Правда ли что диагонали ромба равны

Общие сведения

На начальных этапах при расчетах следует правильно опознать фигуру. Для каждого геометрического тела существуют основные признаки, по которым она идентифицируется. Кроме того, некоторые параметры взаимосвязаны между собой некоторыми зависимостями. У каждой из них есть такие характеристики: размер сторон, углы, периметр, площадь, а также свойства, полученные при доказательстве теорем.

В любой дисциплине с физико-математическим уклоном существуют аксиомы и теоремы. Первые не требуют доказательства, а для вторых — оно необходимо. Последние доказываются на основании аксиом или доказательств других теорем. При изучении какой-либо фигуры следует начинать с определения, исходя из которого можно получит некоторую важную информацию.

Информация о ромбе

Ромбом называется параллелограмм, который имеет равные стороны. Частным его случаем считается квадрат, у которого внутренние углы при вершинах прямые. Фигуры отличаются размером сторон и углами. Однако для всего типа действуют признаки и свойства. Некоторые путают эти два термина. Однако они существенно отличаются между собой.

С помощью признаков можно правильно распознать фигуру, а потом применить необходимые формулы для решения задач. Свойства используются только после идентификации. Они позволяют вычислить некоторые параметры или доказать теоремы. Достаточно двух признаков для точного определения типа фигуры.

Чтобы не запутаться в терминологии математики предлагают простые определения. Признаками является характерные параметры, которые присущи определенному типу геометрического тела. Свойства — совокупность утверждений, которые применяются для нахождения параметров, величин, доказательства тождеств и решения уравнений.

Основные признаки

Ромб имеет такие же признаки, как и параллелограмм. Однако существуют некоторые критерии, по которым можно отличить эти две фигуры:

Однако под эти признаки попадает не только ромб, но и квадрат. Существует специальный алгоритм, позволяющий выяснить принадлежность четырехугольника к той или иной группе. Он состоит из следующих шагов:

Например, у четырехугольника с прямыми внутренними углами диагонали пересекаются в некоторой точке, и образуют 4 треугольника с прямым углом. Следует идентифицировать тип фигуры. Для этого нужно воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

Алгоритм является очень простым. При его применении не возникает проблем вообще.

При использовании признаков и алгоритма специалисты-математики гарантируют точность определения. После идентификации фигуры необходимо обратить внимание на ее свойства.

Важные свойства

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, которые следует учитывать. Ошибка некоторых новичков заключается в том, что они при поиске свойств не обращают внимания на частные случаи. Из-за невнимательности некоторые задачи решаются очень долго, а иногда произвести вычисления просто невозможно. К основным свойствам параллелограмма относятся следующие:

Ромб обладает также свойствами, которые присущи только ему. Это связано с тем, что он является частным случаем класса параллелограммов. К ним необходимо отнести следующие:

Некоторые из свойств были получены при доказательстве теорем. Для выведения третьего свойства использовалась теорема Пифагора.

Теоремы о диагоналях

В геометрии всего две теоремы о диагоналях ромба. Для удобства их можно объединить в одну с такой формулировкой: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами внутренних углов фигуры. Для доказательства следует рассмотреть сначала первое свойство, которое называется теоремой о свойстве диагоналей ромба.

Для этого необходимо начертить произвольный ромб ABCD с диагоналями, которые будут обозначаться АС = d1 и BD = d2. Они пересекаются в некоторой точке W. По восьмому свойству параллелограмма: AW = CW, т. е. они будут делиться на два равных отрезка (половина длины диагонали).

После этого нужно рассмотреть треугольник ABC, который является равнобедренным по определению ромба, а также по третьему признаку. Если AW = CW, то BW является его медианной. В равнобедренном треугольнике она является биссектрисой, а также высотой. Последняя — проходит под прямым углом к противолежащей стороне. Следовательно, перпендикулярность двух диагоналей доказана.

В треугольнике ABC отрезок BW — биссектриса угла B. Аналогично необходимо доказывать для углов A, С и D (рассматриваются треугольники BAD, BCD и ADC соответственно). Таким методом доказано и второе свойство ромба. Однако для решения задач недостаточно признаков и свойств. Для этих целей необходимо использовать формулы.

Формулы для вычислений

Каждую геометрическую характеристику ромба можно определить, используя некоторые соотношения. В задачах бывают известны определенные значения. Однако их бывает недостаточно, поскольку для вычисления какого-либо параметра следует найти промежуточные величины.

Чтобы правильно понимать формулы, следует ввести некоторые обозначения. Они позволят заметно сократить записи. Этот особый подход часто применяют математики. Пусть дан ромб, который имеет такие параметры:

Кроме того, у него есть такие характеристики, как площадь (размерность) и периметр. Они обозначаются литерами S и P соответственно.

Периметр и размерность

Периметром геометрической фигуры называется величина, которая эквивалентна суммарному значению всех его сторон. Площадь — характеристика геометрического тела, которая показывает его размерность. Следует отметить, что размерность существует только у двумерной фигуры. Если последняя принадлежит трехмерному пространству, то необходимо вычислять ее объем, поскольку размерности у нее нет.

Для определения периметра существует одна формула P = 4a. Однако сторону можно выражать через S, R, D, d1, d2, высоту h, а также через углы f и g. Для S существует больше соотношений. Некоторые из них можно также дополнительно вывести, выражая через некоторые параметры. Базовыми формулами являются следующие:

В последнее соотношение необходимо верно подставлять значения. Нужно обратить внимание на то, что берется произведение большей диагонали d1 на тангенс острого угла g, и наоборот — значение меньшей диагонали, умноженной на тангенс тупого угла g.

Длина стороны

В задачах определенного типа возникает необходимость найти длину стороны. Для нахождения этого параметра ромба существуют также формулы и соотношения, которые помогут получить верный ответ. К базовым из них можно отнести следующие:

Чтобы вычисления были верными, необходимо учитывать, что в 5 и 6 пунктах угол f — острый, a g — тупой. Функция «sqrt» применяется в различных математических пакетах и языках программирования. Она эквивалентна квадратному корню из числа, которое находится под корнем.

Соотношения для диагоналей

Существуют определенные задачи, в которых необходимо найти диагонали ромба. Можно, конечно, не пользоваться готовыми формулами, а выводить их. Математики рекомендуют осуществлять такие операции, поскольку идет тренировка мозга. Однако в некоторых ситуациях, например на контрольной или экзамене, время не хватает. Следовательно, на решение нужно тратить меньше времени.

Как бы быстро ни считал человек в уме или пользовался калькулятором, лишние вычисления занимают много времени. Следовательно, для оптимизации нужно пользоваться готовыми соотношениями, позволяющими находить нестандартные параметры. К ним можно отнести вычисление длины диагоналей ромба (d1 — большая, d2 — меньшая). Для этого следует применять такие формулы:

В 11 и 12 формулах следует обратить особое внимание на обозначения углов. Острый угол — f, а тупой — g. Следует отметить, что все 12 пунктов — базовые формулы для нахождения диагоналей. Однако можно выводить соотношения самостоятельно, как в пунктах 5 и 6 (замена a 2 на S).

Вписанная окружность

Когда в ромб вписана окружность, то появляются другие соотношения. Очень часто математики специально вписывают ее, поскольку в результате такой операции открывается больше возможностей. Базовые соотношения следующие:

Необходимо отметить, что R = D / 2. Если умножить каждое из соотношений на 2, то можно получить значение диаметра D вписанной окружности.

Таким образом, очень важным шагом при решении задачи является идентификация геометрической фигуры. После этого можно применять основные формулы для нахождения неизвестных величин.

Источник

Что такое ромб: определение, свойства, признаки

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d₁ и d₂ (согласно теореме Пифагора).

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

Источник

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Рис.1	Рис.2

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d ₁ = a √ 2 + 2 · cosα

d ₂ = a √ 2 + 2 · cosβ

d ₁ = 2 a · cos ( α /2)

d ₁ = 2 a · sin ( β /2)

d ₂ = 2 a · sin ( α /2)

d ₂ = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Диагонали ромба

Поскольку ромб является одним из видов параллелограмма, то диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Кроме этого, диагонали ромба обладают другими свойствами.

(Свойство диагоналей ромба)

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

AC и BD — диагонали.

AC и BD — биссектрисы углов ромба.

Рассмотрим треугольник ABC.

Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то AO=OC.

Значит, BO — медиана треугольника ABC (по определению медианы).

Следовательно, BO — высота и биссектриса треугольника ABC (по свойству равнобедренного треугольника).

BD — биссектриса углов ABC (и ADC).

Из треугольника ABD аналогично доказывается, что AC — биссектриса углов BAD и BCD.

Что и требовалось доказать.

2 Comments

А оно надо так стараться?
Все маленькие треугольники равны по трем сторонам, следовательно углы посередине равны, получаем
4x = 360
x = 90
И про биссектрисы теорема сразу следует из равенства углов

Justifier, стараться надо всегда) Ваше доказательство вполне рабочее. Только надо каждый шаг обосновать. По длине окажется не короче приведенного выше. Геометрия тем и хороша, что доказать утверждение можно разными способами. Доказали по-своему — отлично!

Источник

Все формулы длины диагоналей ромба

4. Диагонали пересекаются под прямым углом (90°)

5. Диагонали являются биссектрисами

Формулы диагоналей через сторону и угол, ( D d ):

Формулы диагоналей через сторону и половинный угол, ( D d ):

Формулы диагоналей через сторону и другую диагональ, ( D d ):

Формулы диагоналей через угол и другую диагональ, ( D d ):

Формулы диагоналей через площадь ( D d ):

Источник