Показать что функция удовлетворяет уравнению лапласа

Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?

На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =)

Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции ), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через , и это не должно сбивать с толку!

Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную:

Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами:

Стиль №1. Подставим и в левую часть уравнения и проведём упрощения:

– в результате получена правая часть, таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция является корнем уравнения .

Стиль №2. Подставим и в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части):

Получено верное равенство.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим и её производную в левую часть уравнения (Стиль №1):
– получена правая часть, значит, функция тоже удовлетворяет данному уравнению.

А вот, скажем, функция «не подходит». И действительно, подставляя в уравнение (Стиль №2):

– получаем неверное равенство.

Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество.

Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:))

– это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция – одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями.

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство.

Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения.

Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы.

Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике.

Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям:

Решение, напоминаю, можно оформить двумя способами, и, на мой взгляд, здесь проще подставить найденные частные производные в левую часть:

– «на выходе» получена правая часть нашего уравнения.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пара примеров для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство.

То же задание для функции и уравнения

А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге .

Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре!

Решения и ответы в подвале.

Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции.

Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка:

Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка:

Подставим и в левую часть уравнения:
– в результате НЕ получена правая часть данного уравнения.

Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Так действительно бывает!

Интересное задание для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Краткое решение и ответ в конце урока.

И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Решение: найдём частные производные 1-го порядка функции трёх переменных:

Симметрия это не только красиво – но ещё и очень удобно!

Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.

Ответ: дфуду

Вот так и рождаются новые ругательства =)

Симметрия по вашу душу:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Подумайте, как рациональнее оформить решение.

Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =)

Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции.

Пример 2: Решение: найдём производную:

Подставим и в левую часть уравнения:

– в результате получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 3: Решение: найдём производную:

Подставим и в уравнение :

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию:

Найдём частные производные первого порядка:

Подставим и в уравнение :

Получено неверное равенство.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка:

Подставим функцию и найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»:
(т.к. константой считается «игрек», то производная берётся от степенной функции)
Найдём смешанную частную производную 2-го порядка:

(т.к. константой считается «икс», то производная берётся как производная от показательной функции)
Подставим и в уравнение:

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 10: Решение: преобразуем функцию:

Найдем частные производные первого порядка:

Подставим найденные производные в уравнение :

Получено верное равенство
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Электронная библиотека

Пусть имеется однородное тело V, ограниченное поверхностью S. Как известно, температура тела удовлетворяет уравнению:

Функции u, удовлетворяющие уравнению Лапласа называются гармоническими (см. главу 2).

Чтобы температура в теле определялась однозначно из уравнения Лапласа, нужно знать температуру на поверхности S. Таким образом, для уравнения Лапласа краевая задача формулируется так: найти функцию u(x,y,z), удовлетворяющую уравнению (4.71) внутри объема V и принимающую в каждой точке заданные значения:

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения Лапласа (4.71).

Если рассматривать плоский случай, то уравнению Лапласа должна удовлетворять функция u(x,y), а краевые условия должны иметь место на контуре С, ограничивающем односвязную область D плоскости хОу.

Замечание. В практике часто пользуются уравнением Лапласа, записанного в цилиндрических координатах (полярных, если случай плоский).

Если функция u не зависит от z, а зависит только от х и у, то функция и * =и * ( r, ) и удовлетворяет уравнению Лапласа:

и на окружности круга принимающую заданные значения:

Задачу решаем в полярных координатах. Тогда уравнение (4.75) будет:

Решение ищем методом разделения переменных, полагая

Подставляя в уравнение Лапласа, приходим:

Последнее равенство дает два уравнения:

Общее решение уравнения (4.80) будет:

Общее решение уравнения (4.81):

(решение ищется в форме ).

Запишем решение в виде:

Если k = 0, то должны взять (решение должно быть периодической функцией).

Подставив в равенство (4.85) r = R, получим:

Подставляя в формулу (4.85) значения А_n и В_n из (4.87) и проведя тождественные преобразования (рекомендуется выполнить самостоятельно в качестве упражнения), получим:

Формула (4.88) называется интегралом Пуассона. Этим и завершается решение задачи Дирихле для круга.

Показать, что функция есть гармоническая функция.

Решение. По определению функция u(x,y) называется гармонической в некоторой области, если в каждой точке этой области она удовлетворяет уравнению Лапласа:

Вывод: функция гармоническая.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Источник