6; 1), (5; 2), (4; 3), (3; 4), (2; 5), (1; 6), (0; 7).
Если а = 6, то b + c = 8 — 9 вариантов.
Если а = 5, то b + c = 9 — 10 вариантов. Дальше количество вариантов будет уменьшаться, т. к. b, с ⩽ 9.
Если а = 4, то b + c = 10 — 9 вариантов.
Если а = 3, то b + c = 11 — 8 вариантов.
Если а = 2, то b + c = 12 — 7 вариантов.
Если а = 1, то b + c = 13 — 6 вариантов.
Всего будет 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 70 вариантов.
Если а = 9, то b + c = 14 (все пары (b; c): (9; 5), (8; 6), (7; 7), (6; 8), (5; 9)) — 5 вариантов.
Если а = 8, то b + c = 15 — 4 варианта.
Если а = 7, то b + c = 16 — 3 варианта.
Если а = 6, то b + c = 17 — 2 варианта.
Если а = 5, то b + c = 18 — 1 вариант.
Если а = 4, то b + c = 19 — нет вариантов.
Всего будет 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 вариантов.
Итого: 70 + 15 = 85 вариантов.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ а пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ только в пункте а) или только в пункте б) и при этом обоснованно получен верный ответ в пункте в). | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) и в пункте б) Обоснованно получен верный ответ в пункте в). | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или в пункте б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
По условию, три числа различны. А для 104 и других получаем 104, 5, 5 — два совпадающих.
Произведение трех различных натуральных чисел равно 91 чему равна их сумма
Для набора 40 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 777?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 33?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Упорядочим числа по возрастанию x1
в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие
не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше. Если x40 ≠ x39 + 1, то можно заменить x40 на x39 + 1. Если после этого x39 ≠ x38 + 1, то можно заменить x39 на x38 + 1 и x40 на x38 + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд, кроме может быть первого (даже все числа от x3 до x40 можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства
будут уменьшаться одинаково). Далее можно увеличивать на 1 первое число и уменьшать на 1 все остальные. Так можно делать, если x2 − x1 > 2.
а примером могут служить числа от 36 до 75.
Произведение трех различных натуральных чисел равно 91 чему равна их сумма
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трех чисел быть равной 420?
б) Может ли сумма трех чисел быть равной 419?
в) Сколько существует троек чисел, таких что: первое число — трехзначное, а последнее равно 5?
а) Да, например, для числа 398 получим 398 + 20 + 2 = 420.
б) Нет. Число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3, поэтому сумма трех таких чисел всегда кратна 3, число 419 трем не кратно.
в) Поскольку число трехзначное, его сумма цифр не превосходит 27, значит, она должна быть равна 14 или 23. Переформулируем: подходят все трехзначные числа с остатком 5 при делении на 9, кроме тех, у которых сумма цифр 5.
Из цифр 5, 0, 0 можно составить одно такое трёхзначное число.
Из цифр 4, 1, 0 можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 3, 2, 0 можно составить четыре таких трёхзначных числа.
Из цифр 3, 1, 1 можно составить три таких числа.
Из цифр 2, 2, 1 можно составить три таких числа.
Других наборов с суммой 5 нет. Итого: 100 − 1 − 4 − 4 − 3 − 3 = 85 чисел.
Ответ: а) да, б) нет, в) 85.
Приведём решение пункта б) Елизаветы Зелененькой (Москва).
б) Представим первое число в следующем виде: x1 = 100a + 10b + c. Тогда второе число x2 = a + b + c = 10d + h, отсюда h = a + b + c − 10d. Третье число х3 = d + h. Запишем сумму всех трех чисел:
Заметим, что 102, 12, 3 и −9 делятся на три, значит, вся сумма делится на 3.
Приведём решение пункта в) Ярослава Бесчастного.
в) Если последнее число равно 5, то сумма цифр второго числа равна 5. Так как первое число трехзначное, его максимальная сумма цифр равна 27, значит, второе число либо 14, либо 23. Переберем все возможные варианты.
Если а = 9, то b + c = 5 (все пары (b; c): (5; 0), (4; 1), (3; 2), (2; 3), (1; 4), (0; 5)) — 6 вариантов. Дальше количество вариантов будет увеличиваться на 1:
Если а = 8, то b + c = 6 — 7 вариантов: (6; 0), (5; 1), (4; 2), (3; 3), (2; 4), (1; 5), (0; 6).
Если а = 7, то b + c = 7 — 8 вариантов: (7; 0), (6; 1), (5; 2), (4; 3), (3; 4), (2; 5), (1; 6), (0; 7).
Если а = 6, то b + c = 8 — 9 вариантов.
Если а = 5, то b + c = 9 — 10 вариантов. Дальше количество вариантов будет уменьшаться, т. к. b, с ⩽ 9.
Если а = 4, то b + c = 10 — 9 вариантов.
Если а = 3, то b + c = 11 — 8 вариантов.
Если а = 2, то b + c = 12 — 7 вариантов.
Если а = 1, то b + c = 13 — 6 вариантов.
Всего будет 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 70 вариантов.
Если а = 9, то b + c = 14 (все пары (b; c): (9; 5), (8; 6), (7; 7), (6; 8), (5; 9)) — 5 вариантов.
Если а = 8, то b + c = 15 — 4 варианта.
Если а = 7, то b + c = 16 — 3 варианта.
Если а = 6, то b + c = 17 — 2 варианта.
Если а = 5, то b + c = 18 — 1 вариант.
Если а = 4, то b + c = 19 — нет вариантов.
Всего будет 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 вариантов.
Итого: 70 + 15 = 85 вариантов.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ а пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ только в пункте а) или только в пункте б) и при этом обоснованно получен верный ответ в пункте в). | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) и в пункте б) Обоснованно получен верный ответ в пункте в). | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или в пункте б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
По условию, три числа различны. А для 104 и других получаем 104, 5, 5 — два совпадающих.
Произведение трех различных натуральных чисел равно 91 чему равна их сумма
Для набора 40 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число 777?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 33?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Упорядочим числа по возрастанию x1
в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие
не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше. Если x40 ≠ x39 + 1, то можно заменить x40 на x39 + 1. Если после этого x39 ≠ x38 + 1, то можно заменить x39 на x38 + 1 и x40 на x38 + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд, кроме может быть первого (даже все числа от x3 до x40 можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства
будут уменьшаться одинаково). Далее можно увеличивать на 1 первое число и уменьшать на 1 все остальные. Так можно делать, если x2 − x1 > 2.
а примером могут служить числа от 36 до 75.