При изучении процесса радиоактивного распада было установлено, что не все ядра радиоактивного изотопа распадаются одновременно, в каждую единицу времени распадается лишь некоторая доля общего числа радиоактивного элемента. Каждое радиоактивное ядро может распасться в любой момент и закономерность наблюдается только в среднем, в случае распада достаточно большого количества ядер.
N – число ядер, не распавшихся за время t,
λ – постоянная распада, различна для разных радиоактивных веществ.
Cреднее время жизни τ – промежуток времени τ, в течение которого система распадается с вероятностью 1 – 1/e:
Период полураспада – это время, в течение которого распадается половина радиоактивных ядер:
Активность радиоактивного препарата – число ядер этого препарата, распадающихся за секунду.
Активность измеряется в кюри (Ки) и беккерелях (Бк)
Распад исходного ядра 1 в ядро 2, с последующим его распадом в ядро 3, описывается системой дифференциальных уравнений:
Решением системы с начальными условиями N1(0) = N10; N2(0) = 0 будет
Для практического использования закон радиоактивного распада можно записать так :
Изотопы – разновидности одного и того же химического элемента, близкие по своим физико-химическим свойствам, но имеющие разную атомную массу. Название «изотопы» было предложено в 1912 английским радиохимиком Фредериком Содди, который образовал его из двух греческих слов: isos – одинаковый и topos – место. Изотопы занимают одно и то же место в клетке периодической системы элементов Менделеева.
Изотопами называются разновидности одного и того же химического элемента, атомы которых имеют одинаковый заряд ядра (и, следовательно, практически одинаковые электронные оболочки), но отличаются значениями массы ядра. По образному выражению Ф.Содди, атомы изотопов одинаковы «снаружи», но различны «внутри».
Из всех известных нам изотопов только изотопы водорода имеют собственные названия. Так, изотопы 2 H и 3 H носят названия дейтерия и трития и получили обозначения соответственно D и T (изотоп 1 H называют иногда протием).
В природе встречаются как стабильные изотопы, так и нестабильные – радиоактивные, ядра атомов которых подвержены самопроизвольному превращению в другие ядра с испусканием различных частиц (или процессам так называемого радиоактивного распада). Сейчас известно около 270 стабильных изотопов, причем стабильные изотопы встречаются только у элементов с атомным номером Z 83. Число нестабильных изотопов превышает 2000, подавляющее большинство их получено искусственным путем в результате осуществления различных ядерных реакций. Число радиоактивных изотопов у многих элементов очень велико и может превышать два десятка. Число стабильных изотопов существенно меньше, Некоторые химические элементы состоят лишь из одного стабильного изотопа (бериллий, фтор, натрий, алюминий, фосфор, марганец, золото и ряд других элементов). Наибольшее число стабильных изотопов – 10 обнаружено у олова, у железа, например, их – 4, у ртути – 7.
Для изучения свойств изотопов и особенно для их применения в научных и прикладных целях требуется их получение в более или менее заметных количествах. В первую очередь были освоены физико-химические методы разделения, основанные на различиях в таких свойствах изотопов одного итого же элемента, как скорости испарения, константы равновесия, скорости химических реакций и т.п. Наиболее эффективными среди них оказались методы ректификации и изотопного обмена, которые нашли широкое применение в промышленном производстве изотопов легких элементов: водорода, лития, бора, углерода, кислорода и азота.
Радиоактивность заключается в самопроизвольном (спонтанном) распаде ядер с испусканием одной или нескольких частиц. Такие ядра и соответствующие им нуклиды называют радиоактивными (в отличие от стабильных ядер). Радиоактивное ядро называют материнским, а ядра, образующиеся в результате распада, дочерними.
Необходимое условие радиоактивного распада заключается в том, что масса исходного ядра должна превышать сумму масс продуктов распада. Поэтому каждый радиоактивный распад происходит с выделением энергии.
Радиоактивность подразделяют на естественную и искусственную. Первая относится к радиоактивным ядрам, существующим в природных условиях, вторая – к ядрам, полученным посредством ядерных реакций в лабораторных условиях. Принципиально они не отличаются друг от друга.
К основным типам радиоактивности относятся α-, β- и γ-распады. Прежде чем характеризовать их более подробно, рассмотрим общий для всех видов радиоактивности закон протекания этих процессов во времени.
Одинаковые ядра претерпевают распад за различные времена, предсказать которые заранее нельзя. Поэтому можно считать, что число ядер, распадающихся за малый промежуток времени dt, пропорционально как числу N имеющихся ядер в этот момент, так и dt:
−dN = λNdt,
dN – убыль числа ядер за время dt (это и есть число распавшихся ядер за промежуток dt), λ – постоянная распада, величина, характерная для каждого радиоактивного препарата.
Интегрирование уравнения (3.4) дает:
,
N0, N(t) – начальное и текущее значение количества радиоактивного нуклида, λ – постоянная распада, представляющая собой вероятность распада в единицу времени.
Соотношение (3.5) называют основным законом радиоактивного распада. Как видно, число N еще не распавшихся ядер убывает со временем экспоненциально.
Интенсивность радиоактивного распада характеризуют числом ядер, распадающихся в единицу времени. Из (3.4) видно, что эта величина | dN / dt | = λN. Ее называют активностью A. Таким образом активность:
.
Активность в расчете на единицу массы радиоактивного препарата называют удельной активностью.
Вернемся к формуле (3.5). Наряду с постоянной λ и активностью A процесс радиоактивного распада характеризуют еще двумя величинами: периодом полураспада T1/2 и средним временем жизни τ ядра.
Период полураспада T1/2 – время, за которое исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшится в двое:
,
Среднее время жизни τ определим следующим образом. Число ядер δN(t), испытавших распад за промежуток времени (t, t + dt), определяется правой частью выражения (3.4): δN(t) = λNdt. Время жизни каждого из этих ядер равно t. Значит сумма времен жизни всех N0 имевшихся первоначально ядер определяется интегрированием выражения tδN(t) по времени от 0 до ∞. Разделив сумму времен жизни всех N0 ядер на N0, мы и найдем среднее время жизни τ рассматриваемого ядра:
.
Остается подставить сюда выражение (3.5) для N(t) и выполнить интегрирование по частям, после чего мы получим:
τ = 1/λ.
Заметим, что τ равно, как следует из (3.5) промежутку времени, за которое первоначальное количество ядер уменьшается в e раз.
Сравнивая (3.8) и (3.9.2), видим, что период полураспада T1/2 и среднее время жизни τ имеют один и тот же порядок и связаны между собой соотношением:
.
Сложный радиоактивный распад может протекать в двух случаях:
Физический смысл этих уравнений состоит в том, что количество ядер 1 убывает за счет их распада, а количество ядер 2 пополняется за счет распада ядер 1 и убывает за счет своего распада. Например, в начальный момент времени t = 0 имеется N01 ядер 1 и N02 ядер 2. С такими начальными условиями решение системы имеет вид:
,
Система (3.13) значительно упрощается, если T1 >> T2 (λ1 −λt и (1 − e −λt ). При этом ввиду особых свойств функции e −λt очень удобно ординаты кривой строить для значений t, соответствующих T, 2T, … и т.д. (см. таблицу 3.1). Соотношение (3.13.3) и рисунок 3.2 показывают, что количество радиоактивного дочернего вещества возрастает с течением времени и при t >> T2 (λ2t >> 1) приближается к своему предельному значению:
.
Из таблицы 3.1 видно, что при t > 10T равенство (3.14) выполняется уже с точностью около 0.1%. Обычно оно записывается в форме:
λ1N1 = λ2N2,
t
e −λt
1 − e −λt
0
1
0
1T
1/2 = 0.5
0.5
2T
(1/2) 2 = 0.25
0.75
3T
(1/2) 3 = 0.125
0.875
.
.
.
10T
(1/2) 10 ≈ 0.001
Для дальнейшего упрощения надо, чтобы начальное количество ядер Rn было равно нулю (N02 = 0 при t = 0). Это достигается специальной постановкой опыта, в котором изучается процесс превращения Ra в Rn. В этом опыте препарат Ra помещается в стеклянную колбочку с трубкой, соединенной с насосом. Во время работы насоса выделяющийся газообразный Rn сразу же откачивается, и концентрация его в колбочке равна нулю. Если в некоторый момент при работающем насосе изолировать колбочку от насоса, то с этого момента, который можно принять за t = 0, количество ядер Rn в колбочке начнет возрастать по закону (3.13.3):
.
Выбирая TRn или
.
Это условие означает, что с некоторого достаточно большого t (t >> TRn) количество распадающихся ядер Rn равно количеству ядер Rn, возникающих при распаде Ra. Например, при t > 40 дней (t > 10TRn) соотношение (3.17) выполняется с точностью 0.1%.
Три величины из четырех, входящих в равенство (3.17) могут быть измерены непосредственно: NRa и NRn – точным взвешиванием, а λRn – по определению периода полураспада Rn, который имеет удобное для измерений значение 3.8 дня. Таким образом, четвертая величина λRa может быть вычислена. Это вычисление дает для периода полураспада радия TRa ≈ 1600 лет, что совпадает с результатами определения TRa методом абсолютного счета испускаемых α-частиц.
Радиоактивность Ra и Rn была выбрана в качестве эталона при сравнении активностей различных радиоактивных веществ. За единицу радиоактивности – 1 Ки – приняли активность 1 г радия или находящегося с ним в равновесии количества радона. Последнее легко может быть найдено из следующих рассуждений.
Известно, что 1 г радия претерпевает в секунду
3.7∙10 10 распадов. Следовательно:
Чтобы найти весовое выражение NRnнадо вычислить количество ядер Rn в 1 г:
Физика атомного ядра. Закон радиоактивного распада.
Математически закон радиоактивного распада выражается формулой:
.
Здесь N0 — число радиоактивных атомов в начальный момент времени t = 0. По этой формуле находят число нераспавшихся атомов N в любой момент времени.
Резерфорд, исследуя превращения радиоактивных веществ, установил опытным путем, что их активность убывает с течением времени (под активностью понимают число ядер, распадающихся в единицу времени). Так, активность радона убывает в два раза уже через одну минуту. Активность урана, тория и радия тоже убывает со временем, но гораздо медленнее. Происходящий со временем спад активности характеризуется периодом полураспада. Период полураспада Т — это время, в течение которого распадается половина наличного числа радиоактивных атомов.
Период полураспада — основная величина, определяющая скорость радиоактивного распада. Для разных веществ эта скорость может отличаться очень существенно. Так, период полураспада урана равен 4,5 млрд лет, радия — 1600 лет, в то же время есть радиоактивные элементы с периодом полураспада в миллионные доли секунды.
Следует отметить, что радиоактивный распад — статистический процесс. Радиоактивные атомы не «стареют». Нельзя сказать, какой именно атом распадется в данный момент времени.
Можно определить лишь среднее время жизнибольшого числа молекул. Закон радиоактивного распада определяет среднее число атомов, распадающихся за определенный интервал времени.
Говорить о законе радиоактивного распада для малого числа атомов не имеет смысла. Этот закон справедлив в среднем для большого количества частиц.
Появление «ручных» сцинтилляционных счетчиков и, главным образом, счётчиков Гейгера–Мюллера, которые помогли автоматизировать подсчёты частиц (см. § 15-е), привело физиков к важному выводу. Любой радиоактивный изотоп характеризуется самопроизвольным ослабеванием радиоактивности, выражающимся в уменьшении количества распадающихся ядер в единицу времени.
Построение графиков активности различных радиоактивных изотопов приводило учёных к одной и той же зависимости, выражающейся показательной функцией (см. график). По горизонтальной оси отложено время наблюдения, а по вертикальной – количество нераспавшихся ядер. Кривизна линий могла быть различной, однако сама функция, которой выражались описываемые графиками зависимости, оставалась одной и той же:
N – количество нераспавшихся ядер N0 – начальное количество ядер t – время наблюдения, с T – период полураспада, с
Эта формула выражает закон радиоактивного распада: количество нераспавшихся с течением времени ядер определяется как произведение начального количества ядер на 2 в степени, равной отношению времени наблюдения к периоду полураспада, взятой с отрицательным знаком.
Как выяснилось в ходе опытов, различные радиоактивные вещества можно охарактеризовать различным периодом полураспада – временем, за которое количество ещё нераспавшихся ядер уменьшается вдвое (см. таблицу).
Йод-129
15 млн лет
Углерод-14
5,7 тыс лет
Йод-131
8 дней
Уран-235
0,7 млрд лет
Йод-135
7 часов
Уран-238
4,5 млрд лет
Период полураспада – общепринятая физическая величина, характеризующая скорость радиоактивного распада. Многочисленные опыты показывают, что даже при очень длительном наблюдении за радиоактивным веществом его период полураспада постоянен, то есть не зависит от числа уже распавшихся атомов. Поэтому закон радиоактивного распада нашёл применение в методе определения возраста археологических и геологических находок.
Метод радиоуглеродного анализа. Углерод – очень распространённый на Земле химический элемент, в состав которого входят стабильные изотопы углерод-12, углерод-13 и радиоактивный изотоп углерод-14, период полураспада которого составляет 5,7 тысяч лет (см. таблицу). Живые организмы, потребляя пищу, накапливают в своих тканях все три изотопа. После прекращения жизни организма поступление углерода прекращается, и с течением времени его содержание убывает естественным путём, за счёт радиоактивного распада. Поскольку распадается только углерод-14, с течением веков и тысячелетий изменяется соотношение изотопов углерода в ископаемых останках живых организмов. Измерив эту «углеродную пропорцию», можно судить о возрасте археологической находки.
Метод радиоуглеродного анализа применим и для геологических пород, а также для ископаемых предметов быта человека, но при условии, что соотношение изотопов в образце не было нарушено за время его существования, например, пожаром или действием сильного источника радиации. Неучёт подобных причин сразу после открытия этого метода приводил к ошибкам на несколько веков и тысячелетий. Сегодня применяются «вековые калибровочные шкалы» для изотопа углерода-14, исходя из его распределения в долгоживущих деревьях (например, в американской тысячелетней секвойе). Их возраст можно подсчитать весьма точно – по годовым кольцам древесины.
Предел применения метода радиоуглеродного анализа в начале XXI века составлял 60 000 лет. Для измерения возраста более древних образцов, например горных пород или метеоритов, используют аналогичный метод, но вместо углерода наблюдают за изотопами урана или других элементов в зависимости от происхождения исследуемого образца.
Проинтегрировав (1) получим закон радиоактивного распада
Активность измеряется в кюри (Ки) и беккерелях (Бк)
1 Ки = 3.7·10 10 распадов/c, 1 Бк = 1 распад/c.
Распад исходного ядра 1 в ядро 2, с последующим его распадом в ядро 3, описывается системой дифференциальных уравнений
Количество ядер 2 достигает максимального значения при .
Если λ2), суммарная активность будет монотонно уменьшаться. Если λ2 >λ1 ( >λ1, при достаточно больших временах вклад второй экспоненты в (7б) становится пренебрежимо мал, по сравнению со вкладом первой и активности второго A2 = λ2N2 и первого изотопов A1 = λ1N1 практически сравняются. В дальнейшем активности как первого так и второго изотопов будут изменяться во времени одинаково.
Поэтому в естественном состоянии все изотопы, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада. В общем случае, когда имеется цепочка распадов 1→2→. n, процесс описывается системой дифференциальных уравнений
Решением системы (10) для активностей с начальными условиями N1(0) = N10; Ni(0) = 0 будет
Штрих означает, что в произведении, которое находится в знаменателе, опускается множитель с i = m.
,
.
,
.
.
,
.
.
.
.
большого числа молекул. Закон радиоактивного распада определяет среднее число атомов, распадающихся за определенный интервал времени.
при 
.
Если λ2 
), суммарная активность будет монотонно уменьшаться. 
>λ1, при достаточно больших временах вклад второй экспоненты в (7б) становится пренебрежимо мал, по сравнению со вкладом первой и активности второго A2 = λ2N2 и первого изотопов A1 = λ1N1 практически сравняются. В дальнейшем активности как первого так и второго изотопов будут изменяться во времени одинаково.