Показать что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и определения.

где F(x,y,y / ) и f(x,y) заданные функции своих аргументов. Часто встречается и такая запись дифференциального уравнения:

Решением дифференциального уравнения называется функция y=j(x), которая будучи поставленной в уравнение, обращает его в тождество относительно переменной x.

Если решение дифференциального уравнения задано в неявном виде Ф(x,y)=0, то оно обычно называется интегралом.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию

Теорема (существование и единственность решения задачи Коши). Если функция f(x,y) определена в замкнутой области и удовлетворяет в ней двум условиям:

1) непрерывна и, следовательно, ограничена, т.е. существует число , что ;

2) удовлетворяет относительно переменной y условию Липшица, т.е. для любых точек , что

то уравнение (2) имеет единственное решение у=у(х), удовлетворяющее начальному условию (4), определенное и один раз непрерывно дифференцируемое в промежутке [x₀-h, x₀+h], где

Общим решением дифференциального уравнения (1.2) называется функция зависящая от одной произвольной постоянной С и удовлетворяющая двум условиям:

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях С;

2) каково бы ни было начальное условие (4), можно подобрать значение С₀ произвольной постоянной С, что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4).

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, которое получается из общего решения при фиксированном значении С.

Соотношение вида F(x,y,C)=0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

B.Задачи и примеры для самостоятельного решения.

Выяснить, являются ли решениями (или интегралами), данных дифференциальных уравнений указанные функции:

С. Примеры решения задач.

1₀. Показать, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение. Вычислим производную данной функции

т.е. данная функция является решением дифференциального уравнения.

2₀. Доказать, что при каждом функция , определяемая соотношением , является решением дифференциального уравнения

Решение. Применяя к данному соотношению правило дифференцирования неявной функции, имеем

Þ Þ Þ

Подставляя найденное значение в данное дифференциальное уравнение, получаем тождество

Уравнения с разделяющимися переменными.

А.Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделенными переменными.

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Читайте также: Спортмакси акция 2 1

Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Дифференциальное уравнение вида

где a, b и с – постоянные, заменой переменных преобразуются в уравнение с разделяющимися переменными.

В.Задачи и упражнения для самостоятельного решения.

Решить дифференциальные уравнения:

Решить дифференциальные уравнения, используя замену переменных.

Найдите кривую, проходящую через точку (0,2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке был равен ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная .

Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постоянная, равная .

Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньше абсциссы точки касания.

Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен .

С. Примеры решения задач.

1₀. Решить уравнение .

Решение. Представим данное уравнение в виде

Разделив обе части этого уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя это уравнение, находим

Отсюда .

2₀. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Решение. Перепишем уравнение в виде

Из условия находим 1-ln2=C, т.е. С=1-ln2.

Искомое решение определяется в неявном виде:

3₀. Решить уравнение

Решение. Замена x-y-1=z приводит это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

Функции z=2kp, k_Z являются решениями последнего уравнения. Остальные решения удовлетворяют соотношению

Таким образом, .

Окончательно ,

4₀. Кривая y=j(x) проходит через точку (0,1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую y=j(x).

Решение. Пусть (х,у) – произвольная точка на искомой кривой. Тангенс угла наклона касательной к кривой в точке (х,у) равен производной искомой функции в точке (х,у), т.е. у^. По условию у^=2ху. Отсюда . Так как у(0)=1, то С=1 и .

D.Ответы.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Показать что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами

уЙНЧПМЙЮЕУЛЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ НПЦОП ОБРЙУБФШ ФБЛ

рПТСДЛПН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС ОБЪЩЧБЕФУС РПТСДПЛ ОБЙЧЩУЫЕК РТПЙЪЧПДОПК, ЧИПДСЭЕК Ч ХТБЧОЕОЙЕ.

оБРТЙНЕТ, ХТБЧОЕОЙЕ

ЕУФШ ХТБЧОЕОЙЕ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ, Б ХТБЧОЕОЙЕ

— ХТБЧОЕОЙЕ ЧФПТПЗП РПТСДЛБ.

тЕЫЕОЙЕН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС ОБЪЩЧБЕФУС ЧУСЛБС ЖХОЛГЙС y(x), ЛПФПТБС ВХДХЮЙ РПДУФБЧМЕООПК Ч ХТБЧОЕОЙЕ, ПВТБЭБЕФ ЕЗП Ч ФПЦДЕУФЧП. тЕЫЕОЙЕ ЕЭЕ ОБЪЩЧБЕФУС ЙОФЕЗТБМПН ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

рТЙНЕТ

тБУУНПФТЙН ХТБЧОЕОЙЕ .

жХОЛГЙС СЧМСЕФУС ТЕЫЕОЙЕН ЬФПЗП ХТБЧОЕОЙС.

дЕКУФЧЙФЕМШОП,

Й ХТБЧОЕОЙЕ ПВТБЭБЕФУС Ч ФПЦДЕУФЧП:
.
тЕЫЕОЙЕН ТБУУНБФТЙЧБЕНПЗП ХТБЧОЕОЙС ВХДХФ Й ЖХОЛГЙЙ

Й ЧППВЭЕ ЖХОЛГЙЙ
, ЗДЕ Й — РТПЙЪЧПМШОЩЕ РПУФПСООЩЕ.
ч УБНПН ДЕМЕ

Й ХТБЧОЕОЙЕ ПВТБЭБЕФУС Ч ФПЦДЕУФЧП
.

ъБНЕФЙН, ЮФП ТБУУНБФТЙЧБЕНПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЙНЕЕФ ВЕУЮЙУМЕООПЕ НОПЦЕУФЧП ТЕЫЕОЙК ЧЙДБ: .

тЕЫЕОЙЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОЩИ ХТБЧОЕОЙК РЕТЧПЗП РПТСДЛБ

дЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ ЙНЕЕФ ЧЙД .

пВЭЕЕ Й ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ

рТЙНЕТ

тБУУНПФТЙН ХТБЧОЕОЙЕ
.

пВЭЙН ТЕЫЕОЙЕН ЬФПЗП ХТБЧОЕОЙС СЧМСЕФУС УЕНЕКУФЧП ЖХОЛГЙК
.

дЕКУФЧЙФЕМШОП, РТЙ МАВПН ЪОБЮЕОЙЙ C ЬФБ ЖХОЛГЙС ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ХТБЧОЕОЙА: .
лТПНЕ ФПЗП, ЧУЕЗДБ НПЦОП ОБКФЙ ФБЛПЕ ЪОБЮЕОЙЕ C, ЮФП УППФЧЕФУФЧХАЭЕЕ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ВХДЕФ ХДПЧМЕФЧПТСФШ ЪБДБООПНХ ОБЮБМШОПНХ ХУМПЧЙА.

ьФП ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЙУРПМШЪХС ОЙЦЕРТЙЧЕДЕООЩК БРРМЕФ ДМС РПУФТПЕОЙС РПМС ОБРТБЧМЕОЙК Й ЙОФЕЗТБМШОЩИ ЛТЙЧЩИ ДМС ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ.

тЕЫЙФШ ЙМЙ РТПЙОФЕЗТЙТПЧБФШ ДБООПЕ ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЬФП ЪОБЮЙФ:

Б) ОБКФЙ ЕЗП ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ЙМЙ ПВЭЙК ЙОФЕЗТБМ, ЕУМЙ ОЕ ЪБДБОЩ ОБЮБМШОЩЕ ХУМПЧЙС,

В) ОБКФЙ ЮБУФОПЕ ТЕЫЕОЙЕ, ХДПЧМЕФЧПТСАЭЕЕ ЪБДБООЩН ОБЮБМШОЩН ХУМПЧЙСН.

зЕПНЕФТЙЮЕУЛБС ЙОФЕТРТЕФБГЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ

рТЙНЕТ

фЕПТЕНБ УХЭЕУФЧПЧБОЙС Й ЕДЙОУФЧЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

Источник

Показать что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами

1. У равнения с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

С учетом равенства

После применения теоремы о сумме логарифмов и потенцирования получаем

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

Однородное уравнение (8.12) принимает вид: – уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным или к уравнениям с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

При c ₁ = c ₂ = 0 уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при c ₁ и c ₂ не равных нулю одновременно.

В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.

С помощью формул интегрирования (4.8) и (4.17) получаем:

Осуществим обратную подстановку :

– общий интеграл исходного уравнения

Пример 8.6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Исходное уравнение принимает вид:

После обратной замены получим: – общий интеграл исходного уравнения

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

где P ( x ) и Q ( x ) – заданные функции (могут быть постоянными).

Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.

Пример 8.7. Проинтегрировать уравнен ие с помощью метода Бернулли.

Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в ноль, то есть и л и

Общее решение заданного ДУ можно также получить, пользуясь непосредственно формулой (8.18):

Таким образом, – общее решение исходного дифференциального уравнения

Пример 8.8. Проинтегрировать уравнение с помощью метода Лагранжа (сравни с пример ом 8.7).

5. Уравнения Бернулли

Общий вид уравнений

При n = 1 (8.1 9) – уравнение с разделяющимися переменными. При n = 0 (8.1 9) – линейное ДУ.

6. Уравнения в полных дифференциалах

6.1. Общий вид уравнений

Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.

(8.22)

Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:

Формула (8.22) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешанные производные второго порядка функции F ( x ; y ) равны.

Найденное c ( y ) подставляем в функцию F ( x ; y ), получаем решение заданного ДУ:

Если условие (8.22) не выполняется, то ДУ (8.21) не является уравнением в полных дифференциалах.

Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие

6.2. Пусть μ = μ ( x ). Тогда уравнение (8.25) принимает вид:

При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от x.

6.3. Пусть μ = μ ( y ). Тогда аналогично можно получить

7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

7.1. Уравнение Лагранжа

Общий вид уравнений

Продифференцируем его по x :

Полученное уравнение (8.30) является линейным уравнением относительно неизвестной функции x = x ( p ). Решив его, найдем:

Исключая параметр p из уравнений (8.29) и (8.31), получаем общий интеграл уравнения (8.28) в виде y = γ ( x ; c ).

. (8.32)

Продифференцируем уравнение (8.33) по переменной x:

При получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Источник