Покажите что приведенная длина физического маятника lпр а

Покажите что приведенная длина физического маятника lпр а

Чему равна приведенная длина физического маятника?

Савельев И.В, т.1, стр. 197

Из сопоставления формул (54.6) и (54.11) получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой период колебаний, как и физический маятник. Величину (54.12) называют приведенной длиной физическогомаятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Яворский Б.М. Детлаф А.А., Справочник по физике, 1985 г. стр. 261

Приведенной длиной физического маятника l_пр, называется длина матматического маятника, имеющего такой же период колебаний:

Где J_C – момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через центр инерции С маятника и параллельной его оси качания.

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с пери­одом колебаний данного физического маятника.

Источник

Приведённая длина физического маятника

Сравним периоды колебаний математического и физического маятников:

; .

Видно, что комбинация параметров физического маятника I/(ml) имеет размерность длины. Она называется приведённой длиной физического маятника:

Определение 1. Приведённой длиной физического маятника называется длина математического маятника, изохронного данному физическому.

Определение 2. Точка О’, находящаяся на расстоянии от оси О на линии, проходящей через центр масс С, называется центром качания физического маятника (рис. 9.7).

Центр качания О’ обладает одним замечательным свойством: если ось качания пропустить через точку О’, то период качания Т_О’ = Т_О, т. е. точки О и О’ являются изохронными центрами качания.

Так например, приведённая длина кольца из Примера 1 l_пр = 2R; приведённая длина стержня из Примера 2 l_пр = (2/3)а.

Источник

Физика Б1.Б8.

Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

Введение

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение – это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.

Источник

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Загрузить всю книгу

Титульный лист

Главная редакция физико-математической литературы

Механика, колебания и волны,

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ, ТОМ I

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Источник

Приведённая длина физического маятника

Сравним периоды колебаний математического и физического маятников:

; .

Видно, что комбинация параметров физического маятника I/(ml) имеет размерность длины. Она называется приведённой длиной физического маятника:

Определение 1. Приведённой длиной физического маятника называется длина математического маятника, изохронного данному физическому.

Определение 2. Точка О’, находящаяся на расстоянии от оси О на линии, проходящей через центр масс С, называется центром качания физического маятника (рис. 9.7).

Центр качания О’ обладает одним замечательным свойством: если ось качания пропустить через точку О’, то период качания Т_О’ = Т_О, т. е. точки О и О’ являются изохронными центрами качания.

Так например, приведённая длина кольца из Примера 1 l_пр = 2R; приведённая длина стержня из Примера 2l_пр = (2/3)а.

9.7. Преобразования энергии при колебаниях

При механических колебаниях происходят периодические преобразования энергии системы из потенциальной в кинетическую и обратно. Рассмотрим такие преобразования на примере пружинного маятника.

При максимальном отклонении груза от равновесия его скорость υ = 0, следовательно, его кинетическая энергия W_к = 0, но пружина при этом запасла максимальную потенциальную (упругую) энергию W_{п max} = kХ 2 /2, где k – жёсткость пружины, Х – амплитуда колебаний груза.

Далее груз, двигаясь по инерции, сжимает пружину, вновь увеличивая её потенциальную энергию и уменьшая свою кинетическую, так как его скорость в процессе сжатия уменьшается.

Покажем, что в любой момент времени полная энергия пружинного маятника W_полн(t) = W_п(t) + W_к(t) = const и равна первоначально сообщённой ему энергии W₀ = kХ 2 /2.

Пусть шарику дали начальное отклонение Х и отпустили. Он будет двигаться по закону (9.6). В произвольный момент времени потенциальная энергия пружины

,

а кинетическая энергия шарика, с учётом (9.7),

.

Следовательно, полная энергия системы

W_полн(t) = W_п(t) + W_к(t) = .

Преобразования энергии колебаний математического и физического маятников аналогичны.

Затухающие колебания

Во всякой реальной механической колебательной системе имеются силы трения, приводящие к потерям энергии при и колебаниях и уменьшающие их амплитуду. Например, при качаниях груза на пружине или на нити он испытывает трение о воздух. С достаточной точностью силу такого трения можно считать пропорциональной скорости груза (закон Стокса):

F_тр = −rυ,

где r – коэффициент пропорциональности, называемый сопротивлением среды. Знак «−» означает, что F_тр ↑↓ υ. Если колебания происходят вдоль оси х, то

F_{тр. х} = −rυ_х = −r .

Рассмотрим процесс свободных затухающих колебаний на примере груза на пружине (разд. 9.3). При наличии трения, второй закон Ньютона для такого груза будет иметь вид:

m = ∑F_x = F_{тр. х} + F_{упр. х} = −r − kx,

m + r + kx = 0,

.

Последнее уравнение удобно записывать в каноническом виде:

, (9.10)

где величина называется коэффициентом затухания, а величина

− собственной частотой колебательной системы. Собственная частота ω₀ равна частоте свободных колебаний без трения, но немного отличается от частоты ω свободных колебаний с трением.

Вид решения уравнения (9.10), как и в разд. 9.3, зависит от способа возбуждения колебаний. Если колебания начинаются при начальном отклонении груза от равновесия на расстояние Х₀ и отпускании его, а сопротивление среды не слишком велико: β − β t cos ωt, (9.11)

ω = (9.12)

− угловая частота затухающих колебаний. Видно, что частота колебаний с трением меньше частоты ω₀ соответствующих колебаний без трения.

Функция (9.11) описывает процесс затухающих колебаний. Её график показан на рис. 9.8.

Для описания затухающих колебаний вводятся следующие понятия и параметры:

1. Период. Период колебаний

.

2. Амплитуда. Экспоненциально убывающий множитель

, (9.13)

стоящий в (9.11) перед периодической функцией, называется амплитудой затухающих колебаний (рис. 9.8).

3. Время релаксации. Время τ, за которое амплитуда убывает в е = 2,72 раза, называется временем релаксации, или постоянной времени затухающих колебаний. В соответствии с этим определением,

, отсюда .

4. Логарифмический декремент затухания. Натуральный логарифм отношения двух «соседних амплитуд», (т. е. амплитуд, взятых через период Т) называется логарифмическим декрементом затухания δ:

.

В соответствии с этим определением,

. (9.14)

На основе этого определения несложно показать, что если измерить некоторую амплитуду Х_k и следующую за ней через N периодов Х_k+N, то логарифмический декремент затухания можно определить по формуле

(9.15)

(доказать это самостоятельно).

5. Слабое затухание. Затухание называется слабым, если не просто β 2 (t)/2.Подставляя в это выражение формулу (9.13), получаем закон убывания энергии системы при затухающих колебаниях:

где W₀ − первоначально сообщённая системе энергия.

Источник