Предположим что справедливы следующие утверждения среди людей имеющих телевизоры

Предположим что справедливы следующие утверждения среди людей имеющих телевизоры

Задача 1. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 в биологическом. 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?

Задача 3. Серёже в 1993 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?

Задача 4. Предположим, что справедливы следующие утверждения:
а) среди людей имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами;
б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.
Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

Задача 5.
а) Можно ли покрыть шахматную доску размером 8*8 клеток доминошками 2*1 так, чтобы доминошки не перекрывались и не вылезали за пределы доски?
б) Тот же вопрос для доски 8*8 с вырезанной угловой клеткой.
в) Тот же вопрос для доски 8*8 с вырезанными левой верхней и правой верхней угловыми клетками.
г) Тот же вопрос для доски 8*8 с вырезанными левой нижней и правой верхней угловыми клетками.

Указания для преподавателей

В начале занятия рекомендуется разобрать задачи 1 (возможно, частично) и 2 из прошлого занятия. Можно разобрать (частично, или дать подсказку) задачу 6.

Задача 3 довольно простая.

Указания к задачам

Задача 3. Ответ: в 1973-м.

Задача 5. Ответы: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Источник

Логика для всех. От пиратов до мудрецов (4 стр.)

Рис. 4. Все любители рэпа – сантехники

Задача 2.5. Рассмотрим два утверждения. Сколько из них могут быть верными?

2) В этой корзине есть хотя бы один ядовитый гриб.

Ответ. Верно ровно одно утверждение.

Итак, чтобы построить отрицание к высказыванию про всех, надо заменить:

• свойство на противоположное (например, «ядовитое» на «съедобное»).

Итак, чтобы построить отрицание к высказыванию про некоторых, надо заменить:

• свойство на противоположное (например, «ядовитое» на «съедобное»).

Задача 2.7. Дано утверждение: «Все малышки хорошо поют». Незнайка сформулировал к нему отрицание: «Все малышки поют отвратительно».

1) Как с помощью закона исключенного третьего убедить Незнайку, что он ошибся?

2) Сформулируйте отрицание правильно.

Решение. 1) По закону исключенного третьего верно ровно одно из двух: либо утверждение, либо его отрицание. Найдя двух малышек, одна из которых поет хорошо, а вторая плохо, мы убедимся, что неверно ни само утверждение, ни его «отрицание», придуманное Незнайкой.

2) «Существует хотя бы одна малышка, которая поет плохо». Или «Некоторые малышки поют плохо».

Задача 2.8. Постройте отрицания к каждому утверждению, не используя частицу «не». Где сможете, укажите, что верно: утверждение или его отрицание. Где сможете, обоснуйте свое мнение примером или контрпримером.

1) На Земле существует хотя бы одна гора выше 10000 м над уровнем моря.

2) Существует хотя бы один вулкан с высотой более 10000 м относительно своего основания.

3) Любой жук помещается в спичечном коробке.

4) Некоторые горные реки быстрые.

5) Бутерброд всегда падает маслом вниз.

Ответ. 1) Верно отрицание: любая гора на Земле не выше 10000 м над уровнем моря. Обосновать утверждение такого типа примером нельзя, знание высоты Эвереста (8848 м) не доказывает, что более высоких гор нет.

2) Верно утверждение. Пример – вулкан Мауна-Кеа на Гавайских островах с высотой 10203 м от основания (и «всего» 4205 м над уровнем моря). Последний раз этот вулкан извергался несколько тысяч лет назад. А самый высокий вулкан Солнечной системы – гора Олимп на Марсе имеет высоту 21,2 км от основания.

3) Верно отрицание: существует хотя бы один жук, не помещающийся в спичечном коробке. Пример – жук-голиаф из подсемейства бронзовки, обитающий в Африке. Длина его тела достигает 11 см.

4) Верно утверждение. Примером служит любая горная река.

5) Не стоит относиться к этой задаче всерьез. Для точного построения отрицания потребуется сначала строго определить, что такое бутерброд. Например, может ли он вообще не содержать масла? Мы предполагаем, что при любом определении верным окажется отрицание, но для приведения примера может потребоваться тренировка.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.9. Рассмотрим два утверждения:

Б: В этой корзине есть хотя бы один съедобный гриб.

Могут ли быть верными: 1) оба утверждения; 2) ровно одно из них; 3) ни одного?

Задача 2.11. Нарисуйте с помощью кругов Эйлера иллюстрацию к каждому высказыванию. Есть ли среди иллюстраций одинаковые? Одинаков ли смысл соответствующих высказываний?

1. Все хоббиты живут в норах.

2. Все жители нор – хоббиты.

3. Некоторые кошки серые.

4. Некоторые серые существа – кошки.

Задача 2.12. Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: «У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек». Прав ли он?

Задача 2.13. Шерлок Холмс допросил Зайца, Волка и Лису по делу о съедении Колобка. Подозреваемые заявили:

Заяц: «Хотя бы один из нас съел Колобка».

Волк: «Хотя бы один из нас не ел Колобка».

Лиса: «Хотя бы один из нас сказал правду».

Как известно, Колобка съела Лиса. Кто сказал правду, а кто солгал?

Задача 2.14. Комиссия посетила больницу и составила отчет, в котором не было ни одного правдивого утверждения.

«Все врачи имеют достаточный опыт. Некоторые врачи никогда еще не ставили неправильного диагноза. Никто из врачей не опаздывает на работу. Все пациенты довольны лечением. Ни один из них не жалуется на бытовые условия. Некоторые пациенты выздоравливают за один день».

Напишите, как выглядел бы честный отчет.

Задача 2.15. В комнате собрались несколько жителей острова рыцарей и лжецов. Трое из них сказали следующее:

– Нас тут не больше трех человек. Все мы лжецы.

– Нас тут не больше четырех человек. Не все мы лжецы.

– Нас тут пятеро. Лжецов среди нас не меньше трех.

Сколько в комнате человек и сколько из них лжецов?

Задача 2.16. Предположим, что справедливы следующие утверждения:

• Среди людей, имеющих телевизоры, не все являются малярами.

• Люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

Занятие 3
Вдоль по Африке, или Примеры для некоторых и контрпримеры для всех

Школьники часто начинают решение задачи с поиска подходящего примера. Но тут встают три вопроса. Как такой пример подобрать? В каких случаях достаточно привести один пример для полного решения задачи? Что делать в остальных случаях? На этом занятии мы постараемся научиться отвечать на самый простой вопрос, но от этого не менее важный: на второй. Умение отличать решенную задачу от нерешенной – основа математической культуры. Отвечать на первый вопрос помогут другие выпуски нашей серии, а на третий – только годы занятий.

Источник

Формирование познавательных умений во внеурочной деятельности по математике в 5-6 классах с учётом государственных образовательных стандартов нового поколения (стр. 8 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Задача №1: Вычислить: а) 9587; б) 8396; в) 9787.

Тема: Решение олимпиадных задач.

Задача №1: Вычислите:

Задача №2: Что больше ?

Решение: для сравнения этих дробей дополним каждую из них до 1:

Задача №3: Сумма четырёх последовательных чётных чисел равна 3348. Найти их.

Ответ: 834, 836, 838, 840.

Задача №4: Найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 199.

1+3+5+…+195+197+199=(1+199)+(3+197)+99101=20050=10000.

Задача №5: На какую цифру оканчивается число?

А на какие цифры оканчиваются числа , , ?

Решение: поскольку нас интересуют только последние цифры результатов, достаточно определить последние цифры чисел

Число 9 при возведении в степень два варианта последних цифр: 9 (если степень нечётная) и 1 (если степень чётная). Это означает, что имеет последнюю цифру 9, а — цифру 1.

Число 2 при возведении в степень может давать следующие последние цифры: 2, 4, 8, 6. Если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 1 – последняя цифра 2; если остаток 2 – последняя цифра 4; остаток 3 – последняя цифра 8; без остатка – последняя цифра 6. Следовательно, имеет последнюю цифру 2, а — цифру 6.

Задача №6: Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6 (Цифры в записи числа не повторяются)?

4321=24(или 4 ), т. к. цифры не повторяются и :

на 1-м месте может быть любая из четырёх цифр;

на 2-м месте может быть любая из оставшихся трёх цифр;

на 3-м месте может быть любая из оставшихся двух цифр;

на 4-м месте – оставшаяся цифра.

Задача №7: Докажите, что 13+132+133+134+. +132001+132002 делится нацело на 7.

+132001(1+13)=14(13+133+. +132001). Т. к. 14 нацело делится на 7, то и само число делится нацело на 7.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 199.

Задача №3: Найдите значение дроби: .

Задача №4: Сумма шести последовательных чётных чисел равна 3018. Найдите эти числа.

Задача №1: При переоборудовании котельной установки, потребляющей 100 кг топлива в час, были применены два усовершенствования: одно – дающее 25 % экономии топлива, и другое – дающее 20 %. Сколько кг топлива стала потреблять установка после переоборудования в течение часа?

1) 100-0,25100=75(кг) – расход топлива (с одним усовершенствованием);

2) 75-0,275=60(кг) – потребление топлива в час после полного переоборудования.

1) 100-0,99100=1 (кг) – масса сухого вещества;

3) Составим пропорцию:

Задача №3: Цена билета для входа на стадион была 180 р. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоил билет после снижения входной платы?

Решение: входная плата с каждых двух зрителей до снижения была 360 р. После снижения вместо каждых двух зрителей стадион посещали 3 человека, платившие 360+90=450 р. Стоимость билета 450/3=150 р.

Задача №4: Морская вода содержит 5% соли (по весу). Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составляло 2 %?

Решение: В 40 кг морской воды содержится воды 40 (5/100)=2 кг соли, что будет составлять 2 % от нового количества воды, значит, новый раствор составит 2/(2/100)=100 кг, поэтому следует добавить 100-40=60 кг пресной воды.

Задача №5: Влажность свежескошенной травы 60%, сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?

Решение: В 1 тонне свежескошенной травы 60% влаги, т. е. – 600 кг, поэтому сухой массы =400 кг. Эта масса в сене составит 85%, откуда вес сена составит 400/(85/100)=470 и 10/17 кг.

Задача №6: Рыночная цена картофеля повысилась на 20%. Через некоторое время цена картофеля понизилась на 20%. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения цены и на сколько процентов?

Решение: Если цену картофеля до повышения принять за 100 частей, то после повышения она составила 120 частей, а после снижения на 20% цена уменьшилась на 120/(20/100)=24 части и стала равна 120-24=96 частей, т. е. составит 96%от исходной цены, т. е. после снижения картофель стал стоить на 4% дешевле.

Задача №7: На конечной остановке в трамвай сели пассажиры, и половина их заняла места для сидения. Сколько человек сели на конечной остановке в трамвай, если после первой остановки число пассажиров увеличилось на 8% и известно, что трамвай вмещает не больше 70 человек?

Решение: Искомое число пассажиров делится на 2 и, кроме того, 8/100 или 2/25 от этого числа есть число целое. Следовательно, искомое число делится на 2 и на 25, т. е. на 50, а т. к. оно не превосходит 70, то равно 50.

Задача №8: По пенсионному вкладу сбербанк выплачивает 30% в год. Чему будет равен вклад через 2 года, через 3 года.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков % воды в свежих грибах?

Задача №2: За весну Обломов сбавил в весе 25%, за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел или поправился он за год?

Задача №3: Как изменится цена товара, если сначала её увеличить на 100%, а затем уменьшить на 50%?

Задача №4: Путешественник в первый день прошёл 20% всего пути и 2 км. Во второй – прошёл 50% остатка и ещё 1 км. В третий день – 25% оставшегося пути и ещё 3 км. Остальные 18 км пути он прошёл в четвёртый день. Какова длина пути, пройденного путешественником?

Задача №5: Магазин продал одному покупателю 25% имеющегося в куске полотна, второму покупателю – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось непроданным?

Тема: Логические задачи.

Задача №1: Предположим, что справедливы следующие утверждения:

а) среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами,

б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли отсюда, что справедливо утверждение:

в) не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

Решение: По условию а) среди владельцев телевизоров заведомо есть не маляры. По условию б) ни один из них не может ежедневно купаться в бассейне (ибо не маляры, ежедневно купающиеся в бассейне, не имеют телевизоров), значит, утверждение в) справедливо (не все владельцы телевизоров ежедневно купаются в бассейне).

Задача №2: Каково наибольшее число утверждений из приводимых ниже, которые одновременно могут быть истинными:

в) Джо везёт, но он не ловкач;

г) если Джо ловкач, то ему не везёт;

д) Джо является ловкачом тогда и только тогда, если ему не везёт;

е) либо Джо ловкач, либо ему везёт, но не то и другое одновременно.

Решение: 4 утверждения: а), б), г), е).

Задача №3: В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?

Решение: Если, например, 7 щук насытятся (съев каждая по три голодные щуки), то останутся еще две голодные, которые насытятся (съев каждая по три ранее насытившиеся щуки); итак, общее количество насытившихся щук равно 9. Покажем, что 9 – наибольшее количество насытившихся щук.

Задача №4: a и b – целые положительные числа. Известно, что из следующих четырёх утверждений:

г) a+7b – простое число,

три верных, а одно неверное. Найдите все возможные пары a, b.

а) a+1=kb, б) a=2b+5, г) a+7b – простое число, откуда 2b+6=kb, т. е. b(k-2)=6.

Задача №5: Найти натуральное число А, если из трёх следующих утверждений два верны, а одно – неверно:

а) А+51 есть точный квадрат;

б) последняя цифра числа А есть единица;

в) А-38 есть точный квадрат.

Задача №6: Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

а) Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы;

б) лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист, лучший художник?

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: В правительстве 20 министров. По крайней мере один из них честен. Из любых двух министров хотя бы один продажен. Сколько честных министров?

Задача №3: Человек говорит: «Я лжец». Является ли он жителем острова?

Задача №4: В трёх мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?

Задача №5: Пришёл Иван-царевич в подземелье к Кащею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье три темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница – пустая. На дверях есть надписи, но все они ложные. На первой темнице написано: «»; на второй: «Темница №3 не пустая»; на третьей: «Здесь Змей Горыныч». В какой же темнице Василиса?

Тема: Координаты на плоскости.

Каждый, игравший в «Морской бой», знает, что клетки доски в этой игре обозначаются парой – буква и число. Мы будем обозначать клетки парой чисел. При этом первое число – номер столбца, а второе – номер строки.

1. Каждый из двух играющих размещает на доске свои корабли: один линкор (полоска из четырёх клеток), два авианосца (полоска из трёх клеток), три крейсера (две клетки рядом) и четыре катера (одна клетка). При этом корабли не должны соприкасаться даже углами.

Выигрывает тот, кто первым поразит все корабли вражеской флотилии.

2) а) Игра «Остров Сокровищ».

На остове Сокровищ была пещера, в которой капитан Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ганн. Перед смертью Бен Ганн решил оставить для потомков шифрованное письмо – описание пути, ведущего к кладу, и места, где он спрятан.

Поскольку старый пират получил в своё время неплохое образование, он решил для своих целей воспользоваться методом координат. Он взял карту острова, нарисовал на ней оси координат, выбрал единицы. В качестве главных ориентиров он указал координаты четырёх дубов:

Клад находился в точке пересечения прямых, соединяющих первый и третий, второй и четвёртый дубы.

Начертите в тетради координатную плоскость (за единичный отрезок можно выбрать расстояние в две клетки). Постройте точки, соответствующие местонахождению дубов, и определите координаты пещеры с сокровищами. А теперь начните заполнять карту острова Сокровищ. Нанесите на карту различные объекты(колодец, наблюдательную вышку, склад, пальмовую рощу и т. д.), опишите их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте. Пусть он восстановит вашу карту, а вы, в свою очередь, восстановите его карту. Сравните карты в классе. Чья получилась интереснее?

б) Как известно, сокровища Флинта были спрятаны на разных остовах. При этом для шифровки клада неоднократно использовался метод координат. На рисунке изображена карта острова, на которой видны два ориентира (два больших камня). Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой, но они знают, что камни на этой карте имели координаты A(2; 1), B(8; 2), а координаты клада (6; 6). Найдите на карте место клада.

/

3) Игра «Астрономия на координатной плоскости».

Легенда. У древних греков существовала легенда о созвездиях Большой и Малой медведиц. Всемогущий бог Зевс решил взять в жёны прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Калисто от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую Медведицу, её любимую собаку – в Малую Медведицу и взял их на небо.

Задача: изобразите созвездия на координатной плоскости (по вариантам):

/

/

/

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Нарисуйте свои картины по координатам.
ОТВЕТЫ

к заданиям для самостоятельной работы

5. 5050. Нужно сложить первое число с последним, второе с предпоследним и т. д. Получится 50 пар по 101.

6. а) (16+12):4+212=31; б) (16+12:4+2)12=252.

1. Решение задачи задаётся числовым выражением (7-5)+

2. Сначала из первого сосуда следует отлить во второй 7 л, затем из второго 2 л в третий.

3. Одновременно поставить часы. Как 3 мин пройдёт, по другим часам останется 4 мин.

4. Позаботьтесь о том, чтобы в одном сосуде оказался 1 л воды.

1. гр + сл=2 яб; 4 гр=5 яб+2 сл; сложим два равенства: 5 гр=7 яб+1 сл, следовательно, 5 груш тяжелее.

2. Весы уменьшают вес каждого взвешиваемого предмета на 100 г. Пакеты весят 600 и 400 г.

3. На чашки весов надо положить по одной монете, а третью монету отложить в сторону. При взвешивании может получиться два результата: 1) весы в равновесии, значит, фальшивая монета лежит в стороне; 2) весы не в равновесии, по условию – легче фальшивая.

4. Уравновесим на весах груз более тяжёлый, чем тело, которое нужно взвесить. Затем на чашку с гирями положим взвешиваемое тело и снимем несколько гирь, чтобы восстановить равновесие. Вес снятых гирь равен весу тела.

Источник