Постройте умозаключение доказывающее что число 19 является простым число 22 является составным

1. Докажите что число 22?

1. Докажите что число 22.

Посчитаем сумму цифр этого числа :

Признак делимости на 3 : если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Докажите что числа 575 10053 3627 565656 являются составными?

Докажите что числа 575 10053 3627 565656 являются составными.

Докажите, что числа 49, 25, 36, 16 являются составными?

Докажите, что числа 49, 25, 36, 16 являются составными.

Докажите что числа 67925 67064 46521 являются составными?

Докажите что числа 67925 67064 46521 являются составными.

Докажите, что число 565656 является составным?

Докажите, что число 565656 является составным.

Докажите, что числа 575, 10053, 3627, 565656 является составными?

Докажите, что числа 575, 10053, 3627, 565656 является составными.

Докажите, что площадь квадрата, сторона которого является простым числом, является составным числом?

Докажите, что площадь квадрата, сторона которого является простым числом, является составным числом.

Докажите, что площадь квадрата, сторона которого является простым числом, является составным числом?

Докажите, что площадь квадрата, сторона которого является простым числом, является составным числом.

Докажите что числа 2968, 3600, 888888, 676767 являются составными?

Докажите что числа 2968, 3600, 888888, 676767 являются составными.

Докажите что числа 575, 10053, 3627, 565656 являются составными?

Докажите что числа 575, 10053, 3627, 565656 являются составными.

Используя пртзнаки делимости, докажите что число 7690 является составным?

Используя пртзнаки делимости, докажите что число 7690 является составным.

Источник

Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что a = bq.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество <1,2,3,4,6,9,12,18,36>.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справед­ливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а : _. а.

то b ⁞͞ a.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а ⁞. b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следова­тельно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞ b и b⁞ с, то а⁞ с.

а⁞ с.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.

Теорема 9. Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

1.Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.

2.Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = <2, 6,. 12, 18, 24>. Как от­ражены на этом графе свойства данного отношения?

4. Запишите множество делителей числа.

5.На множестве X = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12>задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6.Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7.Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

Источник

Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что a = bq.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество <1,2,3,4,6,9,12,18,36>.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справед­ливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а : _. а.

то b ⁞͞ a.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а ⁞. b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следова­тельно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞ b и b⁞ с, то а⁞ с.

а⁞ с.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.

Теорема 9. Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

1.Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.

2.Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = <2, 6,. 12, 18, 24>. Как от­ражены на этом графе свойства данного отношения?

4. Запишите множество делителей числа.

5.На множестве X = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12>задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6.Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7.Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

Источник

Что такое Простые числа

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Простые числа до 1000

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Источник

Тема 4. Математическое доказательство

Тема 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Большую часть знаний об окружающей нас действитель­ности мы получаем с помощью рассуждений. Знание будет истинным, если оно получено путем правильного рассужде­ния, а таким считают рассуждение, построенное по прави­лам логики.

Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли у вас в процессе конкрет­ных доказательств, конечно, недостаточно, чтобы обучать доказательству младших школьников. Учителю нужны бо­лее глубокие знания о тех правилах, в соответствии с кото­рыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства, о взаимосвязи индук­ции и дедукции.

Эти вопросы и будут рассмотрены в данной лекции.

1. Умозаключения и их виды

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используют­ся (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

В умозаключении из посылок выво­дится заключение.

Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения за­ключается в следующем. Используя различные средства на­глядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 6 ∙ 3 = 3 ∙ 6, 5 ∙ 2 = 2 ∙ 5, 3 ∙ 7 = 7 ∙ 3. А затем, на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b вер­но равенство а ∙ b =b ∙ а.

Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомнева­емся в его истинности. Такие умозаключения называют в ло­гике дедуктивными.

Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении ло­гического следования.

Часто используют такую запись: B В ней черта заменяет слово «следовательно».

В примере 1 рассмотрено дедуктивное умозаключение. В дедуктивном умозаклю­чении всегда, когда истинны посылки, истинно и заключение.

Умозаключение, которое рассмотрено в примере 2, отлич­но от первого. В нем приведены три посылки частного харак­тера, которые показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произве­дение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаклю­чения называют неполной индукцией.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключе­нием, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.

Вообще к выводам, полученным с помощью неполной ин­дукции, надо относиться критически, так как они носят ха­рактер предположения, гипотезы и нуждаются в дальнейшей проверке: их надо либо доказать, либо опровергнуть.

Несмотря на то что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Почти все общие положения и, в частности, научные законы являются результатом умозаключений, назы­ваемых неполной индукцией.

Слово «аналогия» в переводе с греческого означает «соответствие, сходство».

Вообще под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них дела­ется вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Аналогия помогает открывать новые знания, способы дея­тельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипо­тезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в оп­ровержении.

Например, ученик установил, что число делится на 6, ес­ли оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приве­дем несколько примеров.

Аналогия может быть использована для установления от­ношений между данными объектами. Например, учащиеся ус­тановили, что 4(3 + 7) > 4 ∙ 3 + 4 ∙ 6, так как 4 ∙ (3 + 7) = 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7, а 4 ∙ 7 > 4 ∙ 6. Рассматривая затем выражения 3 ∙ (8 + 9) и 3 ∙ 8 + 3 ∙ 7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3 ∙ (8 + 9) > 3 ∙ 8 + 3 ∙ 7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.

Аналогия может быть использована и для выводов о спо­собе действия на основе изучения другого способа. Так, по­сле рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27 ∙ 3 = (20 + 7) ∙ 3 = 20 ∙ 3 + 7 ∙ 3 = 81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712 ∙ 4 = (700+10 + 2) 4 = 2800 + 40 + 8 = 2848. Далее по анало­гии устанавливают, как умножить 6288 на 3.

Следующим шагом может быть обобщение, т. е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т. е. использование неполной индукции.

2. Схемы дедуктивных умозаключений

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умо­заключения. Согласно определению (п. 1), в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отноше­нии логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение.

Выясним, что обозначают все знаки, использованные в за­писи этих правил; как их применять на практике.

Приведем пример умозаключения, выполненного по пра­вилу заключения:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х де­лится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следова­тельно, число 135 делится на 5.

Приведем теперь пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания.

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х де­лится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же, как и в предыдущем, а частная представляет собой отри­цание высказывания «число 177 делится на 5.

И, наконец, рассмотрим пример умозаключения, постро­енного по правилу силлогизма.

Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х крат­но 12, то оно кратно 3.

3. Способы математического доказательства

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у кото­рого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Заметим, что сущность проведенного доказательства со­стоит в построении такой последовательности истинных ут­верждений (теорем, аксиом, определений), из которых логиче­ски следует утверждение, которое нужно было доказать.

Например, в приведенном выше доказательстве можно вы­делить следующие умозаключения:

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Задача 1. Доказать, что каждое составное натуральное число, больше 4, но меньше 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Решение. Вспомним определение простого и составного числа. Простым называется такое натуральное число, кото­рое делится только на 1 и на себя. Числа 2, 13, 5, 17- про­стые. Числа, которые имеют более двух делителей, называ­ются составными. Число 1 не является ни простым, ни со­ставным.

В данной задаче рассматривается множество чисел, ко­торые больше 4, но меньше 20. Составными в нем будут чис­ла: 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18. Каждое из них можно пред­ставить в виде суммы двух простых чисел: 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 9 = 7 + 2; 10 = 5+5 (или 7+3); 12 = 5+7; 14 = 11+3 (или 7+7); 15 = 13+2; 16 = 13 + 3 (или 11 + 5), 18 = 13 + 5 (или 11+7). Так как данное утверждение истинно во всех частных случа­ях, то оно доказано.

Примером косвенного доказательства является доказатель­ство методом от противного. Сущность его состоит в следую­щем. Пусть требуется доказать теорему А => В. При доказатель­стве методом от противного допускают, что заключение теоре­мы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. При­соединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых нахо­дится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключе­ний до тех пор, пока не получится утверждение, противореча­щее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказы­вает истинность теоремы А => В.

Задача 2. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7.

Решение. Предположим, что заключение данного утвер­ждения ложно, тогда истинным будет его отрицание, т. е. предложение а = 7. Подставим это значение а в неравенство а + 3 > 10. Получим предложение 7 + 3 > 10 или 10 > 10, кото­рое ложно. Пришли в противоречию с определением отноше­ния «больше» для чисел. Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому, если а + 3 > 10, то а ≠ 7.

Завершая обсуждение вопросов, связанных с математиче­ским доказательством, выясним, как связаны между собой неполная индукция с дедуктивным выводом.

Основные выводы темы 4

Для того чтобы разобраться с особенностями математи­ческого доказательства, нам пришлось познакомиться с по­нятиями:

— посылка и заключение,

— дедуктивные (правильные) умозаключения,

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно свя­заны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровер­гать, т. е. нужна дедукция. С другой стороны, дедукция не воз­никает на пустом месте, а является результатом предвари­тельного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющего­ся знания получать новые истины, и притом с помощью рас­суждения, без обращения к опыту, интуиции и т. д.

Упражнения по теме «Умозаключения и их виды»

1. Объясните, почему приведенные ниже высказывания
считают истинными:

а)7>5; в) (4 + 6):2 = 4:2 + 6:2;

б)7 + 3>7+1; г)(6-4):2 = (6:2)-4. Сформулируйте правила, которыми вы воспользовались. Содержат ли они квантор общности?

4. Известно, что запись числа оканчивается цифрой 8. Сле­дует ли из этого, что данное число делится на:

5. В четырехугольнике ABCD диагонали равны и в точке
пересечения делятся пополам. Верно ли, что ABCD:

а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник?

6. В четырехугольнике ABCD все стороны равны. Доста
точно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD:

8. Выскажите предположение, рассмотрев несколько част ных случаев:

а) К однозначному числу приписали такую же цифру. Вс
сколько раз увеличилось число?

б) Имеются два числа, ни одно из которых не делится на 3
Может ли (и при каком условии) сумма этих чисел разделить
ся на 3?

в) Верно ли, что квадрат четного числа есть число, кратное 4

Надо ли доказывать сделанный вами вывод?

10. Сравните значение выражений (а + 6)(7-а) и а(а

12. Зная, что равенство ^—^ = — верно для любых натураль-

ных чисел а, Ъ и с, ученик решил, что верным будет и равенство:

13. Выяснив, что (12+4):2 = 12:2+4:2, ученик решил ана­логично действовать при нахождении значения выражения (12-4):2, и записал: (12-4):2 = (12:2)-(12:4). Прав ли он?

14. Известно, что если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3. Верны ли следующие высказывания, сформулиро­ванные по аналогии с данными:

а) Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5.

б) Если число делится на 12, то оно делится на 2 и на 6.

в) Если число делится на 14, то оно делится на 2 и на 7.

15. Учителю необходимо подвести учащихся к выводу о
том, что «при сложении числа с нулем получается то число,
которое складывали с нулем». Какой метод рассуждений вы
выберете?

Упражнения по теме «схемы дедуктивных заключений»

1. В каждом из следующих умозаключений выделите по-
сылки и заключение:

а) Если число натуральное, то оно целое; если число целое,
то оно рациональное, следовательно, если число натуральное,
то оно рациональное.

в) Всякое натуральное число целое; число 138- целое, сле-
довательно, оно натуральное.

г) Всякое натуральное число целое; число 0,2 не является
целым, следовательно, оно не является и натуральным.

2. Проанализируйте схему каждого умозаключения из уп­ражнения 1. Есть ли среди них умозаключения, не являющиеся дедуктивными?

3. Используя правило заключения, закончите умозаключе­ние так, чтобы оно было дедуктивным:

б) Равные треугольники имеют равные площади. Тре-
угольники ABC и KLM.

в) Для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы
в нем был прямой угол. В ромбе ABCD.

4. Используя правило отрицания, закончите умозаключе­ния из упражнения 3 так, чтобы они были дедуктивными.

5. Восстановите общую посылку в умозаключении:

а) Число 12- натуральное, следовательно, оно положи-
тельное.

6. Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что

а) 130 делится на 10,

б) 137 не делится на 10.

г) Четырехугольник ABCD не является прямоугольником.

7. Используя круги Эйлера, проверьте, правильны ли сле-
дующие умозаключения:

а) Всякий квадрат является прямоугольником; четырех-
угольник ABCD не квадрат, следовательно, он не является
прямоугольником.

8. Сравнивая выражения 36-7 и 36-4, ученик рассуждал так: «36-7 меньше 36-4, так как 7 больше 4». Восстановите его рассуждение полностью. Назовите посылки и заключение.

Упражнения по теме «Способы математического доказательства»

Источник

• ← Постройте отрицания следующих высказываний и выясните что истинно данное высказывание или отрицание
• Постройте умозаключение доказывающее что число 19 является простым →