Показать что m 5 m делится на 30

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

Источник

Показать что m 5 m делится на 30

Задача 15:

Найдите остатки от деления

а) 1989 • 1990 • 1991 + 1992³ на 7;

Решение:

Ответ: а) 0; б) 1, так как 9 дает остаток 1 при делении на 8.

Задача 16:

Докажите, что n³ + 2n делится на 3 для любого натурального n.

Решение:

Число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0, 1, 2. Рассмотрим три случая.

Если n дает остаток 0, то и n³ и 2n делятся на 3 и поэтому n³ + 2n также делится на 3.

Если n дает остаток 1, то n³ дает остаток 1, 2n – остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.

Если n дает остаток 2, то n² дает остаток 1, n³ – остаток 2, 2n – остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.

Задача 17:

Докажите, что n 5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n.

Решение:

Указание: Переберите остатки от деления на 5.

Задача 18:

Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

Решение:

Переберите остатки от деления на 3.

Задача 19:

Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.

Решение:

Переберите остатки от деления на 9.

Задача 20:

Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечетном n.

Решение:

Указание: Докажите, что указанное число делится и на 3, и на 8.

Задача 21:

а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.

б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Решение:

Указание: Докажите, что указанные числа делятся и на 3 и на 8.

Задача 22:

Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Решение:

Если ни x, ни y не делятся на 3, то x² и y² дают остаток 1 от деления на 3. Таким образом, их сумма имеет остаток 2 от деления на 3. Но z² не может иметь такого остатка.

Задача 23:

a и b – натуральные числа, причем число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Решение:

Проверьте, что и a и b делятся и на 3 и на 7.

Задача 24:

a, b, c – натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.

Решение:

Проверьте, что числа x³ и x имеют одинаковые остатки от деления на 6.

Задача 25:

Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.

Решение:

Если d – нечетно, то среди чисел p и q есть четное, что невозможно. Если d не делится на 3, то среди чисел p, q и r есть делящееся на 3, что тоже невозможно.

Задача 26:

Докажите, что сумма квадратов трех натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

Решение:

Выясните возможные остатки квадратов при делении на 8.

Задача 27:

Сумма трех натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Решение:

Возможные остатки квадратов от деления на 9: 0, 1, 4, 7. Проверьте, что если сумма трех из них делится на 9, то среди них есть два одинаковых.

Задача 28:

Решение:

Так как при нахождении последней цифры очередной степени числа 9 достаточно умножить на 9 лишь последнюю цифру предыдущей степени, то ясно, что за 9 следует 1 (9 • 9 = 81), а за 1 – 9 (1 • 9 = 9).

Таким образом, нечетные степени девятки оканчиваются на 9. Поэтому последняя цифра числа 1989 1989 – девятка.

Задача 29:

Решение:

Выпишем последние цифры нескольких начальных степеней двойки: 2, 4, 8, 6, 2, …. Мы видим, что 2 5 так же, как и 2¹, оканчивается на 2. Поскольку очередная цифра полностью определяется последней цифрой предыдущей степени, то произойдет «зацикливание»: 2 6 (как и 2²) оканчивается на 4, 2 7 (как и 2³) – на 8, 2 8 – на 6, 2 9 – на 2 и т.д. Поскольку длина цикла равна 4, то последняя цифра числа 2 50 определяется остатком от деления числа 50 на 4. Так как он равен 2, то последняя цифра числа 2 50 совпадает с последней цифрой числа 2², то есть равна 4.

Задача 30:

Решение:

Задача 31:

Найдите остаток от деления 2¹ºº на 3.

Решение:

Выпишите остатки от деления на 3 нескольких начальных степеней двойки. Докажите, что здесь происходит «зацикливание».

Задача 32:

Найдите остаток от деления 3 1989 на 7.

Решение:

Задача 33:

Докажите, что 2222 5555 + 5555²²²² делится на 7.

Решение:

Вычислите остаток от деления этого числа на 7 и убедитесь, что он равен нулю.

Задача 34:

Найдите последнюю цифру числа .

Задача 35:

а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.

б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.

Решение:

Рассмотрите остатки от деления на 3. Одно из этих чисел делится на 3. а) p = 3; б) p = 3.

Задача 36:

p и 8p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Решение:

Задача 37:

p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p³ + 2 – также простое число.

Решение:

Задача 38:

Докажите, что не существует натуральных чисел a и b таких, что a² – 3b² = 8.

Решение:

Рассмотрите остатки по модулю 3.

Задача 39:

а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?

Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.

Задача 40:

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

Решение:

Проверьте, что остаток квадрата нечетного числа от деления на 4 равен 1, а остаток квадрата четного числа – 0.

Задача 41:

p, 4p² + 1 и 6p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Ответ: p = 5. Рассмотрите остатки при делении на 5.

Задача 42:

Докажите, что число 100 … 00500 … 001 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

Решение:

Это число дает остаток 7 от деления на 9.

Задача 43:

Докажите, что a³ + b³ + 4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.

Решение:

Выясните, какой остаток может давать число a³ + b³ + 4 от деления на 9.

Задача 44:

Докажите, что число 6n³ + 3 не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном n.

Решение:

Выясните, какой остаток может давать число 6n³ + 3 от деления на 7.

Задача 45:

x, y, z – натуральные числа, причем x² + y² = z². Докажите, что xy делится на 12.

Решение:

Если ни одно из чисел x, y не делится на 3, то z² дает остаток 2 при делении на 3, что невозможно. Заметьте теперь, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток 1, квадрат четного числа, не делящегося на 4, – остаток 4, квадрат числа, делящегося на 4, – остаток 0. Докажите, что либо x и y оба четны, либо среди них есть число, кратное 4.

Источник

Показать что m 5 m делится на 30

Задача 85:

Пусть ka ≡ kb (mod %)%m, k и m – взаимно просты. Тогда a ≡ b (mod %)%m.

Решение:

Поскольку ka ≡ kb (mod %)%m, то ka – kb = k(a – b) делится на m. Так как k и m взаимно просты, то a – b делится на m, т.е. a ≡ b (mod %)%m.

Задача 86:

Пусть ka ≡ kb (mod kn). Тогда a ≡ b (mod %)%n.

Решение:

ka – kb делится на kn, т.е. k(a – b) = mkn. Следовательно, a – b = mn, ч.т.д.

Задача 87:

Найдите остаток от деления 2¹ºº на 101.

Решение:

Вследствие малой теоремы Ферма, он равен 1.

Задача 88:

Найдите остаток от деления 3¹º² на 101.

Решение:

Так как 101 – простое число, то 3¹ºº ≡ 1 (mod 101). Отсюда 3¹º² ≡ 9 • 3¹ºº = 9 (mod 101).

Задача 89:

Докажите, что 300³ººº – 1 делится на 1001.

Решение:

300³ººº = (300 500 ) 6 ≡ 1 (mod 7). Аналогично, 300³ººº ≡ 1 (mod 11) и (mod 13). Следовательно, 300³ººº – 1 делится и на 7, и на 11, и на 13, т.е. на 1001.

Задача 90:

Найдите остаток от деления 8 900 на 29.

Решение:

Задача 91:

Докажите, что 7¹²º – 1 делится на 143.

Решение:

Докажем, что 7¹²º – 1 делится на 11 и на 13. Действительно, (7¹²)¹º ≡ 1 (mod 11) и (7¹º)¹² ≡ 1 (mod 13).

Задача 92:

Докажите, что число 30 239 + 239³º – составное.

Решение:

Это число делится на 31.

Задача 93:

Пусть p – простое число. Докажите, что (a + b) p = a p + b p (mod %)%p для любых целых a и b.

Решение:

(a + b) p ≡ (a + b) = a + b ≡ a p + b p (mod p).

Задача 94:

Сумма трех чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что a 5 + b 5 + c 5 также делится на 30.

Решение:

Докажите, что для произвольного целого x верно сравнение x 5 ≡ x (mod 30).

Задача 95:

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что

а) p q + q p = p + q (mod pq).

б) – четное число, если p, q ≠ 2.

Решение:

Докажите, что p q + q p – p – q делится и на p, и на q.

Задача 96:

Пусть p – простое число, и a не делится на p. Докажите, что найдется натуральное число b, для которого ab ≡ 1 (mod p).

Решение:

Задача 97:

(Теорема Вильсона). Пусть p – простое число. Докажите, что (p – 1)! ≡ – 1 (mod %)%p.

Задача 98:

Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n 8 + 1, либо n 8 – 1 делится на 17.

Решение:

(n 8 + 1)(n 8 – 1) = n 16 – 1 = 0 (mod 17).

Задача 99:

а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 111 … 11 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть p > 5 – простое число. Докажите, что число 111 … 11 (p – 1 единица) делится на p.

Решение:

а) 111 … 11 (p единиц) = (10 p – 1)/9, а 10 p – 1 не делится на p, так как 10 p – 1 ≡ 10 – 1 = 9 (mod p).

б) 111 … 11 (p – 1 единица) = (10 p – 1 – 1)/9, а 10 p – 1 – 1 делится на p, так как p взаимно просто с 10 и с 9.

Задача 100:

Докажите, что для любого простого p разность 111 … 11222 … 22333 … 33 … 888 … 88999 … 99 – 123456789 (в первом числе каждая ненулевая цифра написана p раз) делится на p.

Решение:

Воспользуйтесь тем, что 10 p ≡ 10 (mod p), 10 2p ≡ 100 (mod p), …, 10 8p ≡ 10 8 (mod p).

Источник

Показать что m 5 m делится на 30

а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n 2 и (n + 16) 2 дают одинаковый остаток при делении на 200.

б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в) Сколько существует двухзначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n 2 и (n + m) 2 дают одинаковый остаток при делении на 200.

а) Например, число 17.

б) Если два числа дают одинаковых остаток при делении на 200, то их разность будет делиться на 200. Имеем:

Следовательно, делится на 25, откуда Тогда:

Таким образом, существует 36 чисел.

в) По условию — целое, поэтому m — четное, т.е. Имеем:

— целое, m — двузначное, поэтому

1) Пусть k = 25, тогда n может быть любым трехзначным нечетным числом, которых гораздо больше, чем 36.

2) Пусть но кратно пяти. Значит, (n + k) кратно 10. В зависимости от k подойдут либо все четные трехзначные числа, делящиеся на 5, либо нечетные, делящиеся на 5. В любом случае таких чисел больше 36.

3) Пусть k не кратно 5, k — нечетное, но сумма (n + k) кратна 50. Поскольку то (n + k) с учетом условия принимает все значения, кратные 50, причем на одно значение — одно значение m. Следовательно, для каждого k возможно 18n, что не подходит по условию задачи.

4) Пусть k не кратно 5, k — четное, и сумма (n + k) кратна 25. Рассуждая аналогично пункту 3) при и возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. При и возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. В таблице представлены подходящие k и соответствующие им m. Их 18.

Источник

• ← Показать что m 5 m где m натуральное число делится на 30
• Показать что в ритейле тоже есть технологии повысить имидж ритейла →