Понятие испытание что называется событием как обозначаются события

ИСПЫТАНИЯ И СОБЫТИЯ. ВИДЫ СОБЫТИЙ

К основным понятиям теории вероятности относятся испытания и события.

Под испытанием понимают осуществление некоторого комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Случайным событием называют такое событие, которое может произойти или не произойти в результате данного испытания.

Случайные события обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C, D и т.д. Например, событие А – «выпадение герба при подбрасывании монеты», событие В – «выпадение решки при подбрасывании монеты».

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.

Например, подбрасывание игральной кости – испытание, выпадение целого числа от 1 до 6 – достоверное событие.

Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате данного испытания.

Например, подбрасывание игральной кости – испытание, выпадение 0, выпадение 10 – невозможные события.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться одновременно. Если события могут произойти одновременно, то они называются совместными.

Например, подбрасывание игральной кости – испытание, событие А – «выпадение 2», событие В – «выпадение 3», событие С – «выпадение четного числа очков». События А и В, В и С– несовместные, т.к. они не могут произойти одновременно, а события А и С – совместны, т.к. могут произойти одновременно при выпадении числа 2.

События называют равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие.

Так в предыдущем примере события А и В равновозможны, а события В и С, А и С неравновозможны в силу условий проведения испытания.

Множество, элементами которого являются все несовместные равновозможные исходы данного испытания, называют пространством элементарных исходов (событий) и обозначают Ω.

Например, при подбрасывании игральной кости пространство W элементарных событий состоит из шести точек: Ω = <1, 2, 3, 4, 5, 6>(выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6).

Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные понятия теории вероятностей.

2. Что в теории вероятностей называют испытанием?

3. Какое событие называют случайным? Приведите примеры случайных событий.

4. Какое событие называют достоверным? Приведите примеры достоверных событий.

5. Какое событие называют невозможным? Приведите примеры невозможных событий.

6. В каком случае два события являются попарно совместными? Приведите примеры двух совместных событий.

7. В каком случае два события являются попарно несовместными? Приведите примеры двух совместных событий.

8. В каком случае два события называются равновозможными? Приведите примеры двух равновозможных событий.

9. В каком случае два события называются неравновозможными? Приведите примеры двух неравновозможных событий.

10. Что называют пространством элементарных исходов?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Понятие испытание что называется событием как обозначаются события

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Результат этого действия или наблюдения называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Полную группу событий составляют А и Д, В и С.

Источник

Математика — онлайн помощь

Как любая наука, теория вероятностей имеет свои исходные понятия, через которые определяются другие понятия. К основным понятиям теории вероятностей относятся: испытание, событие, вероятность события.

Изучение явлений происходит путем наблюдений и опытов, проводимых при определенных условиях. Испытанием в теории вероятностей называется осуществление какого-либо комплекса условий, при котором наблюдается данное явление. Предполагается, что данный комплекс условий может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз. Итак, в теории вероятностей вместо слов “произведено наблюдение при осуществлении определенного комплекса условий” говорят кратко “произведено испытание”.

Событием называется всякий факт, который может наступить в результате испытания.

События можно классифицировать по степени возможности их появления и по характеру взаимосвязи.

Достоверным называется событие, которое в данном испытании всегда наступает, его обозначают .

Невозможным называется событие, которое в данном испытании никогда не наступает, его обозначают .

Случайным называется событие, которое в данном испытании может наступить, а может не наступить. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита А, В, С,…

.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в данном испытании. В противном случае события называются совместными. Примеры несовместных событий: появление герба и цифры при одном бросании монеты, попадание и промах при одном выстреле. Те же попадание и промах при двух выстрелах являются уже совместными событиями.

Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно наступит хотя бы одно из них. В частности, если события образуют полную группу и несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Суммой событий . называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

.

Произведением событий его обозначают . называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

.

Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Испытания и события. Виды случайных событий. Действия над событиями.

Опытом или испытанием называется всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

Например, стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте.

Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является достоверным.

Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте. Так, если в ящике находятся только красные шары, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является невозможным.

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте. Случайными событиями являются «выпадение орла при бросании монеты», «выигрыш по лотерейному билету», «увеличение курса доллара в следующем месяце» и т. д.

Одно и то же событие на некотором опыте может быть достоверным, в другом – невозможным, в третьем – случайным.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте. Например, в магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел покупатель старше 50 лет» и «в магазин вошла женщина» – совместные, т. к. в магазин может войти женщина старше 50 лет.

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле. Несколько событий называются несовместными, если они попарно-несовместны.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают . Например, если – «попадание», то – «промах» при одном выстреле по мишени.

Множество событий А₁, А₂, … А_n называют полной группой событий, если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием. Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика, т. е. кубика, на гранях которого записаны цифры от 1 до 6. Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: «верхней гранью оказалась грань с цифрой к» обозначим через А_к, . События А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ образуют полную группу. Они попарно несовместны, появление одного и только одного из них является достоверным событием.

События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, т. к. предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней.

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом или элементарным событием. Например, события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ – элементарные исходы при подбрасывании кубика.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. Так, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А₂, А₄, А₆ являются благоприятствующими событию «Выпало четное число очков».

Суммой, или объединением двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается через А+В или . Аналогично определяется и обозначается сумма n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Произведением, или пересечением, двух событий, называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается через или . Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий. Например, если при выборе одного числа от 1 до 13 событие А означает выбор четного числа, событие В – выбор числа, кратного 3. Тогда событие означает выбор числа, кратного и 2 и 3 одновременно, т. е. событие состоит из элементарных событий – выбор одного из чисел 6, 12.

Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий А и В обозначается так: , или А \ В.

Пример 1.1.Взятая наугад деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что представляют собой следующие события:

а) событие А+В состоится при наступлении хотя бы одного из событий А и В. Следовательно, А+В в нашем случае – деталь первого или второго сорта;

б) так как А+С – деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие – деталь второго сорта;

г) событие АВ+С как сумма невозможного события и события С равно С, т. е. АВ+С – деталь третьего сорта.

Если событие А обязательно произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событие В представляет собой частный случай события А, и пишут или (говорят также, что В влечет А). Если т. е. события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или эквивалентными, и пишут А=В.

Пример 1.2.Пусть производится выбор одного из чисел от 1 до 100. Пусть событие В означает выбор четного числа, событие А – выбор числа, кратного 10. Тогда так как каждое число, кратное 10, является четным.

Пример 1.3.Пусть производится выбор одного из чисел от 1 до 100. Если событие В – выбор числа, кратного 3, а событие А – это выбор числа, сумма цифр которого делится на 3, то А=В по признаку делимости на 3.

Операции над событиями можно представить как операции над множествами. При этом события представляются подмножествами некоторого множества . Сумме событий А+В соответствует объединение этих подмножеств, а их произведению – пересечение . Достоверное событие представляется множеством , а невозможное событие – пустым подмножеством в нем. Несовместность событий А и В означает, что соответствующие подмножества А и В не пересекаются: Ø. Событие , противоположное событию А, является дополнением к событию А во множестве . Эти операции в графическом виде иллюстрируются диаграммами Венна:

Вопросы для самопроверки

1. Что называется опытом, или испытанием?

2. Что называется событием?

3. Какое событие называется достоверным?

4. Какое событие называется невозможным?

5. Какое событие называется случайным?

6. Какие события называются совместными?

7. Какие события называются несовместными?

8. Какие события называются противоположными?

9. Какие события считают равновозможными?

10. Что называется полной группой событий?

11. Что называется элементарным исходом?

12. Какие элементарные исходы называются благоприятствующими данному событию?

13. Что называется суммой, или объединением, событий?

14. Что называется произведением, или пересечением, событий?

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №33. Вероятность события. Сложение вероятностей.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события;

— понятие классической вероятности события;

— поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности;

— поиск вероятности суммы событий.

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Событие— факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события.

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс. 180-188.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?

1) вынутый предмет окажется клубком

2) вынутый предмет окажется красным клубком

3) вынутый предмет окажется зеленым клубком

4) вынутый предмет не окажется клубком

Ответ: первое и третье.

1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.

Испытанием называется осуществление определенных действий.

Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).

Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.

2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей

Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.

Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= 1, w ₂, w ₃, w ₄, w ₅, w₆>, где w_i— выпадение i очков.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».

Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.

Элементарными событиями являются:

— Выпал один «орел» и одна «рещка».

3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.

Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.

Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.

Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.

1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.

К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.

Рассмотрим произвольный эксперимент.

Пусть n— число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число

Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.

Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.

Таким образом, чаще выпадает сумма 10.

Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей.

Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.

Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.

Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.

В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.

Источник