Попарно пересекающиеся прямые что это значит
Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающиеся прямые?
Сразу говорю, что задачу решать НЕ НАДО. Оставьте это мне. Я просто хочу разобраться, что означает «попарное пересекающиеся прямые».
У меня есть такая интерпретация: Имеется в виду, что все прямые «собраны» в пары. И каждая такая «сладкая парочка» пересекается другой такой же парой или «одиночной» прямой. Правда в этом конкретном случае «одиночек» нет, ибо количество прямых четное.
Я правильно все понимаю, или моя интерпретация неверна? Если неверна, то что тогда имеется в виду?
задан 23 Май ’13 13:26
I_Robot
183 ● 4 ● 17 ● 38
92% принятых
Здесь имеется в виду, что какие бы две прямые из четырёх мы ни взяли, они будут пересекаться.
«они будут пересекаться.» Может быть, более точным будет сказать «они ДОЛЖНЫ пересекаться»?
Кстати, преобразуйте пожалуйста свой комментарий в ответ, дабы я мог закрыть вопрос.
3 ответа
Можно сказать «они пересекаются», «они должны пересекаться», «они будут пересекаться». Это всё одна и та же мысль. Суть в том, что любые две прямые из четырёх имеют точку пересечения. Фактически, это означает, что среди прямых нет параллельных (хотя в принципе такие прямые могли бы быть в какой-то другой ситуации, и тогда ответ был бы другим). Слово «попарно» вообще очень часто используется в математике. Например, «даны три попарно различных числа». Это значит, что первое число не равно второму, а также не равно третьему, а второе число не равно третьему.
отвечен 23 Май ’13 13:57
Если речь идет об одной паре прямых, то в одной точке, а ежели о двух парах и более, то рассматриваютя разные варианты расположения уже самих пересекающихся пар прямых.
отвечен 13 Сен ’15 13:02
Можете ли дать ссылку на определение «попарно пересекающиеся прямые» из учебника? Например как построить 5 попарно пересекающихся прямых? Можно-ли из этого сделать вывод, что одна прямая может пересекать лишь 2 других?
отвечен 22 Сен ’17 19:18
Здравствуйте
§ 2. Прямые и плоскости
1. Какие две прямые плоскости называются пересекающимися; параллельными?
Плоскости называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Если прямые не имеют общих точек, тогда их называют параллельными.
2. Какие прямые называются скрещивающимися?
Прямые называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
3. Как могут располагаться две прямые в пространстве?
В пространстве две прямые могут располагаться параллельно, пересекаться и скрещиваться.
4. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися; параллельными?
Прямая и плоскость называются пересекающимися, если прямая не лежит в плоскости и имеет с ней одну общую точку. Прямую и плоскость называют параллельными, если прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.
5. Как могут располагаться в пространстве прямая и плоскость?
Прямая может лежать в плоскости, может пересекаться с плоскостью в некоторой точке, может быть параллельна плоскости.
6. Какие две плоскости называются пересекающимися; параллельными?
Две плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки. Параллельными называют две плоскости, не имеющие ни одной общей точки.
7. Как могут располагаться в пространстве две плоскости?
Две плоскости могут быть параллельны и пересекаться.
8. Сформулируйте свойство плоскости, проходящей через три точки, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.
Плоскость, проходящая через три точки, — единственная плоскость, проходящая через эти точки.
9. Сформулируйте свойство прямой, две точки которой принадлежат плоскости, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.
Прямая, две точки которой принадлежат плоскости, тоже принадлежит этой плоскости.
Примером является проверка прямолинейности линейки. Если ровную линейку положить краем к поверхности стола (плоскости), то она всеми точками прилегает к поверхности; а если линейка неровная, то между линейкой и столом будет щель.
10. Сформулируйте свойство линии пересечения двух плоскостей и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.
Точки прямой, принадлежащей двум плоскостям, принадлежат обеим плоскостям.
Примером является пересечение двух смежных стен комнаты.
11. Как обозначаются точки; прямые; плоскости?
Точки обозначаются прописными буквами (большими), прямые — строчными (маленькими), плоскости — строчными буквами греческого алфавита, например α \alpha α (альфа).
12. Назовите способы задания плоскости.
Плоскость можно задать:
13. Верно ли, что:
а) через любые две точки проходит единственная прямая.
б) через любые три точки проходит единственная плоскость;
в) три попарно пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
Не верно. Три попарно пересекающиеся прямые могут иметь точки, не лежащие в одной плоскости.
14. На рисунке 85 изображена призма, основания которой — правильные шестиугольники. Назовите:
а) прямые, пересекающие плоскость ABC:
Прямые AP, FU, ET, DS, CR и BQ.
б) прямые, пересекающие плоскость UTF:
Прямые PU, QP, RS, ST, AF, BA, CD и DE.
в) прямые, лежащие в плоскости PTR:
Прямые PU, UT, TS, SR, RQ и QP.
г) прямые, лежащие в плоскости CDR:
Прямые CD, DS, SR и RC.
д) прямые, параллельные плоскости FEC:
Прямые PU, UT, TS, SR, RQ и QP.
е) прямые, параллельные плоскости AQB:
Прямые UF, RC, TE и SD.
15. На рисунке 86 изображён параллелепипед. Назовите:
а) плоскости, пересекающие прямую CQ:
Плоскости CFD и QPN.
б) плоскости, пересекающие прямую OP:
Плоскости QPF и NOE.
в) плоскости, в которых лежит прямая NO:
Плоскости QNO и DNO.
г) плоскости, которым принадлежит прямая DN:
Плоскости CDN и DNE.
д) плоскости, параллельные прямой CF:
Плоскости QPN и DNE.
е) плоскости, параллельные прямой EO:
Плоскости PEQ и CND.
16. Могут ли две плоскости иметь:
а) только одну общую точку?
б) только две общие точки?
Не могут. Две плоскости могут не иметь общих точек, либо иметь множество общих точек.
в) только одну общую прямую?
Могут. Если плоскости пересекаются, они имеют только одну общую прямую.
г) только две общие прямые?
Не могут. Через две прямые проходит одна единственная плоскость.
Cколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающиеся прямые?
Cколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающиеся прямые?
Для каждого случая сделайте рисунок.
Получилось : одна точка, четыре и шесть точек пересечения.
Прошу помочь, ответ сделать у себя на листочке и прислать фотографию, даю за это 15 баллов : На плоскости проведены три попарно пересекающихся прямые?
Прошу помочь, ответ сделать у себя на листочке и прислать фотографию, даю за это 15 баллов : На плоскости проведены три попарно пересекающихся прямые.
Рассмотрите только лучи.
Не содержащие точек пересечения.
Каждая из трёх прямых а, в, с пересекается с двумя другими?
Каждая из трёх прямых а, в, с пересекается с двумя другими.
Могут ли эти прямые иметь более одной точки пересечения?
Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β?
Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β.
Могут ли эти прямые быть : а) параллельными ; б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
Изобразите пять прямых так, чтобы они имели десять точек попарных пересечений, сделать рисунок?
Изобразите пять прямых так, чтобы они имели десять точек попарных пересечений, сделать рисунок.
Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β?
Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β.
Могут ли эти прямые быть : а) параллельными ; б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β?
Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β.
Могут ли эти прямые быть : а) параллельными ; б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
Даны три прямые каждая из которых пересекает хотя бы одну другую?
Даны три прямые каждая из которых пересекает хотя бы одну другую.
Сколько всего точек пересечений могут иметь такие прямые?
Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются?
Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.
Сколько точек пересечения имеют эти две прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые.
Сколько общих точек могут иметь 4 пересекающиеся прямые?
Сколько общих точек могут иметь 4 пересекающиеся прямые.
Легко! Площа = высота(6) * на основу(34) и : 2 = 102 см кв.
Геометрия
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Понятие скрещивающихся прямых
В пространстве можно построить две прямые так, что они не будут пересекаться, но и параллельными они также являться не будут. Для этого достаточно, чтобы прямые НЕ находились в одной плоскости. В этом случае их именуют скрещивающимися прямыми.
Здесь ребра ВС и АЕ как раз лежат на двух скрещивающихся прямых. Поэтому их можно так и называют – скрещивающиеся отрезки. По аналогии можно ввести понятие и скрещивающихся лучей.
Существует теорема, представляющая собой признак скрещивающихся прямых.
Действительно, пусть есть две прямые, НК и РМ. Обозначим как α плос-ть, проходящую через НК и точку М. Если РМ пересекает α, то это означает, что М – единственная общая точка у α и РМ. Получается, что Н, К, М и Р – это точки в различных плос-тях, и через них нельзя провести одну плос-ть. Значит, и прямые НК и РМ – скрещивающиеся.
Таким образом, в стереометрии возможно всего три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
1) прямые пересекаются, и тогда они обязательно находятся в одной плос-ти;
2) прямые располагаются в одной плос-ти, но не пересекаются – случай параллельных прямых;
3) прямые находятся в разных плос-тях – случай скрещивающихся прямых.
Докажем одну теорему:
Для доказательства возьмем произвольные скрещивающиеся прямые m и n. Отметим на n точку К и проведем через К прямую р, параллельную m:
Через пересекающиеся прямые nи p можно провести единственную плос-тьα. По признаку параллельности прямой и плос-ти можно заключить, что m||α.
Покажем, что кроме α нет других плос-тей, проходящих через n и параллельных m. Действительно, если бы такая плос-ть β существовала, то р имела бы с ней общую точку К, но полностью в β она бы не могла находиться, иначе α и β совпадали бы. Значит, р пересекала бы β. Но тогда ее обязательно пересекала бы и m по одну из свойств параллельных прямых. В этом случае m и β не были бы параллельными.
Сонаправленные лучи
В планиметрии существует понятие сонаправленных лучей. Пусть на плос-ти есть два луча О1А и О2В. Проведем прямую О1О2. Она, как и всякая прямая, разделит плос-ть на две полуплоскости. Для того, чтобы лучи О1А и О2В считались сонаправленными, необходимо выполнение двух условий:
1) они должны оказаться в одной полуплоскости;
2) они должны быть параллельными.
Здесь мы рассмотрели случай, когда лучи О1А и О2В находятся на разных прямых. Возможен частный случай, когда они располагаются на одной прямой. В таком случае для сонаправленности лучей достаточно, чтобы один из них полностью лежал на другом:
Рассмотрим теорему, касающуюся сонаправленных лучей, причем она верна не только в планиметрии, но и в стереометрии.
В доказательстве сразу рассмотрим случай углов, располагающихся в разных плос-тях. Пусть есть углы О1 и О2, стороны которых образуют попарно сонаправленные лучи. На одной паре лучей отметим точки А1 и А2 так, чтобы отрезки О1А1 и О2А2 были одинаковыми. На другой паре лучей аналогично отложим точки В1 и В2 так, чтобы одинаковыми были отрезки О1В1 и О2В2:
Заметим, что лучи О1А1 и О2А2 как сонаправленные должны располагаться в одной плос-ти, иначе они не будут параллельными. Тогда О1А1А2О2 – плоский четырехугольник. Отрезки О1А1 и О2А2 параллельны и одинаковы. Это значит, что О1А1А2О2 – параллелограмм. Аналогично легко убедиться, что параллелограммом является и четырехугольник О1В1В2О2. Это значит, что
Отсюда вытекает (по свойству транзитивности), что отрезки А1А2 и В1В2 также одинаковы и параллельны, а потому А1А2В2В1 – также параллелограмм. Значит, стороны А1В1 и А2В2 одинаковы. Получается, что у ∆О1А1В1 и ∆О2А2В2 одинаковы все стороны, поэтому ∆О1А1В1 и ∆О2А2В2 равны. Отсюда вытекает и равенство углов ∠А1О1В1 и ∠А2О2В2, ч. т. д.
Угол между прямыми
Напомним, какая величина считается углом между пересекающимися прямыми. При пересечении прямых образуется 4 угла. Зная один из них, легко вычислить и остальные углы. Понятно, что хотя бы один из углов будет не превышать 90°. Именно такой угол и принимается за угол между прямыми:
Теперь покажем, как определить угол между скрещивающимися прямыми. Пусть прямые m и n скрещиваются. Выберем в пространстве произвольную точку К. Через нее можно построить такие прямые m1 и n1, что m1||m и n1||n. Угол между m1 и n1 как раз и принимается за угол между скрещивающимися прямыми m и n:
Возникает вопрос – зависит ли величина измеренного таким образом угла от того, какая именно точка К выбрана? Оказывается, что не зависит, и это можно доказать. Выберем две произвольные точки К1 и К2. Через К1 проведем прямые n1 и m1, а через К2 проведем n2 и m2, которые будут соответственно параллельны исходным прямым m и n.
Так как n1||n и n2||n, то по свойству транзитивности параллельности и n1||n2. Аналогично и m1||m2. Получается, что стороны углов в точках К1 и К2 соответственно сонаправлены. Значит, они одинаковы, ч. т. д.
Задачи на скрещивающиеся прямые
Теоретический материал закончился, осталось научиться применять полученные знания. Перед просмотром решения постарайтесь самостоятельно решить каждую задачу.
Задание. Точка D находится вне плос-ти ∆АВС. Середины отрезков АD, BD и СD обозначены буквами M, N и P соответственно. Точка K располагается на отрезке BN (и не совпадает с концами этого отрезка). Определите, как относительно друг друга располагаются прямые:
Решение. Сначала важно построить правильный рисунок по описанию задачи:
Теперь можно рассмотреть по отдельности каждый пункт.
а) АВ и DN. Прямая DN совпадает с прямой BD. Она в свою очередь пересекается с АВ в точке В. Значит, в данном случае прямые пересекаются.
б) РК и ВС. Рассмотрим плос-ть треугольника ∆ВСD. Рассматриваемые прямые как раз находятся в ней. То есть они уже точно не скрещиваются. Могут ли они быть параллельны? Обратите внимание на отрезок NP. Это средняя линия в ∆ВСD, поэтому NP||ВС. Через Р может быть проведена лишь одна прямая, параллельная ВС (по аксиоме параллельности), и это NP. Значит, KP пересекает ВС.
в) MN и АВ. В ∆АВDMN является средней линией, поэтому MN||АВ.
г) МР и АС. МР – это средняя линия в ∆АСD, значит, МР||АС.
д) KN и АС. Прямая KN совпадает с прямой BD. Она пересекает плос-ть АСВ, но точка пересечения (это В) не находится на АС. Тогда по признаку скрещивающихся прямых можно утверждать, что KN и АС скрещиваются.
е) MD и ВС. MD пересекается с плос-тью АСВ в точке А. Тогда из признака скрещивающихся прямых вытекает, что MD и DC скрещиваются.
Задание. Через точку Р, не находящуюся на прямой m, проведены две различные прямые, не пересекающиеся с m. Верно ли, что хотя бы одна из них точно скрещивается с m?
Решение. Каждая из этих двух прямых с m не пересекается. Тогда они либо параллельны m, либо скрещиваются с ней. Но обе прямые параллельны m не могут быть параллельны m, ведь тогда через Р будет проведено сразу две прямые, параллельные m, что невозможно. Значит, хотя бы одна из прямых действительно скрещивается с m.
Задание. MК и РН – скрещивающиеся прямые.Скрещиваются ли прямые МН и КР?
Решение. Ясно, что точки М, К, Р, Н располагаются в различных плос-тях. В противном случае, если бы существовала плос-ть α, в которой находились бы М, К, Р и Н, то в α также находились бы прямые МК и РН, и тогда они уже по определению не были бы скрещивающимися.
Теперь рассмотрим плос-ть КРН. В ней находится прямая КР. А прямая МН ее пересекает в точке К. Тогда, по признаку скрещивающихся прямых, МН и КР скрещиваются.
Задание. Прямые m и n скрещиваются. M – точка на m, N – точка на n. Через m и N проведена плос-ть α, а через n и M – плос-ть β. Пересекаются ли плос-ти α и β, и если да, то по какой линии?
Посмотрим, есть ли у α и β общие точки. Плос-ть α проходит через n, то есть и через точку N тоже. Плос-ть β также проходит через N. Значит, N – общая точка. Аналогично можно показать, что и М – это общая точка. В итоге α и β пересекаются, причем на линии пересечения находятся точки M и N. Значит, именно прямая МN является границей этих двух плос-тей.
Задание. Известно, что MНКЕ – параллелограмм, а МНРТ – трапеция (РТ – её основание), причем они располагаются в разных областях. Каково расположение отрезков КЕ и РТ друг относительно друга.
Решение. Задачу можно решить и без рисунка. Если РТ – основание трапеции, то второе основание – это МН, и МН||РТ. В параллелограмме МНКЕ параллельны стороны МН и КЕ, ведь они противоположные. Тогда по свойству транзитивности параллельности из того факта, что МН||РТ и МН||КЕ, вытекает, что и РТ||КЕ.
Задание. Известно, что ОА и СD – скрещивающиеся прямые, а ОВ||CD. Чему равен угол между ОА и CD, если
Если CD||ОВ, то угол между CD и ОА совпадает с углом между ОВ и ОА. В задании а) он совпадет с ∠АОВ и составляет 40°. В случае б) угол не может составлять 135°, так как он не должен превышать 90°. Поэтому он равен
Наконец, в случае в) он составит 90°.
Ответ: а) 40°; б) 45°; в) 90°.
Задание. Дан куб, вершины которого обозначены так, как это показано на рисунке:
Найдите угол между прямыми:
Решение. Во всех трех случаях нам даны скрещивающиеся прямые. Для вычисления угла надо найти такие параллельные им прямые, которые будут пересекаться.
а) AD и GH. Заметим, что GH||СD, ведь это противоположные стороны квадрата СDHG, поэтому мы можем определить угол между AD и CD. Другими словами, мы просто заменяем в задаче GH на CD, так как эти отрезки параллельны. Так как отрезки AD и CD в свою очередь являются уже смежными сторонами в квадрате АВСD, то ∠ADC, который нам надо найти, составляет 90°.
б) BD и FG. Здесь уже уместно заменить FG на ВС. Это можно сделать, ведь FG||ВС (это стороны квадрата). Тогда нам необходимо вычислить ∠СВD. Он составляет 45°, ведь диагональ квадрата делит его угол пополам.
в) BD и AF. Здесь есть смысл AF заменить на GD. Но для этого надо сначала показать, что AF||DG.Рассмотрим отрезки AD и FG. Каждый из них параллелен ВС (по свойству квадратов ABCD и ВСGH). Значит, по свойству транзитивности AD||FG, то есть эти отрезки располагаются в одной плос-ти. Тогда AFGD – плоский четырехугольник.
Заметим, что отрезки AD и FG ещё и одинаковы, так каждый из них равен ВС (вообще в кубе все ребра одинаковы). Получается, что в четырехугольнике AFGD стороны AD и FG одинаковы и параллельны, а потому AFGD – параллелограмм, по одному из его признаков. Отсюда и вытекает, что AF||DG.
Мы поняли, искомый нами угол между прямыми равен∠BDG. Как его вычислить? Для этого надо рассмотреть ∆BDG. Можно заметить, что он равносторонний. Действительно, отрезки BG, GD и BD – это диагонали в равных квадратах ВСGH, СDHG, АВСD, поэтому и сами эти диагонали также одинаковы. В любом равностороннем треугольнике все углы составляют по 60°, поэтому и ∠BDG равен этому же значению, то есть 60°.
Ответ: а) 90°; б) 45°; в) 60°.
Задание (стереометрическая задача из ЕГЭ). Точки А, В, С и D в пространстве располагаются так, что расстояния между любыми двумя из этих точек одинаковы. Можно доказать (попробуйте сделать это самостоятельно), что такая ситуация возможна лишь в случае, когда точки не располагаются в одной плос-ти. М – середина ВС, а L – середина АВ. Найдите косинус угла между прямыми МD и CL.
Решение. Из условия вытекает, что ∆АВС, ∆ВСD, ∆ABD – равносторонние и притом равные друг другу. Проведем в ∆АВС отрезок такой отрезок MF, что MF||СL. Тогда нам необходимо вычислить ∠DMF (точнее, его косинус). Это можно сделать, используя теорему косинусов применительно к ∆MDF, но для этого сперва надо найти все стороны в этом треугольнике:
Для удобства обозначим длину отрезков АВ, ВС, АС, BD, AD и CD буквой R. Так как L– середина АВ, то CL– медиана в ∆АВС. Но в равностороннем треугольнике она одновременно будет и высотой. Тогда ∆АСL – прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора:
Аналогичным образом легко определить, что длина медианы DМ в ∆ВСD равна этому же значению:
Теперь исследуем ∆ВСL. Так как MF||CL и М – середина ВС, то MF оказывается средней линией в ∆ВСL. Значит, ее длина вдвое меньше, чем у СL:
Также из того факта, что МF – средняя линия, вытекает то, что F – середина LВ. Тогда можно вычислить FB:
Далее обратим внимание на ∆ВFD. ∠В в нем составляет 60°, ведь это одновременно и угол в равностороннем ∆АВD. Стороны FB и BD нам известны, а потому с помощью теоремы косинусов можно вычислить и FD:
Теперь можно составить и для ∆МDF уравнение на основе теореме косинуса, из которого удастся выяснить интересующий нас косинус ∠DMF:
В ходе сегодняшнего урока мы познакомились с новым понятием – скрещивающимися прямыми. Также мы узнали, как вычислять угол между ними. Подобные задачи могут встречаться и на ЕГЭ.