Подобные слагаемые что это
Подобные слагаемые
Урок 42. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Подобные слагаемые»
Сегодня на уроке мы узнаем, какие слагаемые называют подобными, а также научимся приводить подобные слагаемые или, проще говоря, упрощать выражения.
Для изучения нового материала нам понадобятся понятие «коэффициента» и знание распределительного свойства умножения. Вспомним их.
Коэффициентом называют числовой множитель, который записан перед буквенным (одним или несколькими) множителем.
Распределительное свойство умножения справедливо для любых чисел a, b и c.
Оно позволяет, как раскрывать скобки, так и выносить общий множитель за скобки.
Часто при работе с выражениями сначала их обычно упрощают, т.е. преобразуют в более компактную и удобную для вычислений форму.
Найти значение выражения 5х + 2х – 3х + 7х при х = 3.
Конечно, можно просто подставить вместо х указанное значение и посчитать сумму полученных произведений.
Но такой процесс вычислений займёт немало времени. Вычисления значительно упростятся, если обратить внимание, на то, что все слагаемые имеют один и тот же буквенный множитель х. И вот тут к нам на помощь приходит распределительное свойство умножения. Мы знаем, что на основании распределительного свойства можно выносить общий множитель за скобки. Вынесем в нашем выражении общий буквенный множитель х за скобки.
Смотрите, как мы себе упростили вычисления. Такие преобразования можно выполнять только в тех случаях, когда слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
Такие слагаемые называют подобными, а сами преобразования называют приведением подобных слагаемых.
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
Замену суммы подобных слагаемых одним слагаемым называют приведением подобных слагаемых.
Подобные слагаемые могут отличаться только коэффициентами. Кроме того, подобными считают и равные слагаемые, а также числа.
Заметим, что слагаемые, у которых равны коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются, хотя и к ним иногда полезно применять распределительное свойство умножения.
Ответим на вопрос: зачем же нужно приводить подобные слагаемые?
Ответ на этот вопрос прост. Приводят подобные слагаемые для того, чтобы сделать суммы более короткими, т.е. преобразовывают их в суммы с меньшим числом слагаемых.
Посмотрите, в нашей начальной сумме было 4 слагаемых, а мы её преобразовали в выражение, состоящее из двух множителей. С более короткими суммами легче выполнять вычисления.
Запишем правило, по которому приводят подобные слагаемые:
Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо:
1) сложить коэффициенты подобных слагаемых;
2) результат умножить на общую буквенную часть.
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
Замену суммы подобных слагаемых одним слагаемым называют приведением подобных слагаемых.
Для того чтобы привести подобные слагаемые, надо:
1) сложить коэффициенты подобных слагаемых;
2) результат умножить на общую буквенную часть.
Подобные слагаемые, их приведение, примеры.
Одним из наиболее часто используемых тождественных преобразований является приведение подобных слагаемых. В этой статье мы дадим определение подобных слагаемых, разберемся, что называют приведением подобных слагаемых, рассмотрим правила, по которым выполняется это действие, и приведем примеры приведения подобных слагаемых с подробным описанием решения.
Навигация по странице.
Определение и примеры подобных слагаемых.
Разговор о подобных слагаемых возникает после знакомства с буквенными выражениями, когда возникает необходимость проведения преобразований с ними. По учебникам математики Н. Я. Виленкина определение подобных слагаемых дается в 6 классе, и оно имеет следующую формулировку:
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Стоит внимательно разобраться в этом определении. Во-первых, речь идет о слагаемых, а, как известно, слагаемые являются составными элементами сумм. Значит, подобные слагаемые могут присутствовать лишь в выражениях, которые представляют собой суммы. Во-вторых, в озвученном определении подобных слагаемых присутствует незнакомое понятие «буквенная часть». Что же понимают под буквенной частью? Когда дается это определение в шестом классе, под буквенной частью понимается одна буква (переменная) или произведение нескольких букв. В-третьих, остается вопрос: «А что же это за такие слагаемые с буквенной частью»? Это слагаемые, представляющие собой произведение некоторого числа, так называемого числового коэффициента, и буквенной части.
Дальше из контекста указанного выше учебника становится видно дополнение к определению подобных слагаемых – слагаемые в буквенном выражении, не имеющие буквенной части, также называют подобными.
Позже расширяется и понятие буквенной части – буквенной частью начинаю считать не только произведение букв, а произвольное буквенное выражение. К примеру, в учебнике алгебры для 8 класса авторов Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского приведена сумма вида 
, и сказано, что составляющие ее слагаемые являются подобными. Общей буквенной частью этих подобных слагаемых является выражение с корнем вида 
.
Обобщив всю изложенную информацию, можно дать следующее определение подобных слагаемых.
Подобными слагаемыми называются слагаемые в буквенном выражении, имеющие одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, не имеющие буквенной части, где под буквенной частью понимается любое буквенное выражение.
Отдельно скажем, что подобные слагаемые могут быть одинаковыми (когда равны их числовые коэффициенты), а могут быть и разными (когда их числовые коэффициенты различны).
Приведение подобных слагаемых, правило, примеры
Приведение подобных слагаемых проводится в три этапа:
Для удобства три перечисленных выше шага объединяют в правило приведения подобных слагаемых: чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на буквенную часть (если она есть).
Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.
Урок 42 Бесплатно Подобные слагаемые
В одном из прошлых уроков мы узнали и разобрали одно важное свойство распределительных чисел: распределительное свойство умножения относительно сложения.
Сегодня мы подробно посмотрим, как оно позволяет нам раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, а также в целом упрощать выражение.
Раскрытие скобок
Распределительное свойство умножения справедливо для любых чисел a, b и c.
Также мы уже упоминали, что это свойство можно обобщить, во-первых, для большего числа слагаемых, во-вторых, в роли общего множителей могут выступать не только числа, но и выражения.
Сейчас подробно посмотрим на примерах.
Пример:
Посмотрим на выражение \(\mathbf<(\frac<15><37>+\frac<19><74>)\cdot74>\)
Мы можем сначала посчитать выражение в скобках, а можем сначала раскрыть скобки, избавившись от дробей, а затем выполнить сложение.
Воспользуемся вторым способом:
В данном случае мы имели выражение, максимально близкое к тому, что мы видим в формулировке распределительного свойства.
Теперь рассмотрим такое выражение: \(\mathbf<(1001-65):13>\)
Тут мы видим вычитание вместо сложения и деление вместо умножения.
Но мы уже умеем заменять вычитание на сложение, заменяя вычитаемое на слагаемое, противоположное вычитаемому:
Также и деление мы умеем заменять на умножение, заменяя делитель на множитель, обратный делителю:
Теперь мы получили выражение, соответствующее формулировке распределительного свойства.
Применим же свойство и найдем значение выражения.
Заметим, что хоть мы и заменяли вычитание на сложение, в конце мы все равно вычитали.
Также несмотря на то, что мы заменяли деление на умножение, в конце мы все равно делили.
Распределительное свойство также работает и в таком виде:
Также важно понимать, что распределительное свойство может работать не только с двумя числами, но и с любым другим их количеством.
Три точки обозначают любое количество слагаемых от нуля до бесконечности.
Аналогично предыдущему примеру, слагаемые в скобках могут быть с разными знаками. В таком случае они будут с такими же знаками и в правой части равенства.
Пример:
Раскроем скобки в выражении \(\mathbf<(a+b+c+d)\cdot x>\) :
Также важно понимать, что на месте a, b и других букв в скобках могут стоять любые другие выражения.
Пример:
Также и множитель снаружи скобок может быть не только числом или скобкой, а любым другим выражением, например, как в этом примере ax и bx являются произведениями двух множителей.
Как мы сказали, множитель может быть любым выражением, например, выражением в скобках. Рассмотрим еще такой пример.
Пример:
Раскроем скобки в выражении \(\mathbf<(a+b)(c+d)>\) :
Тут можно действовать в любом порядке: можно считать первую скобку общим множителем, раскрывая вторую, а можно и наоборот.
Мы будем сейчас раскрывать вторую скобку, то есть (\(\mathbf
Теперь общими множителями для первой и второй скобок будут с и d соответственно:
Промежуточный шаг можно было пропустить, так как скобки не несли в нем смысла, но оставим его здесь для наглядности.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вынесение общего множителя
Распределительное свойство умножения относительно сложения помогает нам выносить общий множитель, то есть, смотря на формулировку, мы из правой части переходим в левую.
Сразу скажем, что по аналогии с раскрытием скобок, мы не должны пугаться вычитания и деления, а должны, если сомневаемся, заменять их на сложение и умножение соответственно.
Пример:
Вынесем общий множитель в выражении \(\mathbf
Мы видим, что выражение состоит из трех слагаемых, каждое из которых является произведением.
В каждом из этих произведений есть множитель а.
Его мы и будем выносить.
В данном случае не стояла задача раскрывать скобки. Мы это сделали, чтобы ответ выглядел более законченным
Также можно выносить несколько множителей одновременно.
Пример:
Вынесем общие множители в выражении \(\mathbf
В данном случае в выражении три произведения, в каждом из которых есть множитель а и с, вынесем их:
Кстати, всегда можно проверить себя, раскрыв скобки и убедившись в равенстве полученного выражения и исходного.
Как мы уже сказали, в роли множителей могут выступать всевозможные выражения, а не только числа или произведения. Покажем на примере.
Пример:
Вынесем общие множители в выражении \(\mathbf
Мы видим, что общий множитель есть у первых двух слагаемых и у вторых двух соответственно, вынесем их.
Получается, что выражение состоит из двух слагаемых, каждое из которых является произведением, и в каждом из этих произведений есть множитель \(\mathbf<(a+b>\), вынесем его:
Так мы получили ответ.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Приведение подобных слагаемых
В заголовке мы упомянули два новых термина, поэтому сначала дадим им определения.
Подобными слагаемыми называют такие слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Пример:
Посмотрим, какие есть подобные слагаемые в выражении \(\mathbf<12ab+2b+3ab+5\frac<1><2>b+0.2b>\)
У первого и третьего слагаемого буквенная часть равна \(\mathbf
У второго, четвертого и пятого слагаемого буквенная часть равна \(\mathbf\), эти три слагаемых являются подобными.
Если же мы зададимся вопросом, являются ли подобными первые два слагаемых, то ответ будет отрицательным.
В самом деле, их буквенные части отличаются: \(\mathbf
Внимательный читатель заметит, иногда \(\mathbf
Нередко для удобства подобные слагаемые подчеркивают, причем каждую группу подобных слагаемых подчеркивают разным типом подчеркиваний:
Теперь зная, что такое подобные слагаемые, приступим к их сложению (приведению).
Чтобы привести (сложить) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Пример:
Возьмем то же выражение и приведем в нем подобные слагаемые.
Как вы видите, процесс очень похож на вынесение общего множителя. В данном случае общим множителем для подобных слагаемых является их одинаковая буквенная часть.
Если мы видим в сумме слагаемое со знаком «минус» перед ним, то и коэффициенты мы будем складывать с этим же знаком.
Пример:
Приведем подобные слагаемые в выражении \(\mathbf<5c+4a-2c+3a>\)
Также достаточно часто встречаются задания вида «раскройте скобки и приведите подобные слагаемые».
Пример:
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении \(\mathbf<5a(c+3d)-4c(a-d)>\)
В целом, ничего нового в этом задании нет, надо просто аккуратно применить те приемы, которые мы уже освоили.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
Мы уже говорили про математику в литературе, но речь была про малоизвестные случаи.
Наш урок имеет порядковый номер 42, а это число является крайне популярным в культуре!
Известно оно стало из-за книги Дугласа Адамса «Автостопом по галактике».
В ней сверхразумная раса существ создала мощный компьютер с названием «Думатель» (Deep Thought) с одной лишь целью: найти «Окончательный Ответ на величайший вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого».
После семи с половиной миллионов лет работы компьютер выдал один ответ: число 42.
Дальше отрывок из книги, как отреагировали существа:
“— Сорок два! — взвизгнул Лунккуоол. — И это всё, что ты можешь сказать после семи с половиной миллионов лет работы?
— Я всё очень тщательно проверил, — сказал компьютер, — и со всей определённостью заявляю, что это и есть ответ. Мне кажется, если уж быть с вами абсолютно честным, то всё дело в том, что вы сами не знали, в чём вопрос.
— Но это же великий вопрос! Окончательный вопрос жизни, Вселенной и всего такого! — почти завыл Лунккуоол.
— Да, — сказал компьютер голосом страдальца, просвещающего круглого дурака. — И что же это за вопрос? “
Книга оказалась крайне популярной и читающее сообщество начало гадать, что могло означать это число, какой смысл вкладывал автор.
Но само число стало частью культуры, и, например, в сообществе программистов, часто можно встретить примеры с именно этим числом.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Многочлен стандартного вида
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение многочлена
Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».
Одночлен — это частный случай многочлена.
Рассмотрим примеры многочленов:
Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:
Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем – 3×2, а не просто 3×2.
Этот же многочлен можно записать вот так:
Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.
Многочлен вида 10x – 3×2 + 7 называется трехчленом.
Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.
Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x – b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.
Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.
Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:
Такие выражения состоят из свободных членов.
Многочлен стандартного вида
Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.
Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.
К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.
Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.
Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.
Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x – xy2
Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.
Степень многочлена
Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.
Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.
Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.
Рассмотрим на примере:
Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2
Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:
Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.
Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен второй степени.
Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен второй степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.
В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.
Пример:
Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:
Коэффициенты многочлена
Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.
Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.
Например:
Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.
Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.
Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x – xy2.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x – xy2 = 5x + 5xy2.
Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.
Многочлен приведен к стандартному виду.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.
Подобные слагаемые, их приведение, примеры
Приведение подобных слагаемых является одним из наиболее употребимых тождественных преобразований. В этом разделе мы дадим определение термина, разберем, что обозначает словосочетание «приведение подобных слагаемых», рассмотрим основные правила выполнения действий и наиболее распространенные типы задач.
Определение и примеры подобных слагаемых
В большинстве учебных пособий тема подобных слагаемых разбирается после знакомства с буквенными выражениями, когда появляется необходимость проводить с ними различные преобразования.
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Слагаемые – это, как известно, составные элементы суммы. Это значит, что они могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.
Буквенная часть может быть представлена не только произведением букв, но также и произвольным буквенным выражением. Например:
Обобщим изложенные выше утверждения и дадим еще одно определение подобных слагаемых.
Подобные слагаемые – это слагаемые в буквенном выражении, которые имеют одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, которые не имеют буквенной части, если под буквенной частью понимать любое буквенное выражение.
Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.
Возьмем для примера выражение 2 · x · y + 3 · y · x и рассмотрим такой нюанс: являются ли слагаемые 2 · x · y и 3 · y · x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x · y и y · x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.
К слову, в некоторых источниках при нестрогом отношении к вопросу, слагаемые из примера могут называться подобными. Но лучше не допускать таких неточностей в трактовках.
Приведение подобных слагаемых, правило, примеры
Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:
Приведем пример таких вычислений.
Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правило для того, чтобы привести подобные слагаемые, необходимо сложить их коэффициенты, а затем умножить полученный результат на буквенную часть при ее наличии.
Решение