Последовательные натуральные числа что это

Калькулятор суммы последовательных чисел

Все числа характеризуются свойствами делимости или факторизации, но кроме этого существуют числа, которые легко представить в виде суммы последовательных натуральных чисел.

Разложение чисел на составляющие

В теории чисел каждое натуральное число легко представить в виде составляющих. Разложение элементов натурального множества на простые множители позволяет выразить числа в виде произведения составляющих. Простые множители — это элементы целого ряда, которые делятся только на себя и на единицу, но их произведение формирует искомое число. Например, 50 легко разбить на неделимые и записать его в виде 2 × 5 × 5. Однако числа можно представлять не только в виде произведения, но и в форме суммы.

Совершенные числа

Наиболее известным примером выражения натуральных чисел в виде суммы являются совершенные и последовательные числа. Совершенные числа представляют собой математические объекты, которые записываются в виде суммы собственных делителей. Например, к таким объектам относятся 6 и 28:

По мере того, как натуральный ряд растет, совершенные числа встречаются все реже. Первые шесть членов совершенной последовательности выглядят так:

6, 28, 496, 8 128, 33 550 336, 8 589 869 056.

Очевидно, что совершенных чисел не так много, а математикам до сих пор неизвестно, существуют ли их предел или совершенная последовательность устремляется в бесконечность.

Последовательные числа

Последовательные числа записываются в виде суммы последовательных членов натурального ряда. Натуральный ряд — это положительные целые числа, которые мы используем при счете предметов. Последовательные члены ряда — это два рядом стоящих элемента, к примеру, 2 и 3, 17 и 18, 178 и 179.

Достаточно много натуральных чисел мы можем записывать в виде суммы последовательных элементов. Например, число 57 мы можем записать в трех вариантах:

Точно также легко записать 58, 59, 60 и далее, а вот 64 последовательным числом не является и его невозможно представить в виде суммы последовательных членов натурального ряда.

Наш онлайн-калькулятор позволяет представить натуральные числа в виде суммы последовательных. Как видно, выразить число в виде суммы можно несколькими способами, поэтому наша программа высчитывает только один способ, который раскладывает число на сумму наибольшего количества слагаемых.

Примеры

Суммирование последовательных чисел

В работе с последовательными элементами натурального ряда существует несколько хитростей. Первая из таких уловок — это сложение пяти последовательных чисел быстрым способом, который состоит в умножении на 5 третьего члена последовательности. Например, если мы хотим быстро сложить 1 + 2 + 3 + 4 + 5, нам достаточно умножить 3 на 5 и получить 15. Давайте проверим и введем 15 в форму онлайн-калькулятора:

Если мы возьмем следующую сумму из пяти последовательных чисел, например, 10 + 11 + 12 + 13 + 14, то умножив третий член на 5, мы получим 12 × 5 = 60. Проверим число 60 на возможность разложения в последовательный ряд:

Как видите, число 60 легко разложить на сумму тремя способами, среди которых есть и наш, который выражен в виде суммы пяти последовательных чисел.

Разложение чисел на сумму последовательных элементов

Для решения такой задачи от вас потребуется только ввести число в форму калькулятора. Давайте попробуем разложить на последовательные слагаемые большие числа:

Таким образом, вы можете разложить достаточно большое количество членов натурального ряда, так как не последовательные числа встречаются довольно редко.

Заключение

Теория чисел — чистая математика, которую трудно использовать в повседневной жизни. Несмотря на это, вы можете использовать нашу программу для исследования самых разных свойств чисел.

Источник

Натуральные числа

Натуральные числа: определение, операции, свойства

Определение

Натуральными числами называются числа, предназначенные для счета предметов. Для записи натуральных чисел используются 10 арабских цифр (0–9), положенных в основание общепринятой для математических расчетов десятичной системы счисления.

Последовательность натуральных чисел

Иногда в ряд натуральных чисел вводят и 0. Это допустимо, и тогда говорят о расширенном натуральном ряде.

Классы натуральных чисел

Каждая цифра натурального числа выражает определенный разряд. Самая последняя – это всегда количество единиц в числе, предыдущая перед ней – количество десятков, третья от конца – количество сотен, четвертая – количество тысяч и так далее.

Для больших и очень больших чисел можно увидеть устойчивую тенденцию (если исследовать число справа налево, то есть от последней цифры к первой):

То есть всякий раз мы имеем дело с тремя цифрами, означающими единицы, десятки и сотни более крупного наименования. Такие группы формируют классы. И если с первыми тремя классами в повседневной жизни приходится иметь дело более или менее часто, то другие следует перечислить, потому что далеко не все помнят наизусть их названия.

Сложение натуральных чисел

Сложение натур.чисел представляет собой арифметическое действие, позволяющее получить число, в котором содержится столько же единиц, сколько имеется в складываемых числах вместе.

Знаком сложения является знак «+». Складываемые числа называются слагаемыми, получаемый результат – суммой.

Небольшие числа складывают (суммируют) устно, письменно такие действия записывают в строку.

Многозначные числа, которые прибавлять в уме затруднительно, принято складывать в

Если в столбик складывается не 2, а больше чисел, то при суммировании цифр разряда избыточным может оказаться не 1 десяток, а несколько. В этом случае на следующий разряд переносится количество таких десятков.

Вычитание натуральных чисел

Вычитание – это арифметическое действие, обратное сложению, которое сводится к тому, что по имеющейся сумме и одному из слагаемых нужно найти другое – неизвестное слагаемое. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым; число, которое вычитают, – вычитаемым. Результат вычитания называют разностью. Знак, которым обозначают действие вычитания, является «–».

При переходе к сложению вычитаемое и разность превращаются в слагаемые, а уменьшаемое – в сумму. Сложением обычно проверяют правильность выполненного вычитания, и наоборот.

Здесь 74 – уменьшаемое, 18 – вычитаемое, 56 – разность.

Обязательным условием при вычитании натуральных чисел является следующее: уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае полученная разность тоже будет натуральным числом. Если действие вычитания осуществляется для расширенного натурального ряда, то допускается, чтобы уменьшаемое было равно вычитаемому. И результатом вычитания в этом случае будет 0.

Примечание: если нулю равно вычитаемое, то операция вычитания не изменяет величины уменьшаемого.

Вычитание многозначных чисел обычно производят в столбик. Записывают при этом числа так же, как и для сложения. Вычитание выполняется для соответствующих разрядов. Если же оказывается, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то берут единицу из предыдущего (находящегося слева) разряда, которая после переноса, естественно, превращается в 10. Эту десятку суммируют с цифрой уменьшаемого данного разряда и после этого производят вычитание. Далее при вычитании следующего разряда обязательно учитывают, что уменьшаемое стало на 1 меньше.

Произведение натуральных чисел

Произведение (или умножение) натуральных чисел – это арифметическое действие, представляющее собой нахождение суммы произвольного количества одинаковых слагаемых. Для записи действия умножения используют знак «·» (иногда «×» или «*»). Например: 3·5=15.

Действие умножение незаменимо при необходимости складывать большое количество слагаемых. Например, если нужно число 4 прибавить 7 раз, то перемножить 4 на 7 проще, нежели выполнять такое сложение: 4+4+4+4+4+4+4.

Числа, которые перемножают, называются множителями, результат умножения – произведением. Соответственно, термин «произведение» может в зависимости от контекста выражать собой как процесс умножения, так и его результат.

Многозначные числа перемножают в столбик. Для этого числа записывают так же, как и для сложения и вычитания. Рекомендуется первым (выше) записывать то из 2-х чисел, которое длиннее. В этом случае процесс умножения будет более простым, а следовательно, более рациональным.

При умножении в столбик выполняют последовательное умножение цифры каждого из разрядов второго числа на цифры 1-го числа, начиная с его конца. Найдя первое такое произведение, записывают цифру единиц, а цифру десятков держат в уме. При умножения цифры 2-го числа на следующую цифру 1-го числа к произведению прибавляют ту цифру, которую держат в уме. И снова записывают цифру единиц полученного результата, а цифру десятков запоминают. При умножении на последнюю цифру 1-го числа полученное таким способом число записывают полностью.

Результаты умножения цифры 2-го разряда второго числа записывают вторым рядом, сместив его на 1 клетку вправо. И так далее. В итоге будет получена «лесенка». Все получившиеся ряды цифр следует сложить (по правилу сложения в столбик). Пустые клетки при этом нужно считать заполненными нулями. Полученная сумма и есть конечное произведение.

Примечание

Деление натуральных чисел

Делением называют арифметическое действие, с помощью которого по известному произведению и одному из множителей может быть найдет другой – неизвестный – множитель. Деление является действием, обратным умножению, и используется для проверки правильности выполненного умножения (и наоборот).

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, – делителем; результат деления называется частным. Знаком деления является «:» (иногда, реже – «÷»).

Здесь 48 – делимое, 6 – делитель, 8 – частное.

Не все натуральные числа можно поделить между собой. В этом случае выполняют деление с остатком. Заключается оно в том, что для делителя подбирается такой множитель, чтобы его произведение на делитель было бы числом, максимально близким по значению к делимому, но меньшим него. Делитель умножают на этот множитель и вычитают его из делимого. Разность и будет остатком от деления. Произведение делителя на множитель называют неполным частным. Внимание: остаток обязательно должен быть меньше подобранного множителя! Если остаток больше, то это означает, что множитель подобран неверно, и его следует увеличить.

где a – перемножаемое само на себя число, x – количество таких множителей.

Простые и составные натуральные числа

Всякое натуральное число, кроме 1, можно разделить как минимум на 2 числа – на единицу и на само себя. Исходя из этого критерия, натуральные числа разделяют на простые и составные.

Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, делящаяся исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным.

Простыми являются числа: 2,3,5,7,11,13,17,19 и т.д. Примеры составных чисел: 4 (делится на 1,2,4), 6 (делится на 1,2,3,6), 20 (делится на 1,2,4,5,10,20).

Всякое составное число можно разложить на простые множители. Под простыми множителями при этом понимаются его делители, являющиеся простыми числами.

Пример разложения на простые множители:

Делители натуральных чисел

Под делителем понимают число, на которое можно без остатка разделить данное число.

В соответствии с этим определением, простые натур.числа имеют 2 делителя, составные – больше 2 делителей.

Многие числа имеют общие делители. Общим делителем называется число, на которое данные числа делятся без остатка.

Особое значение имеет наибольший общий делитель (НОД). Это число, в частности, полезно уметь находить для сокращения дробей. Для его нахождения требуется разложить данные числа на простые множители и представить его как произведение их общих простых множителей, взятых в наименьших своих степенях.

Требуется найти НОД чисел 36 и 48.

Делимость натуральных чисел

Далеко не всегда представляется возможным «на глазок» определить, делится ли одно число на другое без остатка. В таких случаях полезным оказывается соответствующий признак делимости, то есть правило, по которому за считанные секунды можно определить, можно ли разделить числа без остатка. Для обозначения делимости используется знак «».

Наименьшее общее кратное

Эта величина (обозначается НОК) представляет собой наименьшее число, которое делится на каждое из заданных. НОК может быть найден для произвольного набора натуральных чисел.

НОК, как и НОД, имеет значительный прикладной смысл. Так, именно НОК нужно находить, приводя обыкновенные дроби к общему знаменателю.

НОК определяется путем разложения заданных чисел на простые множители. Для его формирования берется произведение, состоящее из каждого из встречающихся (хотя бы для 1 числа) простых множителей, представленных в максимальной степени.

Требуется найти НОК чисел 14 и 24.

Среднее арифметическое

Средним арифметических произвольного (но конечного) количества натуральных чисел является сумма всех этих чисел, разделенная на количество слагаемых:

Среднее арифметическое представляет собой некоторое усредненное значение для числового множества.

Даны числа 2,84,53,176,17,28. Требуется найти их среднее арифметическое.

Источник

Числа. Натуральные числа.

Простейшее число — это натуральное число. Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Для подсчета времени в градусной мере углов существует шестидесятеричная система счисления (основа число 60). В 1 часе — 60 минут, в 1 минуте — 60 секунд; в 1 угловом градусе — 60 минут, в 1 угловой минуте — 60 секунд.

Всякое натуральное число легко записать в виде разрядных слагаемых.

Числа 1, 10, 100, 1000. – это разрядные единицы. При их помощи натуральные числа записывают как разрядные слагаемые. Таким образом, число 307 898 в виде разрядных слагаемых записывается так:

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Обозначение натуральных чисел: Множество натуральных чисел обозначают символом N.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Сравнение натуральных чисел.

Таблица разрядов и классов чисел.

1-й разряд единицы тысяч

2-й разряд десятки тысяч

3-й разряд сотни тысяч

1-й разряд единицы миллионов

2-й разряд десятки миллионов

3-й разряд сотни миллионов

4-й класс миллиарды

1-й разряд единицы миллиардов

2-й разряд десятки миллиардов

3-й разряд сотни миллиардов

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы.

Основные свойства натуральных чисел.

Действия над натуральными числами.

1. Сложение натуральных чисел результат: сумма натуральных чисел.

Формулы для сложения:

В основном, сложение натуральных чисел выполняется « столбиком ».

2. Вычитание натуральных чисел – операция, обратная сложению: разница натуральных чисел.

Формулы для вычитания:

Вычитание натуральных чисел удобно производить « столбиком ».

3. Умножение натуральных чисел : произведение натуральных чисел.

Формулы для умножения:

(а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с

(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с

4. Деление натуральных чисел – операция, обратная операции умножения.

Формулы для деления:

Числовые выражения и числовые равенства.

Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением.

Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами. У равенства есть левая и правая части.

Порядок выполнения арифметических действий.

Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо.

Когда в выражении есть скобки – сначала выполняют действия в скобках.

Например, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Источник

Изучение точного предмета: натуральные числа это какие числа, примеры и свойства

В математике существует несколько различных множеств чисел: действительные, комплексные, целые, рациональные, иррациональные, дробные… В нашей повседневной жизни мы чаще всего используем натуральные числа, так как мы сталкиваемся с ними при счете и при поиске, обозначении количества предметов….

Какие числа называются натуральными

Из десяти цифр можно записать абсолютно любую существующую сумму классов и разрядов. Натуральными значениями считаются те, которые используются:

N значения всегда целые и положительные. Наибольшего N не существует, так как множество целых значений не ограничено.

Внимание! Натуральные числа получаются при счете предметов или при обозначении их количества.

Абсолютно любое число может быть разложено и представлено в виде разрядных слагаемых, например: 8.346.809=8 миллионов+346 тысяч+809 единиц.

Множество N

Множество N находится в множестве действительных, целых и положительных. На схеме множеств они бы находились друг в друге, так как множество натуральных является их частью.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N. Это множество имеет начало, но не имеет конца.

Еще существует расширенное множество N, где включается нуль.

Наименьшее натуральное число

В большинстве математических школ наименьшим значением N считается единица, так как отсутствие предметов считается пустотой.

Но в иностранных математических школах, например во французской, нуль считается натуральным. Наличие в ряде нуля облегчает доказательство некоторых теорем.

Ряд значений N, включающий в себя нуль, называется расширенным и обозначается символом N0 (нулевой индекс).

Ряд натуральных чисел

N ряд – это последовательность всех N совокупностей цифр. Эта последовательность не имеет конца.

Особенность натурального ряда заключается в том, что последующее число будет отличаться на единицу от предыдущего, то есть возрастать. Но значения не могут быть отрицательными.

Внимание! Для удобства счета существуют классы и разряды:

Все N

Все N находятся во множестве действительных, целых, неотрицательных значений. Они являются их составной частью.

Эти значения уходят в бесконечность, они могут принадлежать классам миллионов, миллиардов, квинтиллионов и т.д.

Например:

Последовательность в N

В разных математических школах можно встретить два интервала, которым принадлежит последовательность N:

от нуля до плюс бесконечности, включая концы, и от единицы до плюс бесконечности, включая концы, то есть все положительные целые ответы.

N совокупности цифр могут быть как четными, так и не четными. Рассмотрим понятие нечетности.

Нечетные (любые нечетные оканчиваются на цифры 1, 3, 5, 7, 9.) при делении на два имеют остаток. Например, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Что значит четные N

Любые четные суммы классов оканчиваются на цифры: 0, 2, 4, 6, 8. При делении четных N на 2, остатка не будет, то есть в результате получается целый ответ. Например, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Важно! Числовой ряд из N не может состоять только из четных или нечетных значений, так как они должны чередоваться: за четным всегда идет нечетное, за ним снова четное и т.д.

Свойства N

Как и все другие множества, N обладают своими собственными, особыми свойствами. Рассмотрим свойства N ряда (не расширенного).

Внимание! Все вышеперечисленные неравенства действительны и в обратном направлении.

Как называются компоненты умножения

Во многих простых и даже сложных задачах нахождение ответа зависит от умения школьников умножать.

Для того, чтобы быстро и правильно умножать и уметь решать обратные задачи, необходимо знать компоненты умножения.

15.10=150. В данном выражении 15 и 10 являются множителями, а 150 – произведением.

Умножение обладает свойствами, которые необходимы при решении задач, уравнений и неравенств:

Например: 15.Х=150. Разделим произведение на известный множитель. 150:15=10. Сделаем проверку. 15.10=150. По такому принципу решаются даже сложные линейные уравнения (если упростить их).

Важно! Произведение может состоять не только из двух множителей. Например: 840=2.5.7.3.4

Что такое натуральные числа в математике?

Разряды и классы натуральных чисел

Вывод

Подведем итоги. N используются при счете или обозначении количества предметов. Ряд натуральных совокупностей цифр бесконечен, но он включает в себя только целые и положительные суммы разрядов и классов. Умножение тоже необходимо для того, чтобы считать предметы, а также для решения задач, уравнений и различных неравенств.

Это интересно! Легкие правила округления чисел после запятой

Источник