Правда ли что параллельные прямые пересекаются в космосе
Новое в блогах
Пересекаются ли параллельные или Что говорил Лобачевский?
Недавно в посте на околонаучные темы один из комментаторов завел разговор о геометрии Лобачевского (что он ее не понимает) и даже вроде попросил объяснить. Я тогда ограничилась утверждением, что понимаю. Объяснять эту теорию в ограниченных рамках комментария и одним текстом (без рисунков) показалось мне невозможным.
Однако, подумав, я все же решила попробовать дать небольшой популярный экскурс в эту теорию.
Немного предыстории. Геометрия со времен Евклида стала аксиоматической теорией, в которой большинство утверждений доказывалось на основе нескольких постулатов (аксиом). Считалось, что эти аксиомы «очевидны», т.е. отражают свойства реального (физического) пространства.
Одна из этих аксиом вызывала у ученых подозрение: а нельзя ли ее вывести из остальных постулатов? Современная формулировка этой аксиомы такова:
«Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей». То, что одну-то прямую можно провести, является не аксиомой, а теоремой.
При этом «параллельной» называется прямая, не пересекающая данную. Итак, суть аксиомы в том, что такая прямая – одна!
Лобачевский, как и многие до него, решил доказать, что это утверждение можно вывести из других аксиом. Для этого он, как это часто делается в математике, выбрал метод «от противного», т.е. предположил, что прямых, не пересекающих данную, больше одной и попытался вывести из этого противоречие с другими фактами. Но чем дальше он развивал теорию, тем больше убеждался, что никакого противоречия не предвидится! Т.е. получалось, что теория с «неправильным» постулатом тоже имеет право на существование!
Конечно, в первое время его выкладки не признавали, смеялись над ним. Именно поэтому великий Гаусс (который пришел к тем же выводам) не рискнул опубликовать свои результаты. Но со временем пришлось признать, что ЧИСТО ЛОГИЧЕСКИ теория Лобачевского ничем не хуже евклидовой.
Один из остроумных способов убедиться в этом – придумать такие «прямые», которые ведут себя как «прямые» Лобачевского. И математики нашли такой пример, и не один.
Пожалуй, самой простой является модель Пуанкаре. Вы можете сами построить ее нехитрыми приборами.
Начертите не листке бумаги прямую. Возьмите циркуль и, ставя его иглу на эту прямую, нарисуйте полуокружности, находящиеся с одной стороны от прямой. Теперь сотрите прямую (и с ней – концевые точки полуокружностей). Так вот, эти полуокружности «без концов» и будут вести себя, как прямые в геометрии Лобачевского!
Действительно, выделим одну полуокружность и точку вне нее. Есть достаточно много полуокружностей, которые не пересекаются с исходной и все проходят через данную точку. Среди них выделяются две: они касаются нашей исходной «прямой» в концевых точках (которые мы, как Вы помните, стерли) Т.е. реального пересечения не происходит. Эти две окружности задают «границы», между которыми находятся все прямые, не пересекающие данную. Их – бесконечное количество.
Можно заметить, что треугольники в этой модели не такие, как на плоскости (евклидовой): сумма их углов меньше 180 градусов! Впрочем, чем меньше треугольник, тем больше сумма его углов. В «малом», на небольших расстояниях, геометрия Лобачевского практически совпадает с геометрией Евклида. Поэтому, вообще говоря, мы не сможем «экспериментально» отличить одну от другой, если окажется, что доступные нам (космические) расстояния– малы для этой цели.
Впрочем, в наше время ни физики, ни, тем более, математики, не пытаются воспринимать геометрию Лобачевского как модель «реального», физического пространства. Математики поняли, что все, что они могут сказать: если верны такие-то аксиомы, то верны и такие-то теоремы. Ну, а что такое «множества», «точки», «прямые», «углы», «расстояния», и т.п. – этого мы не знаем! Прямо как у Станислава Лема: «Сепульки – это объекты для сепулькирования»
«Говорят, Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. [ … ] Таким образом, одна из главных функций математического доказательства – создание надежной основы для проникновения в суть вещей.»
Правда ли, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются?
Приближается 229‑ая годовщина со дня рождения великого неэвклидового геометра Лобачевского Николая Ивановича, и грех эту дату не отметить.
На самом деле в геометрии Лобачевского параллельные прямые не только пересекаются, но после пересечения снова становятся параллельными и по ним уже ничего не скажешь.
Это означает, что, если смотреть на точку пересечения двух параллельных, нельзя определить, были ли они однажды параллельными и только тут ни с того ни с сего пересеклись, или они извечно не параллельны. (В жизни такое сплошь и рядом.) Кстати, кто сказал, что, если они не были параллельными, а тут пересеклись, они больше никогда не станут параллельными? Возможно, они станут даже перпендикулярными. В геометрии Лобачевского всяко бывает, за что его не очень любили на родине.
Сам Лобачевский признался своему клаузистору, что готов сойти с ума от поведения параллельных в бесконечно замкнутом пространстве, но ему помогла жена Варвара Алексеевна, которая не только вынула его из веревочной петли, но и предположила, что, взаимно пересекаясь, параллельные линии на момент пересечения как бы выходят из общей плоскости «приложения», а потом в нее возвращаются. То есть делают своего рода петлю. (Современные ученые говорят, что из этого можно смастерить машину времени, но это они зря!)
Что интересно, петербургские профессора варварину идею приняли со скрипом, назвав модель «волосатой плоскостью», а саму Варвару дурой. И если бы не заступничество Магницкого и графа Мусина-Пушкина, Лобачевского погнали бы с должности ректора Казанского университета имени Лобачевского.
После этих событий великий неэвклидовый геометр получил герб с еврейской звездой Давида по левому краю (посмотрите в Википедии) и символом команды Тоттенхем по правому. Этим объясняется тот странный факт, что в холле главного офиса команды Тоттенхем в городе Тоттенхем на севере Южной Англии весит большой портрет Эвклида кисти Репина, который как в воду смотрел, настолько Эвклид получился живым: с ним здороваются даже футболисты, далекие от математики.
ПС. У Путина тоже есть герб, но секретный. Могу дать подробное описание, вы со стула упадете.
Почему параллельные линии в космосе пересекаются?
Параллельные линии не пересекаются. Нигде и никогда. Потому что параллельность так определяется «Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются (иногда параллельными также считаются прямые, которые совпадают)».
Широко распространено мнение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются, но это не так. Объяснять долго и понять сложно, поэтому если нет необходимости в этом разобраться, просто поверьте математику на слово. Потому что (даже математику) можно прекрасно прожить и без этих знаний, не использующихся в повседневной жизни.
В однородном пространстве, когда в любой точке этого пространства требования к нему абсолютно одинаковы, параллельные прямые ни когда не пересекутся. Но если где-то прямые и пересекаются, то они изначально не верно считались параллельными, либо изменилось пространство, просто надо учесть эти изменения. Либо мы смотрим на них не в той плоскости, ведь параллельные прямые свитые в спираль, если мы смотрим на нее в плоскости, периодически пересекаются. Так что в строгих условиях параллельные прямые не пересекаются.
Параллельные прямые не пересекаются даже в космосе с учетом гравитации. Однако они могут кое-где приближаться друг к другу, а где-то отдаляться. В Евклидовой геометрии пятый постулат как раз и определяет, что расстояние между параллельными прямыми одинаково.
Правда ли что параллельные прямые пересекаются в космосе
Все мы в школе проходим курс геометрии — науки, в которой кто-то не видит смысла, а иные находят свое призвание. При этом мы изучаем Евклидову геометрию, зародившуюся более двух тысяч лет назад, но и сейчас остающуюся актуальной. Но почти все слышали и о других, так называемых неевклидовых геометриях, в частности — о геометрии Лобачевского.
Показать полностью. И самое странное, что знакомство с этой наукой заканчивалось на утверждении, что она допускает возможность пересечения параллельных прямых. Этот факт удивляет, даже поражает, но, как и все непонятное, воспринимается на веру.
А ведь на самом деле геометрия Лобачевского не так уж сильно отличается от привычной нам геометрии и параллельные прямые в ней не пересекаются — это досужий миф, родившийся при странных обстоятельствах. Но, для того чтобы это понять, необходимо хотя бы вкратце разобрать историю появления геометрии как науки.
В школах изучается геометрия, основы которой были заложены древнегреческими математиками. А примерно в 300 году до н. э. свет увидел труд, ставший основой всей современной геометрии, — «Начала» Евклида.
В «Началах» собраны все геометрические сведения, полученные трудами десятков математиков античности, живших до Евклида. Этот труд, состоящий из тридцати больших томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают пространство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.
Однако с конца XVIII века начались попытки создания геометрии, отличной от геометрии, описанной в «Началах». Причиной тому стали противоречия, возникающие в Евклидовой геометрии, в частности знаменитая проблема пятого постулата. Следствием этого постулата является понятие параллельных прямых, не пересекающихся на всем их протяжении. Само по себе это утверждение не представляет собой чего-то необычного или странного, но в нем есть один изъян — доказать его с помощью математического аппарата просто-напросто невозможно! И именно это обстоятельство толкнуло ученых на создание неевклидовой геометрии, в которой данный недостаток был бы устранен.
Над указанной проблемой трудилось несколько ученых, в том числе и знаменитый Карл Гаусс, но «первопроходцем» в этой области стал русский математик Николай Лобачевский. Первая его работа, заложившая основы геометрии, отличной от Евклидовой, появилась в 1829 году и с тех пор не претерпела особых изменений. Вначале геометрия Лобачевского считалась непригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описываемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Лобачевским, вскоре нашли практическое применение — стало возможным решение ряда практических задач, практически не решаемых с помощью традиционных средств.
Главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида — в том же пятом постулате. Именно из-за этой аксиомы многие люди ошибочно считают, что неевклидова геометрия допускает пересечение параллельных прямых. Однако это глубочайшее заблуждение, родившееся из-за неверной трактовки постулата и некоторых упущенных из внимания вещей.
Пятый постулат геометрии Лобачевского утверждает, что если на плоскости лежат прямая и точка, то через эту точку можно провести хотя бы две прямые, не пересекающиеся с первой прямой. А в геометрии Евклида через точку можно провести только одну-единственную прямую. Таким образом, неевклидова геометрия допускает, что на одной плоскости может находиться сразу несколько прямых линий, не пересекающихся друг с другом.
А утверждение о возможности пересечения параллельных прямых в геометрии Лобачевского возникло из-за простого незнания аксиом этой геометрии. Ведь при ближайшем рассмотрении оказывается, что в неевклидовой геометрии не только не говорится о пересечении параллельных прямых, но и не говорится о параллельных прямых вообще — разговор здесь идет именно о непересекающихся прямых, находящихся на одной плоскости.
Чтобы понять это, необходимо сделать одно очень важное уточнение: геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. В геометрии Лобачевского пространство не плоско, оно имеет некоторую отрицательную кривизну. Представить это достаточно сложно, но хорошей моделью такого пространства являются геометрические тела, похожие на воронку и седло. И все сказанное выше относится именно к поверхностям этих фигур.
Так что необходимо избавиться от превратных понятий о геометрии Лобачевского и понять, что она может применяться только по отношению к миру с искривленным пространством. Однако космология (наука, изучающая Вселенную) в последние годы приходит к выходу, что пространство, в котором мы живем, может обладать отрицательной кривизной, наилучшим образом описываемой именно геометрией Лобачевского.
Пять мифов о геометрии Лобачевского
Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.
На самом деле геометрия Лобачевского не слишком сильно отличается от привычной нам Евклидовой. Дело в том, что из пяти постулатов Евклида четыре первых Лобачевский оставил без изменения. То есть он согласен с Евклидом в том, что между двумя любыми точками можно провести прямую, что ее всегда можно продолжить до бесконечности, что из любого центра можно провести окружность с любым радиусом, и что все прямые углы равны между собой. Не согласился Лобачевский только с пятым, наиболее сомнительным с его точки зрения постулатом Евклида. Звучит его формулировка чрезвычайно мудрено, но если переводить ее на понятный простому человеку язык, то получается, что, по мнению Евклида, две непараллельные прямые обязательно пересекутся. Лобачевский сумел доказать ложность этого посыла.
Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются
Это не так. На самом деле пятый постулат Лобачевского звучит так: «На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную». Иными словами, для одной прямой можно провести как минимум две прямые через одну точку, которые не будут ее пересекать. То есть в этом постулате Лобачевского речи о параллельных прямых вообще не идет! Говорится лишь о существовании нескольких непересекающихся прямых на одной плоскости. Таким образом, предположение о пересечении параллельных прямых родилось из-за банального незнания сути теории великого российского математика.
Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни
Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию
Это не совсем так. Параллельно с ним и независимо от него к подобным выводам пришли венгерский математик Янош Бойяи и знаменитый немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. Однако труды Яноша не были замечены широкой публикой, а Карл Гаусс и вовсе предпочел не издаваться. Поэтому именно наш ученый считается первопроходцем в этой теории. Однако существует несколько парадоксальная точка зрения, что первым неевклидову геометрию придумал сам Евклид. Дело в том, что он самокритично считал свой пятый постулат не очевидным, поэтому большую часть из своих теорем он доказал, не прибегая к нему.