Противоположные и обратные числа в чем разница
Взаимно обратные числа
Определение взаимно обратных чисел
С предыдущих уроков математики мы знаем: если прибавить или вычесть из числа нуль — оно не изменится. Точно также, если умножить или разделить число на единицу.
Ноль — нейтральный элемент для сложения и вычитания. При этом числа, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.
Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Поэтому симметричными называют числа, чье произведение дает единицу.
Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.
Обратное число к данному числу — это такое число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.
Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.
Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение двух единиц равно 1, то по определению числа 1 и 1 — взаимно обратные.
Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.
Как найти число, обратное данному числу
Иногда число, обратное данному числу, очевидно. Так бывает с натуральными числами и обыкновенными дробями. В других случаях приходится проводить вычисления. Например, с иррациональными и комплексными числами.
Рассмотрим каждый отдельный случай нахождения числа, обратного данному числу.
Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Число, обратное обыкновенной дроби
Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.
Чтобы это проверить, выполним умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — получим 1. Значит дроби a/b и b/a — взаимно обратные числа.
Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.
Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, обратное данной обыкновенной дроби без каких-либо вычислений.
Число, обратное натуральному числу
Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно записать натуральное число как дробь со знаменателем 1.
Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.
Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Значит n и 1/n — взаимно обратные числа.
Отдельно отметим число, обратное натуральному числу 1. Число, обратное единице, это единица. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.
Найти число, обратное смешанному числу
Напомним, что смешанное число выглядит так: A b/c. Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, а уже после найти число, обратное этой дроби. Как это работает рассмотрим на примере.
Пример
Найти число, обратное смешанному числу 
Сначала выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь:
Число, обратное дроби 65/9, есть дробь 9/65. Поэтому, смешанному числу обратно число 9/65.
Ответ: и 9/65 взаимно обратные числа.
Найти число, обратное десятичной дроби
Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Поэтому найти число, обратное конечной или периодической десятичной дроби, можно через поиск числа, которое обратно обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.
Пример 1
Найти число, которое обратно десятичной дроби 5,128.
Переведем конечную десятичную дробь в обыкновенную:
Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641. Это и есть решение задачи.
Пример 2
Какое число является обратным для периодической десятичной дроби 2,(18)?
Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:
Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, числом, обратным исходной десятичной дроби 2,(18), является дробь 11/24.
Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, которые обратны им, также записывают в виде дробных выражений.
Например, иррациональному числу 
обратно число 
, а иррациональному числу 
обратно число 
Взаимно обратные числа с корнями
Важно запомнить, что вид взаимно обратных чисел может отличаться от a и 1/a. Поэтому нужно быть внимательным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Рассмотрим на примере, как это бывает.
Пример
Вычислим произведение этих чисел:
Так как в ответе мы получили единицу и мы знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, значит эти числа можно назвать взаимно обратными.
Ответ: да, число взаимно обратны.
Взаимно обратные числа со степенями
Допустим, есть число, которое равно какой-то степени числа a. То есть, число a возведено в степень b. Обратным числу ab будет число a-b. Проверим.
Пример
Взаимно обратные числа с логарифмами
У логарифма числа a по основанию b обратное число равно логарифму числа b по основанию a. То есть log b a и log a b — взаимно обратные числа.
Действительно, из свойств логарифма следует, что 
, откуда log b a * log a b = 1.
Пример
Записать число, которое обратно логарифму числа 3 по основанию 
Число, обратное числу 
, выглядит так: 
Ответ:
Найти число, обратное комплексному числу
Сейчас узнаем, как находить число, обратное комплексному числу z.
Пример 1
Найти число, обратное комплексному числу 4 + i.
4 + i = 
Умножим числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + i.
Ответ: 
или 
Действительно, и 
Пример 2
Определить число, обратное комплексному числу 
В этом примере r = 2 и 
, откуда 1/r = 1/2 и 
Следовательно, нужное нам обратное число равно 
Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только что это доказали.
Ответ:
Неравенство с суммой взаимно обратных чисел
В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — давайте ее сформулируем и узнаем ключевое свойство.
Теорема
Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.
Доказательство теоремы:
Нам известно, что среднее арифметическое положительных чисел a и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, то есть,
Если в качестве b мы возьмем число, обратное a, то полученное неравенство будет выглядеть так: 
откуда 
и 
, что и требовалось доказать.
Пример
Вычислить сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,
Противоположные числа
Определение противоположных чисел
В 6 классе каждый школьник должен узнать, какие числа являются противоположными. Сейчас расскажем! Для начала построим координатную прямую.
Координатная ось — это прямая линия, на которой отмечено начало координат, задан единичный отрезок и стрелкой указано положительное направление.
Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль при этом находится в начале отсчета и противоположен сам себе.
Пары противоположных чисел:
Целые числа включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть с отрицательным знаком) и ноль.
Обозначение противоположных чисел
У противоположных чисел есть основные обозначения. Если нам дано число и нужно записать противоположное ему, то для этого нужно использовать знак минус: «-».
Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга знаками.
Примеры противоположных чисел:
Примеры противоположных рациональных чисел:
Свойства противоположных чисел
Перечислим основные свойства противоположных чисел:
Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.
Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля и имеют разные знаки. Исключение: число нуль (0).
Значит, если исходное число со знаком плюс, то противоположное ему будет со знаком минус. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.
Точки координатной прямой, которые соответствуют противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.
То есть, такие числа одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.
Задания для самопроверки
Назовите число, противоположное данному:
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Урок 28 Бесплатно Противоположные числа
Мир вокруг нас разнообразен и противоречив. В раннем детстве родители учили нас, что хорошо, а что плохо, читали нам сказки, где было добро и зло.
Очень часто в жизни мы используем противоположные понятия, может быть даже не замечая того.
Например, большой и маленький, высокий и низкий, правда и ложь, левый и правый, верх и низ и т.п.
Все перечисленные примеры, попарно имеют прямо противоположные лексические значения. В русском языке их называют антонимами.
Давайте разберёмся, что означает слово «противоположный».
Значение слова противоположный в толковом словаре Ожегова означает «расположенный напротив».
В различных науках можно встретить огромное множество противоположностей (противоположных понятий, явлений, процессов).
Является ли математика исключением? Конечно же, нет.
В математике существует не мало противоположностей: деление и умножение, четное число и нечетное число, больше и меньше, кривая и прямая, отрицательное число и положительное число.
Сегодня на уроке мы попробуем разобраться, какие числа называют противоположными, как обозначают противоположные числа, как изображают их на координатной прямой.
Выделим некоторые свойства и правила, характерные для противоположных чисел.
Противоположные числа
Вам уже известно, что положительными называют числа, которые обозначаются со знаком «+» или вообще без знака.
Отрицательными называют числа, которые обозначают со знаком «—».
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Знаки сложения и вычитания были еще у древних египтян в виде иероглифов, похожих на ноги и направленных в разные стороны: при сложении в одну сторону, при вычитании в другую.
В начале ХV века в научных трудах европейских математиков в качестве знаков операции «плюс» и «минус» применяли латинские буквы «Р» и «М» соответственно.
В конце ХV века итальянский математик Лука Пачели вводит символы «\(\mathbf<\tilde
>\)» и «\(\mathbf<\tilde
В 1489 году немецкий математик Иоган Видман в своем научном трактате использует символ «+» и «—» (как minus и mer- от немецкого mehr означает «больше»).
Вместе с осознанием практической значимости отрицательных чисел встал вопрос о способе их обозначения.
В 1484 году Николя Шуке предложил перед отрицательными числами ставить знак, который в то время уже принимали в качестве знака операции вычитания «\(\mathbf<\tilde
В 1489 году были введены символы «+» и минус «—», похожие на современные символы.
Математики перед отрицательными числами стали применять минус, но часть ученых это не одобрило, указав на то, что не стоит вводить путаницу и использовать один и тот же знак для обозначения отрицательного числа и знака математической операции вычитания.
Не согласны они были еще и с тем, что знак отрицания числа можно было перепутать со знаком тире.
Предлагались различные замены знака отрицательного числа «—» на другие. Например, выдвигались идеи изображать в виде уголков или убывающей (возрастающей) луны.
Фаркаш Бойян предложил применять для обозначения знака числа все те же «+» и «—», но с другим начертанием.
Таким образом, использование знаков «+» и «—» как знаков числа и двойное обозначение минуса закрепилось в науке и действует по сегодняшний день.
Давайте разберемся на примере, какие числа называют противоположными.
Пример:
Две маленькие инерционные машинки запустили с одинаковой скоростью по одной прямой.
Обе машинки за равный промежуток времени откатились на 3 м по прямой, но первая машинка откатилась вправо от места запуска, а вторая машинка влево от места запуска.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух машинок.
Вправо откладываем координату первой машинки А (+3)
Влево откладываем координату второй машинки А1 (-3)
Мы можем заметить, что обе машинки проехали равный путь, так как координаты А (+3) и А1 (-3) удалены от точки отсчета на одинаковые расстояния, но по разные стороны от точки О.
Два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее.
Таким образом, можно сказать, что:
Два числа, отличные друг от друга только знаками, называются противоположными числами.
Как вы успели заметить, чтобы обозначить число, противоположное данному, нужно это число записать со знаком минус «-».
+3,5 и -3,5 являются противоположными
-2 и 2 являются противоположными
-0,5 и 0,5 являются противоположными
-2 и +5 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).
6,3 и -6 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства и правила, характерные для противоположных чисел
Таким образом, знак минус «—» показывает противоположность числа.
-(-а) = а
Первый минус, читая запись, заменяют словами «Число, противоположное числу -а…».
-(-b) = b
-(-6,1) = 6,1
-(-4/5) = 4/5
2. Число ноль противоположно самому себе.
3. Для каждого действительного числа есть единственное противоположное число.
Так как для конкретной точки координатной прямой соответствует единственное действительное число.
4. Противоположные числа имеют свойство симметричности, то есть если число а противоположно числу b, то и число b противоположно числу а.
-7 противоположно числу 7
И верно, что 7 противоположно -7
5. Числа, которые используют для счета предметов, называют натуральными числами, множество натуральных чисел обозначают N =
Для чисел противоположных натуральным не стали придумывать определенного названия, но если рассматривать в совокупности все натуральные числа и все противоположные натуральным числа и ноль, то такие числа называют целые числа.
Множество целых чисел обозначается: Z =
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Наглядным примером применения противоположных чисел в жизни является термометр жидкостный (спиртовой), который используется в метрологии.
Подобный термометр возможно применять при высоких и низких температурах, так как рабочим веществом в нем является этиловый спирт (температура замерзания ниже -100\(^\circ\)C).
Подобно вертикальной координатной прямой, на термометр нанесена шкала с делениями.
Задан единичный отрезок (цена деления прибора) и точка отсчета.
За точку отсчета по шкале Цельсия (шкала названа в честь шведского ученого Андерса Цельсия) выбрана температура замерзания воды- это 0\(^\circ\)C.
Все, что ниже, обозначаются отрицательными значениями (низкие температуры).
Отметка 20\(^\circ\)C будет располагаться выше точки отсчета 0\(^\circ\)C, т.к. это положительное температурное значение, означает 20\(^\circ\)C тепла.
А мы знаем, что два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее, значит:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Взаимно обратные числа и их объяснение в математике 6 класса
При сокращении выражений дробного типа ученики иногда сталкиваются с понятием «взаимно обратных чисел». В математике 6 класса эта тема рассматривается подробнее, поскольку количество задач на упрощение тождеств увеличивается по следующим причинам, а именно: доказательства теорем и различных соотношений, выведение формул и выполнение операций вычисления. Специалисты сначала рекомендуют изучить теорию, а затем переходить к практике.
Общие сведения
Одним из правил сокращения выражений или, как называют эту операцию математики, упрощение является работа со взаимно обратными величинами. Чтобы понять суть термина, специалисты рекомендуют разобраться в основном отличии числа от цифры. Это связано с тем, что ученики постоянно путаются в терминологии и заучивают неправильные понятия. Данные действия могут привести к ухудшению понимания самой дисциплины (математики) в целом.
Следует отметить, что математика — точная дисциплина, в которой недопустимы погрешности в определении терминах, формулах и при расчетах. Например, некоторые ученики считают, что величины «3» и «-3» являются взаимнообратными значениями. На самом деле это не так, поскольку у них другое название — противоположные. Эти два термина существенно отличаются.
Взаимно обратные значения
Для понимания темы взаимно обратных величин необходимо рассмотреть определение, которое поможет выяснить, какие из них можно отнести к этому типу. Взаимно обратными называются значения, произведения которых эквивалентно единице. В математической форме запись имеет следующий вид: а * 1/а = 1.
Расшифровывается определение для чайников следующим образом: число обратное числу «а» эквивалентно величине правильной дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель этой величине, т. е. 1/а.
Следует отметить, что обратное число 1 является единица. Это утверждение очень просто доказать. Для этого необходимо по формулировке определения представить взаимообратные величины, т. е. 1 * 1/1 = 1 * 1 = 1. Далее необходимо разобрать пример решения задачи.
Пример задачи
Задание сводится к обыкновенной теореме, в которой нужно вывести формулу суммы обратных величин. В 6 классе на уроке математики можно найти решение этой задачи. Однако не для всех учеников понятен сам процесс выведения соотношения. Решать задачу следует таким образом:
В итоге теорему о сумме обратных выражений можно сформулировать следующим образом: сумму взаимно обратных математических элементов необходимо рассматривать в виде обыкновенной дроби, числитель которой соответствует искомому числу, а знаменатель — квадрат исходного компонента, увеличенного на единицу.
Таким образом, взаимно обратными выражениями называются числовые значения, произведение которых эквивалентно единице.