Признак того что в четырехугольник можно вписать окружность
Окружность, вписанная в четырехугольник
Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.
На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.
 |
Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что \( \small AB+CD=AD+BC \).
 |
Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то
Из равенств (1) и (2), следует:
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть \( \small AB+CD=AD+BC. \) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.
 |
Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.
Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.
Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.
Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.
Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:
Но по условию данной теоремы:
Вычтем из равенства (4) равенство (3):
Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).
Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.
Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).
 |
Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.
Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.
Вписанная в четырехугольник окружность
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c) \cdot r = pr \]
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c+d)\cdot r = pr \]
Примеры вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)
Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так:
Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник?
Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?
Сейчас мы это выясним!
Вписанный четырехугольник — коротко о главном
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.
Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Вписанный четырехугольник — определения и теоремы
Вот оказывается, что это неправда!
НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность.
Есть очень важное условие:
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \)
Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?
Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?
Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся.
Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \).
То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Так что запомни крепко-накрепко:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)
Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.
Доказательство смотри чуть дальше.
А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?
Вписанный параллелограмм
Попробуем сперва «методом научного тыка»:
Вот как-то не получается. Теперь применим знание:
Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.
То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).
У нас получилось, что
\( \displaystyle \left\< \begin
А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?
Ну, то же самое конечно.
\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \)
\( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \)
Около четырехугольника можно описать окружность
Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)
Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Дано: ABCD вписан в окр. (O; R)
∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.
∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.
Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то
Что и требовалось доказать.
Теорема (признак вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.
Дано: ABCD — четырёхугольник,
Доказать: ABCD можно вписать в окружность
Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.
Доказательство будем вести методом от противного.
Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.
Пусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.
В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.
Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то
∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.
Предположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.
Луч AD пересекает окружность в точке E.
Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.
Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,
∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.
Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Что и требовалось доказать.
На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.
Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.