Показать что функция удовлетворяет уравнению
Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?
На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =)
Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции 
), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через 
, и это не должно сбивать с толку!
Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную: 
Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами:
Стиль №1. Подставим 
и 
в левую часть уравнения и проведём упрощения: 
– в результате получена правая часть, таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция 
является корнем уравнения 
.
Стиль №2. Подставим 
и 
в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части): 
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим 
и её производную 
в левую часть уравнения (Стиль №1):
– получена правая часть, значит, функция 
тоже удовлетворяет данному уравнению.
А вот, скажем, функция 
«не подходит». И действительно, подставляя 
в уравнение 
(Стиль №2): 
– получаем неверное равенство.
Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество.
Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:))
– это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция 
– одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить 
в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями.
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство.
Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения.
Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы.
Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде 
и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике.
Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям: 
Решение, напоминаю, можно оформить двумя способами, и, на мой взгляд, здесь проще подставить найденные частные производные 
в левую часть: 
– «на выходе» получена правая часть нашего уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пара примеров для самостоятельного решения:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство.
То же задание для функции 
и уравнения 
А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге 
.
Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре!
Решения и ответы в подвале.
Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции.
Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка: 
Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка: 
Подставим 
и 
в левую часть уравнения:
– в результате НЕ получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.
Так действительно бывает!
Интересное задание для самостоятельного решения:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Краткое решение и ответ в конце урока.
И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией 
трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Решение: найдём частные производные 1-го порядка функции трёх переменных: 
Симметрия это не только красиво – но ещё и очень удобно!
Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения: 
– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: дфуду
Вот так и рождаются новые ругательства =)
Симметрия по вашу душу:
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
Подумайте, как рациональнее оформить решение.
Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =)
Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции.
Пример 2: Решение: найдём производную: 
Подставим 
и 
в левую часть уравнения: 
– в результате получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 3: Решение: найдём производную: 
Подставим 
и 
в уравнение 
: 
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию: 
Найдём частные производные первого порядка: 
Подставим 
и 
в уравнение 
: 
Получено неверное равенство.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.
Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка: 
Подставим функцию и найденные производные в левую часть уравнения: 
– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»:
(т.к. константой считается «игрек», то производная берётся от степенной функции)
Найдём смешанную частную производную 2-го порядка:
(т.к. константой считается «икс», то производная 
берётся как производная от показательной функции)
Подставим 
и 
в уравнение: 
Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Пример 10: Решение: преобразуем функцию: 
Найдем частные производные первого порядка: 
Подставим найденные производные в уравнение 
:
Получено верное равенство
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Покажите, что функция y удовлетворяет уравнению (1). Пожалуйста, напишите шаги
матлаб тебе в помощь, йуный падаван
-О-о-о но этому легко помочь, знаете что, мой дорогой, повернитесь, дверь откройте, сразу прямо, вниз налево, там направо коридором, там три двери, вам вторую после прямо вниз на лифте, вверх пешочком из подъезда выходите и потом куда хотите и подальше от больницы. Всё понятно?
Шаг 1. Найти производную
Шаг 2. Подставить в уравнение
Шаг 4. Проверить равенство левой и правой части
Нихера в этом всём не понимаю…
Возьми производную, вырази её через y и подставь в уравнение.
Глава СК потребовал возбудить уголовное дело против краснодарской судьи Хахалевой
Соскучились по (правосудию) самой криминальной и непотопляемой служительнице Фемиды? Бастрыкин, видимо, тоже.
В очередной раз Хахалева оказалась в центре скандала в 2017 году, когда в Сети появилось видео с шикарной свадьбы ее дочери. На празднестве выступали Кобзон, Меладзе, Басков, Вера Брежнева и другие известные эстрадные артисты. Молодоженам в качестве свадебного подарка преподнесли автомобиль «Бентли» стоимостью несколько десятков миллионов. В общем, свадьбе с таким размахом могли позавидовать все столичные судьи вместе взятые. По скромным подсчетам, торжество обошлось в 2 миллиона долларов.
В такую версию, разумеется, никто не поверил. Но кумовство на юге России творит чудеса, и никакого расследования вслед за скандалом не последовало.
Здесь много интересных деталей:
И если официальные власти бездействовали, рыть под Хахалеву принялись журналисты, которые выяснили, что её диплом о высшем юридическом образовании поддельный, и, следовательно, свою должность она занимала незаконно. Но и здесь судье удалось выкрутиться. Все дороги опять привели к грузинскому ОПГ в Грузию, где в одном из вузов подтвердили, что практикующая судья действительно там училась.
Обращение фермеров к президенту:
В прошлом году ВККС лишил Хахалеву судейского статуса. Но не из-за скандалов и откровенных правонарушений, нет. Просто «золотая судья» решила забить на работу (может себе позволить) и прогуляла 128 рабочих дней.
О больном
Бабушка пикабушника
Вчера звонит отец около 8 вечера.
О: у тебя все нормально?
Я: нормально, а почему спрашиваешь?
О: бабушке хрен какой-то позвонил, тобой представился, сказал что машина сбила, в больнице лежит.
Я: у меня все нормально, это мошенники наверно.
В это момент идёт параллельный вызов от самой бабушки. Взять трубку не успел. Перезвонил сразу и успокоил.
Сегодня заехал к ней, подробности хотел узнать. Взял ее мобильный (кнопочный бабушкофон) хотел белый список включить, чтоб никто посторонний не звонил, но такой функции в нем не оказалось.
Похвалил бабушку за бдительность. Обнял и поехал на работу. Бабушке 86 лет. Живёт одна. Уже 10 лет деда нет. Ходит с трудом, но голова в порядке.
Началось
Первый биологический гепард, идентифицирующий себя, как человек, собирается выиграть для Лихтенштейна золотую медаль в беге на Олимпиаде в Токио.
Ответ на пост «как это работает?»
Занимаюсь ремонтом ноутов.
Приходит маргинал с разбитым хорошим буком-«починить почём?»
Помой
Никакой дискриминации
Циан опротестовал 2700 отзывов!
Команда Циана за прошедшие два дня опротестовали и удалили около 2700 отзывов, как результат их рейтинг сейчас 1,9.
Мой отзыв удаляли 5 раз.
Отзывы можно оставить на Яндекс картах, навигаторах, отзовик итд.
За этот год четыре раза поднимали цены.
Подменные номера в Циане для прослушивания и записи разговоров. Да, циан прослушивает и записывает. Отказаться от подменных номеров нельзя!
Циан крупнейший в стране спамер. Названивают постоянно, с предложениями, бонусами итд.
Скупили и разорили всех конкурентов. Помните, был такой портал Недвижимость и цены? Дело рук Циана.
Поддержка в Циане работает не покладая рук, только для обзвона и спама. На обращения, жалобы итд вообще не реагируют.
Циан — крупнейший агрегатор и маркетплейс в сфере недвижимости в России. Основные акционеры компании — Elbrus Capital и Goldman Sachs. Доли есть и у менеджмента во главе с Мельниковым, и у основателя Циана Дмитрия Демина, который, по словам Мельникова, давно живет за границей и не принимает участия в управлении компанией.
ЦИАН разместил американские депозитарные акции по верхней границе цены, а именно 16 долларов за штуку. Общий объем сделки составил почти 300 млн долларов. 78% всех акций ЦИАН, которые теперь торгуются на бирже, продают нынешние акционеры
Согласно проспекту, ЦИАН выиграл от ипотечного бума, но может пострадать от обостряющейся конкуренции на рынке, а потому не гарантирует выплату дивидендов.
Котировки, акции Циан
Братцы, накинем IPO на вентилятор!
Доклад закончил! Благодарю за внимание!
Петров или Баширов?
Реалии муравьиной жизни
Английский для программирования не важен!©
Теперь вибрирует весь дом
Сильная ведьма
Когда у Деда Мороза погоны на тулупе
Когнитивный диссонанс
Сегодня в 7 утра сижу в авто, грею, на дворе суббота. Смотрю как молодой мужчина бегает между машин и что-то спрашивает. В итоге добегает до меня. Видимо я была его последней надеждой, потому что он спросил, есть ли у меня провода прикурить авто)).
И тут я говорю, что есть. Он охреневает и показывает, где стоит его авто. Подъезжаю к его авто и понимаю, что он не в курсе, что есть плюс и минус на аккуме)). Прикурила, объяснила на будущее и он довольный уехал за новым аккумулятором.
Вот сижу и горжусь собой, что девушка кого-то смогла выручить)).
Не в тело, а в дело
Эквилибрист
Ответ jankowski в «Разница»
Подержите мой вискарь.
А незадолго до прибытия он поинтересовался у водителя, где мы планируем заночевать.
ОМГ, заночевать? Как так заночевать? Я предполагала, что мы без остановок до Еревана будет ехать. Все-таки не с Дальнего Востока путь, а из Сочи.
«Ти щто, ти щто, бидьжо, какие дальнобои? Стол накрыт, мэста всэм хватит, да?»
Ашот не пил, а у нас и похмелья не было. Утром еле выдвинулись в сторону Тбилисо, ибо Серго, его жена и 100500 детей хором уговаривали остаться «ну ещё хоть на денёк».
Но нет, нас ждут в Ереване. Нас с мужем, ну и водителя. И Манану в Тбилиси ждут. Надо ехать.
В общем, покинули Тбилиси, наевшись хинкали, доехали до границы с Арменией. До Еревана оставалось не то чтоб рукой подать, но уже недалеко. Сегодня доедем.
Вы когда-нибудь слышали про сезон хаша в Армении? Вот и мы до этого нет. А именно в этот сезон мы туда и попали. Просто нас никто не предупредил.
В итоге после пересечения грузино-армянской границы мы поехали не по прямой, как в основном ездят. Не через Иджеван-Дилижан-Севан.
Короче от грузино-армянской границы до Еревана мы трое суток ехали.
Хаша, имам баялды и хороваца всяких наелись, пожалуй, на всю жизнь вперёд. Ну и напились, соответственно.
Они там всю ночь хаш варят и прибухивают, а наутро заедают хашем и спать ложатся ненадолго, чтобы потом снова встать и варить хаш. Сезон же.
А у нас с супругом только положительные впечатления от этой поездки остались.
Никто не пытался на нас нажиться.