Преобразование лапласа для чего

Преобразование Лапласа: определение, история и для чего оно нужно

Содержание:

Первоначально преобразование Лапласа было представлено Пьером-Симоном Лапласом в его исследовании теории вероятностей и первоначально рассматривалось как математический объект, представляющий чисто теоретический интерес.

Современные приложения возникают, когда различные математики пытались формально обосновать «операционные правила», используемые Хевисайдом при изучении уравнений теории электромагнетизма.

Определение

Говорят, что преобразование Лапласа существует, если предыдущий интеграл сходится, иначе говорят, что преобразование Лапласа не существует.

Как правило, строчные буквы используются для обозначения функции, которая должна быть преобразована, а заглавная буква соответствует ее преобразованию. Таким образом мы получим:

Примеры

Рассмотрим постоянную функцию f (t) = 1. У нас есть ее преобразование:

Преобразование может существовать или не существовать, например, для функции f (t) = 1 / t интеграл, который определяет ее преобразование Лапласа, не сходится, и поэтому его преобразование не существует.

Достаточные условия, гарантирующие существование преобразования Лапласа функции f, состоят в том, что f является кусочно-непрерывным при t ≥ 0 и имеет экспоненциальный порядок.

Функция называется кусочно-непрерывной при t ≥ 0, когда для любого интервала [a, b] с a> 0 существует конечное число точек t_k, где f имеет разрывы и непрерывна на каждом подынтервале [t_к-1, т_k].

С другой стороны, функция называется экспоненциальной порядка c, если существуют действительные константы M> 0, c и T> 0 такие, что:

В качестве примеров имеем f (t) = t 2 имеет экспоненциальный порядок, поскольку | t 2 | 3т для всех t> 0.

Формально имеем следующую теорему

Теорема (Достаточные условия существования)

Важно подчеркнуть, что это условие достаточности, то есть может случиться так, что существует функция, которая не удовлетворяет этим условиям, и даже тогда ее преобразование Лапласа существует.

Преобразование Лапласа некоторых основных функций

В следующей таблице показаны преобразования Лапласа наиболее распространенных функций.

История

Преобразование Лапласа обязано своим названием Пьеру-Симону Лапласу, французскому математику и астроному-теоретику, который родился в 1749 году и умер в 1827 году. Его слава была такова, что он был известен как Ньютон Франции.

В 1744 году Леонард Эйлер посвятил свои исследования интегралам вида

как решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но он быстро отказался от этого исследования. Позже Жозеф Луи Лагранж, который глубоко восхищался Эйлером, также исследовал эти типы интегралов и связал их с теорией вероятностей.

1782 г., Лаплас

В 1782 году Лаплас начал изучать эти интегралы как решения дифференциальных уравнений, а, по словам историков, в 1785 году он решил переформулировать проблему, которая позже породила преобразования Лапласа в том виде, в котором они понимаются сегодня.

Будучи введенным в область теории вероятностей, в то время он мало интересовал ученых и рассматривался только как математический объект, представляющий только теоретический интерес.

Оливер Хевисайд

В середине XIX века английский инженер Оливер Хевисайд обнаружил, что дифференциальные операторы можно рассматривать как алгебраические переменные, что дало преобразованиям Лапласа их современное применение.

Оливер Хевисайд был английским физиком, инженером-электриком и математиком, который родился в Лондоне в 1850 году и умер в 1925 году. Пытаясь решить задачи дифференциального уравнения, применяемые к теории колебаний, и используя исследования Лапласа, он начал формировать Современные приложения преобразований Лапласа.

Результаты, представленные Хевисайдом, быстро распространились по научному сообществу того времени, но, поскольку его работа не была строгой, он был быстро подвергнут критике со стороны более традиционных математиков.

Однако полезность работы Хевисайда в решении уравнений физики сделала его методы популярными среди физиков и инженеров.

Несмотря на эти неудачи и после нескольких десятилетий неудачных попыток, в начале 20-го века операционным правилам, данным Хевисайдом, можно было дать строгое оправдание.

Эти попытки принесли плоды благодаря усилиям различных математиков, таких как Бромвич, Карсон, ван дер Поль и других.

Свойства

Среди свойств преобразования Лапласа выделяются следующие:

Линейность

Пусть c1 и c2 постоянны, а функции f (t) и g (t), преобразования Лапласа которых суть F (s) и G (s) соответственно, тогда мы имеем:

Благодаря этому свойству преобразование Лапласа называется линейным оператором.

пример

Теорема о первом переводе

пример

Поскольку преобразование Лапласа cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), то:

Вторая теорема о переводе

пример

Если f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. И поэтому преобразование

Изменение масштаба

А ‘а’ ненулевое действительное, мы должны

пример

Поскольку преобразование f (t) = sin (t) есть F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), мы имеем

Преобразование Лапласа производных

Если f, f ’, f’ ’,…, f (п) непрерывны при t ≥ 0 и имеют экспоненциальный порядок, а f (п) (t) кусочно непрерывна при t ≥ 0, то

Источник