Противоположные стороны четырехугольника попарно равны докажите что он параллелограмм
Признаки параллелограмма
Теорема 1. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике AВDС (рис. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник АВDC — параллелограмм.
Соединим отрезком какие-нибудь две противоположные вершины этого четырёхугольника, например С и В. Четырёхугольник ABDС разбился на два равных треугольника: \(\Delta\)СAВ и \(\Delta\)СDВ. В самом деле, сторона СВ у них общая, AB = СD и АС = ВD по условию. Таким образом, три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, поэтому \(\Delta\)СAВ = \(\Delta\)СDВ.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому
Углы 1-й и 2-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых AB и СD прямой СВ. Следовательно, AB || СD.
Точно так же углы 3-й и 4-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых CA и ВD прямой СВ, следовательно, CA || ВD.
Теорема 2. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике ABDС AB = СD и AB || СD. Докажем, что при этих условиях четырёхугольник ABDС — параллелограмм (рис. 228).
Соединим отрезком СВ вершины С и В. Вследствие параллельности прямых AB и СD углы 1 и 2, как углы внутренние накрест лежащие, равны.
Тогда треугольник СAB равен треугольнику СDВ, так как сторона СВ у них общая,
AB = СD по условию теоремы и ∠1 = ∠2 по доказанному.
Из равенства этих треугольников вытекает равенство углов 3 и 4, так как они лежат против равных сторон в равных треугольниках.
Но углы 3 и 4 — это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых АС и ВD прямой СВ, следовательно, АС || ВD, т. е. четырёхугольник ABDС — параллелограмм.
Теорема 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.
Следовательно, AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB || CD.
Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB = CD и AB || CD, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
Признаки параллелограмма кратко:
1. Противоположные стороны попарно равны
2. Противоположные стороны равны и параллельны
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны
Теорема (3-й признак параллелограмма).
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Дано: ABCD — четырехугольник,
Доказать: ABCD — параллелограмм.
1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA (важно правильно назвать треугольники!)
3) сторона AC- общая
Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по трем сторонам).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
4. ∠CAB и∠ACD — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC.
Так как ∠CAB=∠ACD, то прямые параллельны: AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).
Аналогично, из равенства углов ∠ACB=∠CAD следует параллельность другой пары прямых: AD ∥ BC.
5. Доказали, что в четырехугольнике ABCD
Следовательно, ABCD — параллелограмм (по определению).
Что и требовалось доказать.
Можно не доказывать параллельность прямых AD и BC.
2) AB ∥ CD (по доказанному),
следует, что ABCD — параллелограмм (по 2-му признаку).
6 Comments
Спасибо, какой уже раз ваш сайт выручает.
Спасибо) Очень хороший сайт все по полочкам разложили)
В «Дано» опечатка: не AC=CD, а AB=BC
И я сам ошибся 🙂 AB=CD
Noob, спасибо! К сожалению, опечатки случаются.
Параллелограмм
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Доказательство
2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.
Признаки параллелограмма
Доказательство:
Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АD
ВС.
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
Доказательство:
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, 
по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Доказательство:
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Рассмотрим 
АОD и ВОС: по условию АО = ОС, DО = ОВ, 
АОD и ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.
2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Параллелограмм: свойства и признаки
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Как найти площадь параллелограмма:
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.