Простые составные числа 6 класс что такое
Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Простые и составные числа
Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
В) больше двух делителей
Решение:
Число 1 имеет один делитель: 1
Число 7 имеет два делителя: 1, 7
Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Число 13 имеет два делителя: 1, 13
Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Ответ:
А) один делитель- 1
Б) два делителя- 7, 13
В) больше двух делителей- 10, 12, 24
Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
Найдите все делители для составных чисел.
Решение:
Простые: 2, 17, 127
Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.
Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.
Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».
Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.
Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.
После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!
Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.
Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?
Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.
Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.
Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.
На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.
На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Простые и составные числа
Основные определения
Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.
Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.
Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.
Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.
Число 4 — первое наименьшее составное число.
В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.
А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.
Таблица простых чисел до 1000
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 |
67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 |
107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 |
199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 |
257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 |
311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 |
421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 |
541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 |
647 | 653 | 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 |
709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 |
769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 |
887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 |
967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Составные числа – примеры, определение (6 класс, математика)
Простые и составные числа – это нетрудное разделение чисел. Различать простые и составные числа– значит правильно раскладывать числа на множители, находить общий знаменатель у двух дробей и решать пример или задачу. Сегодня подробнее поговорим о том, какие числа называют составными.
Что такое простые числа
Начинать разбираться с вопросом нужно с определения простых чисел. Итак, простым числом называют любое число, которое делиться само на себя и на 1. Наиболее ярким примером, который просто запомнить ученикам, является число 13.
По числу 13 сразу видно, что разделить его можно либо на 13 и получить 1, либо на 1 и получить 13.
Следует понимать, что речь идет именно о делении числа нацело. С остатком: целым или дробным – можно делить практически любые числа.
Для того, чтобы не гадать каждый раз: какое именно число перед вами, можно и нужно пользоваться таблицами простых чисел. В средней школе достаточно таблицы со значениями простых чисел до 100.
В старших классах придется расширить справочную литературу и найти таблицу со значениями простых чисел до 1000.
Что такое составные числа
Нетрудно догадаться, что составных чисел в разы больше, чем простых. Составным числом является число, которое не является простым. Вот и все определение, в этом нет ничего сложного.
Разберемся с тем, почему эта группа чисел называется составными. Разберемся на примере, возьмем уже знакомое нам число 13 и умножим его на другое простое число: 2.
13*2=26 – в результате получилось составное число, которое можно разделить на 1,2,13,26. Это число состоит из двух множителей: 2 и 13. Значит, составными числами называют числа, которые состоят из нескольких простых множителей. Иначе говоря, в состав числа входят 2 и более простых множителя.
По аналогии с простыми числами, составные числа называют сложные. Разделение чисел на простые и сложные запомнить куда проще, чем деление на простые и составные.
Зачем это нужно?
Зачем нужно деление на простые и составные числа в математике? Все просто, это нужно, чтобы упростить разложение на множители. Вместо того, чтобы долго искать на какие числа, собственно, раскладывать большое значение, можно просто воспользоваться таблицей.
А разложение на простые множители в свою очередь помогает в определении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Эти значения нужны для сложения, вычитания и сравнения дробей.
Каким числом является 1?
Само собой, к составным числам 1 так же отнести нельзя, поэтому 1 считается числом вне категорий.
Каким числом является 0?
Ноль в противоположность единицы можно разделить вообще на любое число и получить все тот же ноль. Также ноль не раскладывается на простые множители. Чтобы объяснить этот математический эффект с точки зрения теории, было решено вынести ноль за категории простых и составных чисел.
Что мы узнали?
Мы поговорили о делении чисел на простые и составные числа. Выделили, два особых числа, которые не относятся ни к одной из группу. Также сказали, зачем вообще была введена эта классификация и привели примеры составных чисел.
Простые и составные числа
Всего получено оценок: 138.
Всего получено оценок: 138.
Любое число можно разложить на множители, и количество этих множителей может быть различно. В зависимости от количества множителей, числа делятся на два лагеря: простые и составные. Каждый подвид имеет свои свойства, но главное это возможность легко находить НОД, НОК и работать с дробями с помощью простых и сложных дробей.
Что такое простое и составное число
Простым числом называется число, которое делится только на 1 и на себя. Например, 13 – простое число, делится на 1 и на 13. Сложными или составными называются числа, которые раскладываются на простые множители. Сложные числа легко определить, а для простых составлена специальная таблица.
Большинство простых чисел всегда на слуху, но если у вас не получается разложить на множители большое число, то лучше воспользоваться таблицей простых и составных чисел и делить на каждое число из таблицы поочередно. Это долгий, но надежный способ.
Примеры
Задача 1
Необходимо разложить на множители число 229.
Это задача из разряда ловушек. Такие примеры создаются для того, чтобы все четко запомнили первое правило разложения любого числа: проверить его наличие в таблице простых чисел. Как раз число 229 находится в таблице простых чисел после 200.
Кстати, существуют таблицы для 1000 и 10000 чисел, но для школьных задач 1000 вполне достаточно.
Задача 2
Разложить на простые множители число 669825
Последнее число все еще 5, а значит можно еще раз поделить на 5.
Теперь попробуем поделить на 3:
Попробуем поделить на 7:
$2977:7=425$ (ост.2) – Нацело не делится. Значит нужно пробовать все простые числа поочередно.
$2977:13=229 – а 229$, как мы уже знаем, это простое число. Запишем разложение числа 669825
Задача 3
Выполнить разложение чисел на множители и найти НОД, НОК для двух чисел 745 и 564.
Для начала выполним разложение, а после найдем НОК и НОД. Этот порядок действий проще, потому как первым шагом для нахождения как НОК, так и НОД служи разложение чисел на простые множители.
$745=5*149$ – 149 является простым числом.
$564=2*2*3*47$ – обратите внимание, что в обоих случаях нельзя обойтись без таблицы простых чисел. В уме не получится определить относятся 47 и 229 к простым числам или нет.
НОД для этих чисел не существует. Так как у них нет общих множителей. По той же причине НОК для этих двух чисел будет равняется их произведению.
В 6 классе для закрепления темы решается много похожих задач. Но в дальнейшей программе обучения, когда навык уже будет выработан, числа станут меньше, а задачи практичнее.
Что мы узнали?
Мы дали определение простым и составным числам, поговорили о различиях. Выяснили, для чего нужно это разделение. Поговорили о разложении составных чисел на простые. Решили несколько примеров и узнали, что при разложении больших чисел не обойтись без таблицы простых чисел. А также применили полученные знания для нахождения НОД и НОК.
Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Простых чисел бесконечно много.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Перейдем к формулировке теоремы.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Ответ: 11723 является составным числом.