Проекция катета это что
Проекция катета это что
Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике
§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике
Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).
Используем обычные обозначения:
`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;
`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;
`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;
`R` – радиус описанной окружности;
`r` – радиус вписанной окружности.
`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.
Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
`c^2 = a^2 + b^2`
Доказательство теоремы повторите по учебнику.
Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу
Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.
Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.
Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу
Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.
Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.
.
Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы
Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.
Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей
`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`
Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:
Катет
Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой. Для непрямоугольного треугольника катеты не существуют.
Длина катета может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
Длина катета равна произведению длины гипотенузы и косинуса прилежащего угла:
Длина катета равна произведению длины гипотенузы и синуса противолежащего угла:
Длина катета равна произведению длины другого катета и тангенса противолежащего угла, относительно искомого катета:
Длина катета равна произведению длины другого катета и котангенса прилежащего угла, относительно искомого катета. Длина катета равна среднему геометрическому длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу:
Квадрат высоты, выходящей из прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
— катеты 
— гипотенуза 
— угол, противолежащий a 
— угол, противолежащий b 
— проекции катетов a и b на гипотенузу.
С катетами совпадают две из трёх высоты прямоугольного треугольника.
По катету и гипотенузе или по двум катетам можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников.
Вращая прямоугольный треугольник вокруг катета можно получить прямой круговой конус.
См. также
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Катет» в других словарях:
КАТЕТ — (гр. kathete вертикальная линия). Каждая из двух перпендикулярных сторон прямого угла в прямоугольном треугольнике. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КАТЕТ греч. kathete, вертикальная линия. Каждая из … Словарь иностранных слов русского языка
КАТЕТ — (от греч. kathetos перпендикуляр) сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу … Большой Энциклопедический словарь
КАТЕТ — КАТЕТ, катета, муж. (греч. kathetos, букв. опущенный, отвесный) (мат.). В прямоугольном треугольнике одна из двух сторон, образующих прямой угол. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
КАТЕТ — КАТЕТ, а, муж. В математике: сторона прямоугольного треугольника, примыкающая к его прямому углу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
КАТЕТ — муж. катета жен., греч. каждая из сторон около прямого угла прямоугольного треугольника. | Архитектурное: отвес через средину задка ионической капители. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
катет — сущ., кол во синонимов: 1 • сторона (57) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
катет — а; м. [от греч. kathetos отвес] Матем. Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике. * * * катет (от греч. káthetos перпендикуляр), сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. * * * КАТЕТ КАТЕТ (от … Энциклопедический словарь
Катет — (от греч. káthetos перпендикуляр) сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу … Большая советская энциклопедия
Катет — стороны прямоугольного треугольника, составляющие между собою прямой угол. См. Гипотенуза и Треугольник … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Катет — м. Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Прямоугольные треугольники
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Подставим найденное значение в формулу косинуса
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Что такое проекция одного из катетов на гипотенузу?
Как найти длину проекции катета на гипотенузу?
Так как понятие «среднее геометрическое» эквивалентно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и делите полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/√С)² = А²/С.
Как найти катет если известна гипотенуза?
Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к первому катету угла.
Что такое проекция в планиметрии?
Как найти наклонную и ее проекцию?
Повернув прямоугольные треугольники вокруг общего их катета (перпендикуляра к плоскости) до совмещения их плоскостей, получим все наклонные (гипотенузы) и их проекции (другие катеты) в одной плоскости, где эти теоремы верны.
Что такое проекция в информатике?
Проекция, проецирование — получение изображения из оптического прибора на удалённом от него экране. Проекция (реляционная алгебра) — одна из операций над отношениями в реляционных базах данных.
Как найти сторону равнобедренного треугольника если известна гипотенуза?
Чтобы найти катеты равнобедренного треугольника, используйте теорему Пифагора. Она гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Формула: а^2+в^2=с^2.
Как найти неизвестный катет по теореме Пифагора?
Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и один из катетов, то второй катет найдите, используя теорему Пифагора. Поскольку сумма квадратов катетов a и b, равна квадрату гипотенузы c (c²=a²+b²), то, произведя несложное преобразование, получите равенство для нахождения неизвестного катета.
Почему в прямоугольном треугольнике гипотенуза Наибольшая сторона?
Как найти катет если два угла по 45?
Тогда по формуле Пифагора: а²+b²=c² имеем 2а²=с², отсюда а=с/√2 или а=с√2/2. Ответ: против угла 45° лежит катет, равный другому катету или равный гипотенузе, деленной на √2.
Проекция геометрических фигур
15 Dec 2020 в 16:17
15 Dec 2020 в 16:17 #1
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Когда мы проецируем фигуру на плоскость, то мы из каждой точки исходной фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость. И в итоге получается новая фигура, которая состоит из того же кол-ва точек, что и исходная. Тогда будет ли равна площадь исходной фигуры площади полученной фигуры в результате проецирования?
P.S. Я могу загуглить формулу площади проекции плоской фигуры.
15 Dec 2020 в 16:21 #2
проекция гипотенузы на катет = катет, но не наоборот, чуть чуть подумай головкой, либо можешь в лс написать я тебе поподробнее расскажу
площадь полученной фигуры не всегда будет равна площади изначальной, это жалкий частный случай
15 Dec 2020 в 16:31 #3
проекция гипотенузы на катет = катет, но не наоборот, чуть чуть подумай головкой, либо можешь в лс написать я тебе поподробнее расскажу
площадь полученной фигуры не всегда будет равна площади изначальной, это жалкий частный случай
Тогда у меня получается, что катет = гипотенузе
15 Dec 2020 в 16:32 #4
Тогда у меня получается, что катет = гипотенузе
15 Dec 2020 в 16:40 #5
15 Dec 2020 в 16:41 #6
Мы же должны из каждой точки катета опустить перпендикуляр на гипотенузу. Верхние и нижние точки катета совпадут с вершина треугольника. И если из них проведу перпендикуляр к гипотенузе, то самый нижний перпендикуляр совпадет с катетом b, а верхний с вершиной треугольника.
Я как бы понимаю, что катет не равен гипотенузе, но по моему рисунку почему-то равен
15 Dec 2020 в 16:43 #7
сам загуглишь что такое ортогональная проекция или помочь?
15 Dec 2020 в 16:47 #8
Что-то я не вижу здесь
из прямого угла опущена высота
15 Dec 2020 в 16:49 #9
сам загуглишь что такое ортогональная проекция или помочь?
Загуглить-то я и сам могу.
Что-то я не вижу здесь
На этом рисунке этого нет. Сейчас скину другой.
15 Dec 2020 в 16:53 #10
Мы же должны из каждой точки катета опустить перпендикуляр на гипотенузу. Верхние и нижние точки катета совпадут с вершина треугольника. И если из них проведу перпендикуляр к гипотенузе, то самый нижний перпендикуляр совпадет с катетом b, а верхний с вершиной треугольника.
Я как бы понимаю, что катет не равен гипотенузе, но по моему рисунку почему-то равен
на рисунке ты проецируешь гипотенузу на катет. При этом гипотенуза находится под углом к катету => очевидно не будет равна катету. Если бы они были паралелльны друг другу, то катет и гипотенуза были бы равны. НО это уже не треугольник.
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Когда мы проецируем фигуру на плоскость, то мы из каждой точки исходной фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость. И в итоге получается новая фигура, которая состоит из того же кол-ва точек, что и исходная. Тогда будет ли равна площадь исходной фигуры площади полученной фигуры в результате проецирования?
P.S. Я могу загуглить формулу площади проекции плоской фигуры.
потому что гипотенуза проецируется под прямым углом. Чтобы получить проекцию катета на гипотенузе, нужно провести перпенидкуляр из конца катета к гипотенузе.
15 Dec 2020 в 16:55 #11
Всем привет! Помогите разобраться. Если у нас есть прямоугольный треугольник и из прямого угла опущена высота, почему проекция катета на гипотенузу не равна самому катету?
Потому шо в треугольнике ( в частности который составлен из проекции, высоты и катета) напротив большего угла лежит большая сторона. При этом такой треугольник всегда будет образовываться, тк у прямоугольного треугольника исходного острые углы при гипотенузе. Тебе надо с аксиом начать и продолжить доказательством теорем с пониманием понятий, а не по другому. В первом предложении именно теорема, ее доказательство в начале любого учебника по планиметрии за 7-9 класс.
Можно было бы от противного доказать, предположив, что твое утверждение верное. А далее воспользоваться признаком равнобедренного треугольника и теоремой о сумме углов в треугольнике.