Распределение вероятностей доходности акций

Курс лекций «Основы финансового менеджмента»

5.5. Количественное измерение риска

Средняя арифметическая ожидаемых доходностей ( r i ) инвестиций, взвешенная по вероятности возникновения отдельных значений, называется математическим ожиданием. Условимся называть эту величину средней ожидаемой доходностью :

, (5.5.1)

В статистике количественным измерителем степени разброса значений переменной вокруг ее средней величины (математического ожидания) является показатель дисперсии ( σ 2 ):

(5.5.2)

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим или стандартным отклонением σ :

(5.5.3)

Практическая ценность такого подхода заключается не только (и не столько) в применении статистических формул, а в осознании необходимости многовариантного планирования инвестиционных решений. Любые ожидаемые результаты этих решений могут носить лишь вероятностный характер. От финансиста требуется не только правильно применить формулу расчета доходности инвестиций, но и дать количественную оценку вероятности возникновения конкретного результата. Как минимум, необходимо планировать не менее трех вариантов развития событий : оптимистический, пессимистический и наиболее вероятный. Полная вероятность возникновения всех этих вариантов должна быть равна 1.

Например, оценивая две акции А и Б, инвестор пришел к выводу, что распределение вероятностей их ожидаемой доходности можно представить следующим образом:

Источник

Распределение вероятностей доходности акций

Статья посвящена фундаментальным понятиям теории вероятности, необходимым инвестору для операций с ценными бумагами. В доступной форме дана трактовка вероятности, математического ожидания, среднеквадратичного отклонения и ряда других терминов и явлений в контексте фондового рынка.

СОДЕРЖАНИЕ:

Первыми попытками понять, систематизировать и, в определенной степени, предвидеть поведение случайных величин, человечество обязано банальной теме азартных игр. «Орел или решка», игральные кости и рулетка заставили задуматься над сутью проблемы вначале рискованных игроков, а потом и серьезных ученых-математиков.

1. ВВЕДЕНИЕ. ИЗ ИСТОРИИ ВОПРОСА И ВАЖНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

А.Н. Колмогоров (1903-1987) [3]

Википедия [1] определяет теорию вероятностей, как «раздел математики, изучающий случайные события и случайные величины, их свойства и операции над ними».

Выделенные курсивом сочетания не просто слова, как покажется на первый взгляд, они имеют строгие математические определения.

(далее по тексту при описании случайного события, для краткости, может применяться просто слово «событие»)

Итак, случайное событие – некий исход эксперимента, случайная величина его численное значение. Например, после броска кость (кубик) опустится на одну из шести граней – имеем случайное событие. Число очков каждой грани, от одного до шести – случайная величина, численное выражение случайного события.

2. ВЕРОЯТНОСТЬ

Прежде всего, рассмотрим базовые понятия теории вероятностей (ТВ), без которых углубляться в тему нет смысла.

(далее, по тексту, кроме приведенных в конце статьи источников, автор опирается на книгу Е.С. Вентцеля «Теория вероятностей», издание 1999 г.)

Прежде всего, что такое вероятность.

Общеизвестная формула расчета вероятности дискретного (не непрерывного) события А в системе равновозможных и исключающих друг друга исходов опыта имеет вид:

P(A) – вероятность события А;

n – число случайных (несовместных равновероятных элементарных) событий, приводящих к событию А

N – общее количество всех возможных элементарных событий.

Наглядным примером вновь может послужить все та же игральная кость. Пусть событие А – выпадение нечетного числа очков: А=нечет. Оно формируется тремя элементарными случайными событиями, имеющими величины: 1, 3 и 5. То есть n=3. Общее количество всех элементарных событий N = 6. Имеем P(нечет) = 3/6 = 1/2.

Вероятность определяется дробью от 0 до 1 или в процентах, от 0% до 100%.

Для случая неограниченного числа N или, если необходимо максимально нивелировать такие исходы, как, допустим, застывание монетки на ребре (ни орел, ни решка) после ее подбрасывания, формула 1 обобщается следующим образом:

То есть, предел (lim) отношения n/N при N → ∞

Здесь N – число проводимых наблюдений (экспериментов), смысл n тот же, что и в формуле 1.

Если подходить совсем общо, и рассматривать не дискретные, а непрерывные случайные величины, то вероятность можно понять и вычислить, применяя геометрию.

Предположим, нас интересует вероятность попадания точки в треугольный сегмент g, площадью s(g). В свою очередь, треугольник g входит в овал G, площадью S(G), при этом за пределы G точка выйти не может.

где P(A) – вероятность попадания точки в треугольник g, площадью s(g).

3. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

События в ТВ можно складывать и умножать.

3.1. Сумма событий и сложение вероятностей

Суммой двух случайных событий X и Y называется событие Z = X + Y, заключающееся в наступлении события X или события Y, или обоих событий одновременно.

Вероятность суммы двух несовместных событий (событий, которые не могут произойти совместно, одновременно) равна сумме их вероятностей (теорема сложения вероятностей):

P(X+Y) = P(X)+P(Y) (формула сложения вероятностей)

Если события X₁, X₂, …. X_n образуют полную группу несовместных событий, т.е. при любом исходе случится какое-либо одно из этих событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Простейший пример – подбрасывание монеты. Имеем два несовместных, в данном случае, говорят «противоположных» события, вероятность каждого по ½. Событие X – выпадение орла, событие Y – решка. Событие X+Y состоит в наступлении либо X, либо Y. Это произойдет в любом случае (кроме того, когда монета станет на ребро). Вероятность P(X+Y) = P(X)+P(Y) = 1\2+1\2 = 1.

Примером из фондового рынка может стать цена акции А, разбитая, допустим на три диапазона:

Очевидно, что события X, Y и Z образуют полную группу несовместных событий. Пусть вероятности наступления событий X, Y, Z соответственно равны P(X) = 0,5; P(Y) = 0,2; P(X) = 0,3.

Тогда возможны такие комбинации сумм событий:

X+Y+Z – стоимость лежит во всем ценовом интервале (0;+∞), естественно, вероятность по полной группе событий равна 0,5+0,2+0,3=1

3.2. Произведение событий и вероятностей

Произведение событий X и Y – событие Z = X*Y, состоящее в одновременном (совместном) появлении событий X и Y.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей (теорема произведения вероятностей):

P(X*Y) = P(X)*P(Y) (формула умножения вероятностей)

События считаются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от наступления другого. С другой стороны, события зависимы, если вероятность одного из них зависит от того, случается ли другое событие.

Примеров зависимых событий на финансовых рынках миллионы, они ими пронизаны. Искусство опытного трейдера – разглядеть влияние отдельного факта на тренд конкретной бумаги. Вероятность и степень движения в ту или иную сторону. Инсайдерская информация доступна далеко не всем, впрочем, ее использование преследуется (и весьма жестко) контролирующими органами. Часто вполне достаточно открытых сведений.

Из недавнего можно привести инцидент с катастрофой авиалайнера Боинг-737 Эфиопских авиалиний, происшедшей неподалеку от города Бишофту (Дэбрэ-Зэйт), в воскресное утро10 марта 2019 г. Погибли все: 149 пассажиров и 7 членов экипажа.

Трудно сказать, насколько именно падение конкретного эфиопского самолета могло повысить вероятность обрушения акций американской корпорации The Boeing Company. Но эфиопская трагедия стала № 2 в черном списке модели Boeing 737 Max. В конце октября прошлого года аналогичный Боинг упал в Яванское море после вылета из аэропорта Джакарты. Интервал между катастрофами менее пяти месяцев.

Все это грозит немедленно отразиться на котировках акций The Boeing Company. Отразиться негативно.

С точки зрения механики зависимых событий в теории вероятностей, событие X – падение эфиопского Боинга и событие Y – поведение тренда акций корпорации «Боинг» очень и очень зависимые события. Наступление события X в воскресенье 10-го привело к резкому изменению (росту) вероятности крутого пике акций The Boeing Company (тикер BA) на бирже в понедельник утром.

Торги на NYSE (Нью-Йоркской фондовой бирже) открылись 11 марта просадкой на 12 с лишним процентов относительно закрытия дня пятницы 8 марта:

The Boeing Company входит в корзину S&P500 и промышленного Доу-Джонса (DJIA). Последний из-за Боинга на открытии снижается на 0,7%.

В течение дня отрицательный гэп несколько компенсировался и сессия закрылась, потеряв «только» 5,33% против закрытия 8-го. Во вторник 12.03 падение акций авиагиганта возобновилось.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

(Внимание! Здесь и далее по тексту латинскими буквами X, Y, Z и пр. обозначаются случайные величины (их значения), а не случайные события)

Матожидание обладает следующими простейшими свойствами.

1) МО числа (константы), равно этому числу:

2) МО имеет линейный характер:

где a, b – постоянные коэффициенты.

3) Матожидание сохраняет неравенство:

Матвыражение дисперсии в общем случае имеет вид:

Подобная математическая конструкция столь же красива, сколь и крайне трудна, а часто и бесполезна в практическом применении. В действие вступают различные интерпретации и упрощения формулы 8 для тех или иных случаев.

Например, для дискретной величины X используется следующий вариант:

p_i – вероятность того, что случайная величина X примет значение x_i;

n – число измерений случайной величины.

Для отдельной выборки:

где: – среднее арифметическое случайной величины X:

прочие обозначения раскрыты в пояснении к формуле 9.

Для генеральной совокупности:

Формула 11 отличается от формулы 10 только знаменателем множителя, стоящего перед знаком суммы ∑: 1/n вместо 1/(n-1). Для генеральной совокупности он на единичку больше. При n → ∞ и, даже, просто при сравнительно большом n (не менее нескольких десятков) обе формулы дают почти одинаковые численные результаты.

Поясним несколько моментов.

1) Использование среднего арифметического вполне понятно. Простейшее приближение матожидания случайной величины, о чем уже было упомянуто выше. То есть, выполняет роль M(X). В этом смысле, ≈ M(X).

6. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ (СТАНДАРТНОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ

Размерность дисперсии – квадрат отклонения случайной величины от среднего значения. Что нужно делать для оценки абсолютного значения (модуля) такого отклонения?

Извлечь квадратный корень (возвести в степень ½).

Полученный результат именуется одним из центральных в теории вероятностей и матстатистике терминов – среднеквадратичным (среднеквадратическим) или стандартным отклонением, сокращенно СКО. Общепринятое обозначение для СКО – греческая σ.

Итак, все лаконично и красиво:

Для отдельной выборки:

Для генеральной совокупности:

Квадратный корень берется из всего выражения, стоящего внутри квадратных скобок. Индекс i, по-прежнему, пробегает значение от 1 до n.

Как и дисперсия, СКО данной случайной величины зависит от числа ее измерений n. Чем больше n на выбранном временном периоде, тем более четкую картинку по σ мы получим.

Относительно ценной бумаге СКО – мера ее неопределенности, волатильности. Чем выше СКО по портфелю ЦБ, тем он более рискованный в обе стороны. Для трейдера СКО по финансовому инструменту – индикатор его риска. Возможность много потерять, но и много заработать.

СКО вычисляется десятками специальных приложений в техническом анализе. Самый доступный путь – формулы в Excel: «СТАНДОТКЛОН» и «СТАНДОТКЛОНП». Первая дает СКО по выборке (σ_выб), вторая – по генеральной совокупности (σ_гс).

Пример. Акции Facebook (FB)

Расчет и «примитивный» анализ СКО проведем по динамике акций Facebook (FB) в январе-феврале текущего года.

Тренд бумаги выглядит так [14] :

СКО вычислим для двух периодов: 1 января – 28 февраля 2019 г. (цифра 1 зеленые отрезок и стрелки) и только февраль (цифра 2 и синий цвет).

Кстати, результат можно проверить. Раздел Excel «Статистические функции» содержит инструменты для вычисления дисперсии. Для выборки – функция «ДИСП», для генеральной совокупности – «ДИСПР». Подставив наше 31 значение в ряд аргументов ДИСП, получим D = 135,35 («долларов в квадрате»). √135,35 = 11,63, с учетом округления, все абсолютно точно.

Чтобы утвердиться в своем мнении, посчитаем СКО только для февраля, с 1 по 28 число (19 торговых дней).

Пройдя описанный выше нехитрый алгоритм, имеем:

отношение СКО к средней цене – 3,06/164,81 = 1,85%.

Видим, что относительное СКО февраля в 4 раза меньше относительного СКО января-февраля. В последний зимний месяц акции FB вели себя гораздо менее волатильно.

Причина проста и понятна при самом беглом взгляде на график инструмента. В самом конце января (с 30 на 31 число) акции резким гэпом поднялись вверх (красные стрелки на графике).

Лонгеры (держатели длинных позиций) за сутки увеличили стоимость своих вложений в FB на 10,82% или на 10,82*365 = 3948% годовых! За это и любят фондовый рынок. Где еще есть такие подъемы?

В феврале все проходило гораздо более гладко. По СКО – в 4 раза.

Необходимо отметить, что в «боевой обстановке» СКО обычно рассчитывают на текущую дату (момент). Предположим, на 7 марта 2019 года. Тогда при n = 30, берутся 30 торговых дней, предшествующих 07.03.19, то есть, до 06.03.19 включительно. И былали подсказка по СКО 30 января? Вопрос.

7. ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ

В заключение остановимся на нормальном распределении, тесно связанным со средним значением случайной величины и среднеквадратическим отклонением.

Вначале ознакомимся с функцией плотности вероятности (ФПВ), обозначим ее через f(x). Пусть вероятность того, что непрерывная одномерная величина х на отрезке [a;b] равна P(a,b), тогда, исходя из f(x):

Напомним, что определенный интеграл определяется (простите за тавтологию) следующим образом:

Отрезок [a;b] разбивается на n частей, длиной ∆x_i каждая, внутри i-го промежутка берется x_i. Далее, соответствующее значение функции f(x_i) и умножается на ∆x_i. Получаются площади, таких себе, маленьких прямоугольников, они суммируются в общую площадь. При ∆x_i→0 (тогда, как правило, n→∞) выходим на определенный интеграл.

На рисунке – геометрическая интерпретация определенного интеграла. Вероятность P(a,b) из формулы 17 – площадь S светло серой фигуры.

То есть, полная вероятность равна 1.

Для акций и прочих фининструментов эту геометрию можно интерпретировать так. Площадь S (вероятность P(a,b)) трактуется, как вероятность попадания стоимости ценной бумаги в интервал цен [a;b]. А формула 17 – говорит о том, что на всем множестве изменения цены, с вероятностью = 1, акция будет иметь какую-нибудь стоимость. Конечно, область определения цены инструмента лежит в два раза более узком теоретическом диапазоне (0;+∞).

8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальным распределением (НР) называется распределение вероятностей, задаваемое функцией плотности вероятности, совпадающее с функцией Гаусса [16] :

μ – матожидание (среднее значение) случайной величины х, если μ – среднее арифметическое то, по тексту оно обозначалось, как ;

σ – среднеквадратичное отклонение.

Нормальное распределение также называется распределением Гаусса (гауссовым распределением) или распределением Гаусса-Лапласа.

Если μ=0, а σ=1, то нормальное распределение именуется стандартным НР.

График функции Гаусса (график НР) имеет вид:

Зеленая кривая отвечает стандартному нормальному распределению.

В чем значение нормального распределения (НР)? Почему оно столь важно?

Согласно «центральной предельной теореме (теоремам)» теории вероятностей (ТВ), при увеличении числа измерений (идеально при n→∞) независимых (или, как математики осторожно говорят «слабо взаимозависимых») величин, их распределение стремится к нормальному. Это относится, как к стрельбе в тире, так и к любому природному или экономическому явлению. В том числе и ценовому спектру финансового инструмента.

Иллюстрация «Правила трех сигм» [12]

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

(источник – статьи русскоязычной Википедии или авторский комментарий, если не оговорено иное)

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

ТВ – теория вероятностей
МО – матожидание, математическое ожидание
СКО – среднеквадратичное (среднеквадратическое, стандартное) отклонение, σ
ФПВ – функция плотности вероятности, f(x)
ЦБ – ценная бумага
FB – тикер акций Facebook
НР – нормальное распределение

Источник

Как считать индикаторы инвестиционной привлекательности активов

На примере портфеля Уоррена Баффетта

Практически всегда действует правило: чем выше возможная доходность, тем выше риски.

Но вот в обратную сторону правило работает не всегда, и это обидно: потенциальная доходность по активу так себе, а риск этого актива довольно высокий. Получается, для относительно невысокой доходности приходится рисковать так, будто вкладываешься в высокодоходный актив. В этом случае на помощь инвестору может прийти расчет соотношения «риск-доходность».

В статье я рассмотрю показатели, по которым можно оценить, насколько адекватно у определенного актива соотношение его риска и доходности. Вот какие показатели буду рассматривать:

Но прежде чем разбираться с показателями риска-доходности, нужно разобраться и с основой — с тем, как считаются сами доходность и риск.

Как считается доходность

Доходность — это показатель, характеризующий финансовый результат от инвестирования. Простыми словами, это процент от стоимости актива, который инвестор заработал «сверху». В общем виде доходность от вложения в финансовый актив считается так:

где P_{t + 1} — цена актива сейчас или на момент продажи,
P_t — цена актива на момент покупки,
CF — промежуточный денежный поток, который принес актив за время владения им, — например, выплаченные дивиденды.

(150 − 100 + 3) / 100 = 0,53, или 53%

Для упрощения расчетов из формулы иногда убирают CF — промежуточные денежные потоки в виде дивидендов.

В зависимости от того, за какой период мы рассчитываем доходность, она может быть дневной, месячной, квартальной, годовой или общей.

(115,6 − 27,4) / 27,4 = 3,22, или 322%

Но доходность за все время владения инструментом не так показательна, если мы хотим сравнить активы, которыми владели в течение разных периодов. Например, один актив принес вам 11% за полгода, а второй — 30% за полтора года. Чтобы сравнить эффективность этих инструментов, их доходности нужно привести к общему знаменателю — годовой доходности. Годовая доходность показывает, сколько в среднем приносил актив за год владения им.

Для расчета годовой доходности можно использовать три подхода — в зависимости от того, какими данными владеет инвестор. Если есть сразу все данные, можно использовать любой из способов — результат будет одинаковый.

Если есть информация о доходности за каждый год владения активом, то доходность рассчитывается по следующей формуле:

где r_n — доходность за каждый анализируемый период,
n — количество периодов (лет).

((1 + 20%) × (1 − 10%) × (1 + 30%)) 1/3 − 1 = 11,98%

Кажется, что формула слишком сложная и что можно было бы просто взять доходность за каждый год, сложить и поделить на три — то есть посчитать среднее арифметическое. Но корректнее считать не среднее арифметическое, а среднее геометрическое — что и делает наша формула. И этому есть причина.

Для примера выше среднее арифметическое составило бы 13,33%:

Наше значение, полученное через среднее геометрическое, на 1,35 процентного пункта меньше. Геометрический показатель учитывает, что доходность неравномерна и меняется от года к году, — то есть такая доходность уже учитывает в себе некоторую волатильность.

Другими словами, чем выше волатильность актива, тем ниже будет значение среднего геометрического доходности к среднему арифметическому.

Для примера возьмем акции A и B и предположим, что за 4 года после покупки акции показали одинаковую итоговую доходность. Но на протяжении этих четырех лет вели себя по-разному : акции A росли более плавно, а акции B сильнее проседали и сильнее росли, то есть были более волатильными.

Котировки акций A и B за 4 года

Посчитаем данные для обоих активов: среднее арифметическое и среднее геометрическое, то есть годовую доходность.

Среднее арифметическое: (40% + 7% − 17% + 44%) / 4 = 18,5%.

Среднее геометрическое (годовая доходность): (1 + 40%) × (1 + 7%) × (1 − 17%) × (1 + 44%) 1/4 = 15,8%.

Среднее арифметическое: (−30% + 71% − 17% + 80%) = 26%.

Среднее геометрическое (годовая доходность): (1 − 30%) × (1 + 71%) × (1 − 17%) × (1 + 80%) 1/4 = 15,8%.

Среднее арифметическое актива А больше, чем актива В, — и если бы мы посчитали только среднее арифметическое, то сделали бы ложный вывод, что акции актива B выгоднее. Но ведь мы знаем, что это не так: в результате акции принесли одинаковую прибыль.

Годовая доходность по обеим акциям одинаковая — 15,8%. Но у акций B больше волатильность — и это выражается в разнице между средним арифметическим и средним геометрическим: чем она больше, тем больше волатильность.

В случае с акцией A разница между двумя арифметическим и геометрическим равна 2,8 процентных пункта. А у акции B эта разница составляет 10,4 процентных пункта — при равных доходностях по этой разнице можно сделать вывод, что акции B более волатильны.

Если известна совокупная доходность за весь срок владения, то формула для расчета годовой доходности будет выглядеть так:

(1 + Общая доходность) (365 / Количество дней владения активом) − 1

(1 + 74%) (365 / 715) − 1 = 32,68%

Таким образом, на инвестициях в компанию инвестор заработал 32,68% годовых за рассматриваемый период.

Если известна начальная и конечная стоимость инвестиций, то общую годовую доходность можно вычислить по следующей формуле:

(Конечная стоимость актива / Начальная стоимость актива) (1 / Количество периодов) − 1

((270 × 20 + 2 × 20) / 200 × 20) (1/2) − 1 = 16,62%

Совокупная доходность в данном кейсе составила 36%, а общая годовая доходность — 16,62%.

Как победить выгорание

Как считается риск

Риск — это вероятность частичной или полной потери вложенного капитала. В классической портфельной теории риск вложения определяется как стандартное отклонение его доходности — то есть возможный разброс его фактической доходности вокруг средней доходности.

Предположим, в среднем акция растет на 10% в год, но при этом возможны отклонения на 5% в каждую сторону — то есть она может вырасти как на 15% в год, так и на 5%. Вот эти возможные отклонения нам и нужно рассчитать. Рассчитывается стандартное отклонение по следующей формуле:

где r_n — доходность за n-й период, обычно годовая,
r̄ — среднее арифметическое доходности актива за все время владения,
n — количество периодов: если считаем по годовой доходности, то количество лет.

Например, инвестор владел активом 4 года — он знает доходность за каждый год и теперь хочет рассчитать стандартное отклонение доходности этого актива.

Доходность актива

Чтобы посчитать стандартное отклонение доходности, в первую очередь посчитаем — среднее арифметическое доходности:

(−11,5% + 15,9% + 10% + 7,2%) / 4 = 5,4%

Теперь можем подставить данные в формулу выше:

Стандартное отклонение составило 11,8%. Если допустить, что доходность акции нормально распределена, то по правилу трех сигм инвестор вправе ожидать, что с вероятностью 68,3% (одно стандартное отклонение — 68,3% вероятности) доходность акции в следующем году будет находиться в диапазоне от −6,4% до 17,2% — то есть от (5,4% − 11,8%) до (5,4% + 11,8%).

Правило трех сигм гласит, что практически все значения нормально распределенной случайной величины лежат в диапазоне трех стандартных отклонений от среднего арифметического значения случайной величины. Случайной величиной у нас выступает годовая доходность по акции

Чем сильнее значения фактической доходности отклоняются от ее среднего значения, тем больше стандартное отклонение, а значит, больше риск. Низкое значение стандартного отклонения означает, что годовые доходности лежат вблизи среднего значения и риск от вложения в актив невелик.

Формулу выше используют в случаях, если берутся котировки по акции не за весь период ее существования, а, предположим, за 2—3 года из возможных 10 лет, прошедших с момента первичного размещения акции на фондовом рынке. А если берутся котировки за весь период существования акции, то для расчета стандартного отклонения используется следующая формула — она отличается только знаменателем — берется полное количество периодов:

Анализируем на примере портфеля Баффетта

Для примера возьмем портфель Уоррена Баффетта: я взял те активы, по которым есть данные котировок за период с 2012 по 2020 год. По отчетным данным на 30 сентября 2020 года в портфель Баффетта входило 49 компаний, но лишь по 6 компаниям, составляющим существенную долю портфеля, были данные за нужный период.

Источник