Последовательные четные числа что такое

Четные и нечетные числа

Задолго до нашей эры древнегреческий ученый, занимаясь музыкой установил связь между длинной струны музыкального инструмента и издаваемым звуком. Это наблюдение позволило Пифагору сделать вывод, что не только законы музыки, но и все на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром!» — провозгласил великий ученый.

Числа стали для Пифагора всем. Именно он впервые разделил все числа на четные и нечетные. Исследования Пифагора и его учеников положили начало важнейшей области математики — теории чисел.

Современные ученые доказали важность этой теории. Разделение всех чисел на четные и нечетные нашло свое подтверждение в структуре вирусов и ДНК, в знаменитых опытах Пастера с поляризацией винной кислоты, в нарушении четности элементарных частиц и других теориях.

Кстати сказать, что четные числа пифагорейцы считали женскими, а нечетные — мужскими. Символом брака у древних греков было число пять, которая состоит из суммы нечетной тройки и четной двойки.

Кроме математики Пифагор страстно любил музыку. Пифагор связал науку и искусство с помощью чисел. Первые четыре числа задают все известные консонантные интервалы в музыке: октаву (1:2), квинту (2:3) и кварту (3:4).

Четные и нечетные числа стали неотъемлемой частью нашей жизни. В теории числе четность определяется как характеристика целого числа, определяющая его способность делиться на два без остатка. То есть, если целое число делится без остатка на два, оно является чётным (2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (1, 3, 75, −19).

Интересно узнать, что нуль считается чётным числом.

К основным признакам четности относятся следующие:

В том случае, если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число является чётным, в противном случае — нечётным.

Например, 42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

Так же были выделены закономерности получения четных и нечетные чисел при выполнении основным арифметический действий:

При сложении и вычитании:

Чётное ± Чётное = Чётное
Чётное ± Нечётное = Нечётное
Нечётное ± Чётное = Нечётное
Нечётное ± Нечётное = Чётное
При умножение:

Чётное × Чётное = Чётное
Чётное × Нечётное = Чётное
Нечётное × Нечётное = Нечётное
При делении:

Чётное / Чётное — не дает однозначного ответа о чётности результата, поскольку, если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным;
Чётное / Нечётное = четное, если результат целое число;
Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, следовательно у него отсутствуют показатели четности;
Нечётное / Нечётное = нечетное, если результат целое число.

Источник

Четные числа: как их распознать, примеры, упражнения

Содержание:

Поскольку каждое четное число делится ровно на 2, мы можем получить четное число из любого другого, просто умножив на 2. Отсюда следует, что общая форма любого четного числа такова:

А как насчет чисел между парами, например 3, 5, 7 и т. Д.?

Ну они нечетные числа. Таким образом, целые числа можно разделить на две широкие категории: нечетные и четные. Это качество чисел называется паритет.

И, как мы видим из числовых последовательностей, четные и нечетные чередуются, то есть если мы начинаем с 0, который является четным, затем 1, который является нечетным, затем 2, который является четным, затем 3, который является нечетным. и так далее.

Примеры четных чисел

Пока существуют целые количества, некоторые из них могут быть равными и присутствовать в природе и во многих реальных жизненных ситуациях. Если у нас есть определенное количество, с помощью которого могут быть сформированы группы из двух человек, это количество будет четным. Например:

-Всего пальцев рук 10, это четное число. У нас также есть четное количество глаз, рук, ушей, ног и ступней.

-У насекомых почти всегда 2 пары крыльев, то есть у них всего 4 крыла, также у них 3 пары ног, всего 6 ног и 2 усика.

-У нас есть 2 родителя, 4 бабушки и дедушки, 8 прабабушек и дедушек, 16 прапрадедушек и т. Д. В обратном направлении в семейном древе. Все это четные числа.

-Есть цветы с четным числом лепестков, в том числе у некоторых ромашек до 34.

-Жюри обычно состоит из 12 человек.

— В такие виды спорта, как теннис, бокс, фехтование, борьба и шахматы, играют 2 человека. В теннисе бывают матчи между парами.

-Волейбольная команда состоит из 6 игроков на площадке.

— Шахматная доска состоит из 64 клеток и 2 набора фигур: белого и черного. Набор состоит из 16 фигур, названных так: король, ферзь, слон, конь и пешка, все из которых имеют четное количество фигур, за исключением короля и ферзя, которые уникальны. Таким образом, у каждого игрока есть 2 слона, 2 ладьи, 2 коня и 8 пешек.

Операции и свойства четных чисел

С четными числами вы можете выполнять все известные арифметические операции: складывать, вычитать, умножать, делить, увеличивать и многое другое. Короче говоря, вы можете выполнять все разрешенные операции с целыми числами, частью которых являются четные числа.

Однако результаты этих операций имеют некоторые особенности. Примечательные вещи, которые мы можем наблюдать из результатов, следующие:

-Четные числа чередуются между нечетными числами, как мы видели ранее.

-Когда мы складываем два или более четных числа, результат будет четным. Посмотрим:

-Но если мы сложим два числа, одно четное и одно нечетное, результат будет нечетным. Например, 2 + 3 = 5 или 15 + 24 = 39.

— Умножая два четных числа, мы тоже получим четное число. То же самое происходит, если мы умножаем нечетное или четное. Чтобы увидеть это, давайте проделаем несколько простых операций, например:

Пара x пара: 28 x 52 = 1456

Нечетное x четное: 12 x 33 = 396

Вместо этого произведение двух нечетных чисел всегда нечетное.

-Любое число, возведенное в четную степень, является положительным, независимо от знака числа:

2 4 = 2 х 2 х 2 х 2 = 16

(-3) 4 = (-3) х (-3) х (-3) х (-3) = 81

-Да к такое число, что к 2 это даже тогда к это даже. Давайте проверим первые квадраты, чтобы увидеть, происходят ли они от четных чисел:

4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225…

Решенные упражнения

— Упражнение 1

Определите, какие числа четные, а какие нечетные:

12, 33, 46, 51, 69, 70, 82, 98, 100, 101, 121, 134, 145, 159, 162, 177, 183, 196.

Решение

12, 46, 70, 82, 98, 100, 134, 162, 196.

— Упражнение 2.

Три последовательных четных числа в сумме дают 324. Какие числа?

Решение

Позвольте нам быть любым числом, которое мы назовем «n». Поскольку мы не знаем, четное оно или нет, мы проверяем, соответствует ли оно критерию, указанному в начале, который говорит, что четное число имеет форму 2n.

Последовательное число 2n равно 2n + 1, но это нечетно, потому что мы знаем, что они чередуются, поэтому мы добавляем обратно 1: 2n +2.

И третье число: 2n + 4.

Теперь, когда у нас есть готовые три последовательных четных числа, мы складываем их и устанавливаем сумму равной 324, как того требует инструкция:

2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 324

Мы складываем все «2n» слагаемые, поскольку они похожи, а также числа слева от равенства:

6n + 6 = 324 → 6n = 318

Но внимание, n = 53 Нет, это не так четное число и не является частью чисел, которые нам задает задача. В заявлении говорится, что это «три последовательных четных числа».

На самом деле первое число, которое мы ищем: 2n = 2 x 53 = 106.

Если мы сложим три числа, мы увидим, что на самом деле получается 324:

106 + 108 + 110 = 324

— Упражнение 3.

Найдите формулу для получения двадцатого четного натурального числа, начиная с 0, и найдите это число, проверив вручную.

Решение

Эта формула может быть:

С ним мы получим 0, сделав n = 1:

Теперь сделаем n = 2 и получим пару 2

Если взять n = 3, получится пара 4:

Наконец, делая n = 20:

Двадцатой паре 38, и мы это проверяем:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38

Сможет ли читатель сказать, какое четное число будет сотым пятым, используя формулу?

Ссылки

50 примеров предложений с квалифицирующими прилагательными

Чрезмерное мечтание: симптомы, причины, лечение

Источник

Разбиения чисел

Задача

В левом столбце таблицы выписаны все способы, которыми можно записать число 7 в виде суммы различных натуральных слагаемых («строгие разбиения»). В правом — все способы, которыми можно записать это же число в виде суммы нечётных слагаемых («нечётные разбиения»).

Пусть s(n) — количество строгих разбиений числа n, а o(n) — количество нечётных разбиений. Докажите, что s(n) = o(n).

Подсказка 1

Чтобы доказать, что количества элементов в двух множествах одинаковы, бывает удобно установить между ними взаимно-однозначное соответствие.

Подсказка 2

Пусть есть какое-то разбиение на различные слагаемые. Из него можно получить разбиение на нечётные слагаемые, если каждое чётное число разбивать на две половинки до тех пор, пока не останутся только нечётные.

Пример: 20 + 6 + 3 → 10 + 10 + 3 + 3 + 3 → 5 + 5 + 5 + 5 + 3 + 3 + 3.

А как по «нечетному» разбиению получить исходное «строгое»? Вот это и есть суть задачи.

Решение

Утверждение задачи впервые было доказано Леонардом Эйлером около 1740 года с помощью производящих функций.

Леонард Эйлер (1707–1783). Портрет работы Я. Э. Хандманна, 1753 г. Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Теорема Эйлера. Количество разбиений числа N на попарно различные слагаемые («строгие разбиения») равно количеству разбиений N на нечётные слагаемые («нечётные разбиения»).

В подсказке был указан способ, позволяющий получить из любого строгого разбиения нечётное. Для этого каждое чётное число, входящее в разбиение на различные слагаемые, нужно было разделить пополам, то есть представить в виде суммы двух равных половинок. А затем повторять этот процесс до тех пор, пока чётных чисел не останется.

Например, из разбиения

1 13 ← (1, 2 6 ) ← (1, 4 3 ) ← (1, 4, 4 2 ) ← (1, 4, 8).

Вы уже поняли закономерность? Она столь же проста, сколь и красива: каждый «показатель степени» записывается в виде суммы различных степеней двойки (то есть выписывается его двоичная запись), после чего каждой из имеющихся степеней соответствует своё слагаемое в исходном «строгом» разбиении. Это становится совсем понятным, если сообразить, что из одного чётного слагаемого в строгом разбиении могли получиться только 2, 4, 8, 16 и т. д. нечётных — то есть «вклад» каждого слагаемого в общее количество всегда является степенью двойки, а так как равных слагаемых нет, то все степени оказываются различными.

Джеймс Уитбред Ли Глейшер (1848–1928). Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Это замечательное соответствие было придумано в конце XIX века английским математиком Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером (увы, его научные результаты в основном касались областей математики, которые не изучаются ни в средней школе, ни даже в нематематических вузах, поэтому широкой публике он абсолютно неизвестен). Тем не менее он был удостоен двух очень значимых математических наград своего времени — медали де Моргана в 1908 году (это высшая награда Лондонского математического общества, присуждается раз в три года) и медали Сильвестра в 1913 году (высшая награда Лондонского королевского общества).

В задаче о нечетных разбиениях заслуга Глейшера в том, что он придумал не только новый подход к решению, но и дал замечательное обобщение задачи:

Теорема Глейшера. Количество разбиений целого числа N на части, не делящиеся на число d, равно количеству разбиений N на слагаемые, в которых никакая часть не повторяется d или более раз.

Послесловие

Но рассказ о соответствиях между нечётными и строгими разбиениями был бы заведомо неполон без упоминания другого замечательного соответствия между ними, придуманного Джеймсом Джозефом Сильвестром (тем самым, в честь которого названа упомянутая выше медаль).

Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897). Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Сильвестр был, по-видимому, первым математиком, который исследовал разбиения чисел на слагаемые с помощью клетчатых картинок. Впоследствии эти картинки получили название «диаграммы Юнга» или «диаграммы Феррерса» в честь двух других британских математиков, младших современников Дж. Сильвестра.

Пусть есть разбиение на нечётные слагаемые. Сильвестр предлагал нарисовать диаграмму, в которой этим слагаемым соответствуют горизонтальные ряды (строки), причем располагать эти ряды симметрично относительно центра (это можно сделать именно благодаря нечётности всех слагаемых, рис. 1). А для установления соответствия он рассматривал «крюки», которые на рисунке 1 изображены чередующимися цветными рядами. Первый крюк идет снизу по центральному ряду до верхней строки, а потом продолжается по этой строке вправо. Следующий крюк — по соседнему слева ряду снова до верхней строки, а затем по первой строке до конца влево. Потом — снова крюк справа, но уже до второй строки, и так далее. В итоге получается уже знакомое нам по соответствию Глейшера разбиение (18, 15, 13, 9, 8, 7, 4, 1). Не правда ли, красиво? К сожалению, столь же красивого обратного соответствия Сильвестр не дал. Вместо этого он просто привёл алгебраическое доказательство того, что такое соответствие является взаимно-однозначным.

К слову, Сильвестр не ограничился одним новым соответствием, а попутно в той же работе доказал и несколько других новых фактов про нечётные и строгие разбиения. В частности, он обнаружил соответствие между нечётными разбиениями, содержащими ровно k различных чисел, и разбиениями на различные числа, содержащими ровно k «цепочек» — подпоследовательностей из идущих подряд натуральных чисел. Это привело его к следующей теореме.

Теорема Сильвестра (1882). Количество разбиений числа N на нечётные части, среди которых ровно k различных чисел, равно количеству разбиений N на различные части, в которых встречаются ровно k цепочек.

Ясно, что исходный результат Эйлера получается в качестве следствия из теоремы Сильвестра — простым сложением по всем k.

Однако математика не стоит на месте, и красивое соответствие все-таки было найдено, причём совсем недавно, в самом конце ХХ века. Сделали это два корейских математика Ким Донсу и И Эчжа (в тот момент второй из них был еще студентом, а ныне он — профессор в Университете штата Пенсильвания). Я приведу картинку, взятую из их статьи A note on partitions into distinct parts and odd parts, и кратко прокомментирую ее, предоставляя возможность читателю самостоятельно додумать детали.

Нарисуем картинку разбиения на различные части, начав с самых маленьких частей, то есть с единицы: 1 + 4 + 7 + 8 + 9 + 13 + 15 + 18 (рис. 2). Если количество частей нечётно, то в качестве самой маленькой части добавим 0. Первую часть поместим в первую строку, вторую — в строку под ней, причем выровняв ее по левому краю первой строки. Третью часть поместим в третью строку, но выровняем ее со второй строкой по правому краю, и так далее, чередуя выравнивание по левому и по правому краям. Так как все части различны, то в результате все вертикальные края (и левые, и правые), кроме последнего, будут иметь высоту 2.

Кроме того, нарисуем жирную вертикальную черту — разделитель — на расстоянии от правого края, равном знакочередующейся сумме частей

Тогда все столбцы правее разделителя содержат нечётное число клеток (ведь каждая вертикаль состоит из одной нижней строки и чётного числа других строк) и могут рассматриваться как сумма нечётных слагаемых:

(эти числа подписаны в первом ряду под диаграммой, справа от разделителя). При этом все последовательные нечётные числа от 1 до 7 встречаются хотя бы один раз. Следовательно, к 1 можно прибавить число клеток в паре нижних строк слева от разделителя (то есть 14), к 3 — число клеток в паре следующих строк (10), к 5 — клетки из следующей пары (8), а к 7 — клетки последней пары строк (2). Эти слагаемые подписаны во второй строке под диаграммой. Наконец, в третьей строке выписаны суммы первой и второй строки — тоже нечётные, поскольку вся вторая строка состоит из чётных чисел. Ясно, что каждая клетка диаграммы учтена ровно один раз — клетки правее разделителя вошли в слагаемые первой строки. А клетки левее разделителя вошли в слагаемые второй строки. Тем самым мы получили соответствие между различными слагаемыми и нечётными слагаемыми, причём — то же самое соответствие, которое было предложено Сильвестром.

А как построить обратное соответствие? Метод Кима – И здесь во многом повторяет способ Сильвестра, но выглядит, пожалуй, даже естественнее.

Выпишем убывающую последовательность из чисел нечётного разбиения (a₁ = 15, a₂ = a₃ = 13, a₄ = 9, a₅ = a₆ = 7, a₇ = a₈ = a₉ = 3, a₁₀ = a₁₁ = 1) и будем от первого члена отнимать 1, от второго — 3, от третьего — 5, и так далее до тех пор, пока разности будут положительны. То есть запишем равенства 15 = 1 + 14, 13 = 3 + 10, 13 = 5 + 8, 9 = 7 + 2. Это сразу даст нам нужное разбиение третьей строчки под диаграммой на первую и вторую. Затем все числа первой строчки перенесём в диаграмму справа от разделителя, а каждое чётное число второй строчки «уложим» в две строки слева от разделителя. В результате получим диаграмму, в которой нижняя строка будет самой длинной, а каждая следующая строка будет короче предыдущей. Суммируя клетки этой диаграммы по строкам, получим разбиение на различные слагаемые.

Результат Кима – И — даже при том, что они фактически просто переформулировали Сильвестра — использует понятие разделителя, которого не было в оригинале. А значит, тоже позволяет доказать более сильный факт. Но удивительно даже не это, а то, что этот факт был открыт на несколько лет раньше, чем появилась красивая картинка от корейцев!

Теорема о разбиениях на d нечётных частей (М. Буске-Мело, К. Эриксон, 1997). Количество разбиений числа N на попарно различные части, имеющие знакочередующуюся сумму d, равно количеству разбиений N на d нечётных частей.

Источник

Определить чётное или нечётное число

Сколько чётных и нечётных чисел между.

Теория

Чётное ли число

Чётным является целое число, которое делится на 2 без остатка (нацело).

Все многозначные числа, оканчивающиеся на 0,2,4,6 или 8, являются чётными числами:

Примеры

Чётное ли число 10?

Десять разделилось на два без остатка, следовательно 10 является чётным числом.

После деления единицы на два мы получаем нецелое число, следовательно 1 не является чётным числом.

Чётность нуля

Ноль чётное число, так как оно делится на два без остатка: 0 ÷ 2 = 0

Нечётные числа

Нечетным является целое число, которое не делится на 2 без остатка.

Все многозначные числа, оканчивающиеся на 1,3,5,7 или 9, являются нечётными числами:

Пример

Для примера рассмотрим число 67. Так как оно заканчивается цифрой 7 (нечётной), уже можно утверждать, что оно нечётное. Для пущей уверенности разделим 67 на два:

67 ÷ 2 = 33.5, то есть 33 и остаток 1 (67 = 33 ⋅ 2 + 1)

Окончательно делаем вывод, что число 67 является нечётным числом.

Сколько чётных и нечётных чисел в ряду

Сколько чётных и нечётных чисел находится в ряду между n и m?

Если n и m разные по чётности

Если n и m разные по чётности числа, то есть одно из них четное, а второе нечётное, то количество чётных и нечётных чисел в ряду одинаковое:

Пример

Возьмём ряд чисел между n = 22 и m = 31:

22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31

Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.

Так как 22 и 31 являются числами разной чётности делаем вывод, что чётных и нечётных чисел в данном ряду поровну:

5 чётных и 5 нечётных

Если n и m чётные

Если n и m чётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно больше, чем нечётных:

Пример

Возьмём ряд чисел между n = 10 и m = 20:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.

6 чётных и 5 нечётных

Если n и m нечётные

Если n и m нечётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно меньше, чем нечётных:

Пример

Возьмём ряд чисел между n = 11 и m = 19:

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.

Источник

Чётные и нечётные числа

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Содержание

Определения

В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.

Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа. 31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

Арифметика

История и культура

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.

Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье.

В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.

Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Чётные и нечётные числа» в других словарях:

Нечётные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

Чётные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

Нечётное — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

Нечётное число — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

Нечетные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

Четные и нечетные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

Четные числа — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

Слегка избыточные числа — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия

Совершенные числа — целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… … Большая советская энциклопедия

Квантовые числа — целые (0, 1, 2. ) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2. ) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия

Источник