Простое число в математике что это такое пример

Простые числа — это чудеса деления

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком математическом понятии, как ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

В школе это проходят в 5 или 6 классе, в зависимости от программы обучения.

И интересно, что если спросить школьников, что такое простые числа, то они, скорее всего, ответят правильно.

А вот взрослые задумаются и не факт, что вспомнят точное определение. Так что это статья скорее для них.

Простые числа — это.

Итак, вот как выглядит официальное определение:

Простые числа – это такие числа, которые имеют только два делителя. Один из них – единица, а другое – само число.

Чтобы было более понятно, приведем простой пример. Для чисел 5 и 7 надо найти все возможные делители, чтобы в результате образовалось целое число.

Если вы попробуете решить эту задачку, то получите, что 5 и 7 делятся только на 1 и 5, и 1 и 7 соответственно. Во всех других случаях вы получите дробное число. И это как раз означает, что числа 5 и 7 относятся к простым.

А вот попробуем по той же схеме разобрать числа 6 и 9. В первом случае мы получим, что 6 можно поделить на 1, 2, 3 и 6, а число 9 – на 1, 3 и 9. И это уже противоречит определению простых чисел, значит, 6 и 9 таковыми не являются.

Они называются в математике – СОСТАВНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Список и таблица простых чисел

Некоторые ошибочно полагают, что наименьшее простое число – это единица.

С одной стороны, в этом есть логика, так как 1 делится только на 1. Но это получается одно и то же число (единица), что противоречит определению простых чисел, в котором четко прописано – «делителей должно быть два».

Значит, минимальное простое число – это 2. А первоначальный ряд выглядит следующим образом:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…

При желании можете проверить эти числа на предмет деления. Мы же скажем, что этот ряд на самом деле не окончательный.

Количество простых чисел не ограничено. Или говоря математическим языком, оно стремится к бесконечности.

История простых чисел

Первые упоминания о простых числах относятся к Древнему Египту. В Британском музее хранится папирус, который датируется 2000 годом до нашей эры. И на нем, согласно расшифровке, содержится учебное пособие по арифметике.

В том числе и про деление чисел. Называется этот артефакт – папирус Райнда, по имени его первого владельца.

В этом документе есть таблица, в которой указаны числа, делящиеся на различные знаменатели. Причем они разделены таким образом, что становится понятно – древние египтяне может и не пользовались понятиям «простое число», но хотя бы имели о нем представление.

Ну а первые исследования простых чисел датируются 300 годом до нашей эры. И связаны они с именем знаменитого древнегреческого математика Евклида.

Как и многое другое, он описал простые и составные числа в своем известном произведении «Начала».

В частности, Евклид описал такие вещи, как:

Сейчас расскажем об этих понятиях подробнее.

Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики, которую придумал еще Евклид, гласит:

Любое натуральное число (это что?), которое больше единицы, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Причем их количество не ограничено, а порядок следования неважен.

Если обозначить исходное число буквой N, а простые числа буквами Р1, Р2, Р3 и так далее, то можно записать эту теорему следующим образом:

N = Р1 * Р2 * Р3 * … * РК

Например, возьмем число 100. Его можно разложить на следующие простые числа:

Или более сложный пример – число 23244:

23244 = 149 * 13 * 3 * 2 * 2

Раскладывать на простые числа легко. Можно сперва делить на 2 и 3, а уже в конце автоматически получить более сложные делители.

Ради интереса придумайте любое число и сами найдите его составляющие.

Лемма Евклида

Еще одна теорема, которая имеет прямое отношение к простым числам. Она гласит;

Если некое простое число Р делит произведение чисел X и Y без остатка, то оно может точно так же поделить или X, или Y.

Звучит несколько сложновато, хотя на деле все это просто. Так, возьмем для примера P = 2, X = 6, Y = 9. И тогда получается, что

В нашем примере P делит это произведение без остатка:

А значит наша P может поделить без остатка или X, или Y. Очевидно, что это X:

Y/P = 9/2 = 4,5 (не подходит)

Как быстро и легко определить простые числа

И еще одно понятие, которое связано с простыми числами. Оно названо в честь другого древнегреческого математика Эратосфена Киренского.

Этот человек придумал, как быстро и легко определить простые числа. В частности, он сделал таблицу, в которой были указаны значения до 1000.

Свою таблицу он нарисовал на глиняной дощечке. А после прокалывал те клеточки, на которых были написаны составные числа. В результате получилось нечто вроде решета, отсюда собственно и название метода.

Кстати, пользоваться решетом Эратосфена весьма просто. Например, сделаем таблицу до 50.

После этого из нее надо поочередно вычеркивать числа, которые кратны 2, 3, 5, 7 и 11. В результате получится вот это:

Те числа, которые остались, и есть простые. Можете сравнить этот ряд с тем, который мы давали в начале статьи. Точно таким же способом можно составить абсолютно любой ряд простых чисел = хоть до тысячи, хоть до миллиона и больше.

Вот и все, что мы хотели рассказать о ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ в математике.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Математика весьма хитрая наука, да и простые числа не такие уж и простые, понимание простых и составных чисел привело человечество к тому техническому прогрессу, что окружает нас сейчас.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

Простые и составные числа

Основные определения

Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.

Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.

Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.

Число 4 — первое наименьшее составное число.

В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.

А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.

Таблица простых чисел до 1000

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Источник

Простое число

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Содержание

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина.

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Бесконечность множества простых чисел

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n.

Теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое , растёт как .

Наибольшее известное простое

Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является . Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M_43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила [2] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида

Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

С использованием теста Бриллхарта-Лемера-Селфриджа (англ.) может быть проверена простота следующих чисел:

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределенных вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 15905. [6] Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Открытые вопросы

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе [7] :

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Приложения

Большие простые числа (порядка ) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ вихрь Мерсенна).

Источник

Простые числа – это натуральные числа, их можно разделить только на два значения: единицу и себя. К натуральным относят те, которые используются во время счета, поэтому должно выполняться требование, чтобы они были положительными и целыми. Делители также не должны быть отрицательными и дробными.

Они широко применяются в криптографии, когда необходимо закодировать важную информацию от посторонних глаз. Шифрование касается каждого человека, так как используется в создании электронной почты, банковских карт. Даже мобильная связь защищается кодами.

Кроме того, используются на системах, защищающих транспортные средства от угонщиков, создают преграду для атак вирусов и взломов компьютерных сайтов. При попытке продолжить разложение простых чисел или определить закономерность появления, возникают новые способы математических расчетов.

Математика предлагает начинать знакомиться с данными понятиями в средней школе, в 5 или в 6 классе.

Проверка на принадлежность к определенному множеству достаточно простая:

Простые числа можно делить только на 1 и на такое же число. Например 3 и 7 — простые числа, 3 делится на 1 и на 3, 7 делится на 1 и на 7.

Составные числа можно делить не только на себя и единицу. При этом не должно получаться остатка. Они делятся на одно или несколько значений. Например, 8 и 6 относят к составным. Восьмерка делится на 1, 2, 4, 8; шестерка – на 1, 2, 3 и 6.

Определение простых чисел позволяет исключить из их ряда единицу. Она характеризуется наличием только одного делителя, не являющегося отрицательным значением. Получить ее можно, используя только один способ, умножив саму на себя.

Простые двузначные числа определяются по внешнему виду:

Если оканчиваются четной цифрой, то точно являются составными. То же касается и значений, имеющих больше двух знаков.

Если на конце находится цифра 5, то она входит в число делителей.

Такие простые способы помогают легко классифицировать многозначные показатели.

Некоторые двузначные вводят в заблуждение с первого взгляда, если оканчиваются на единицу. Кажется, что разложить на множители их невозможно. Но есть исключения, например: 21, 81. Чем дальше, тем больше отклонений от этой закономерности.

Последовательность простых чисел

Есть целые алгоритмы, помогающие получать новое, ранее неизвестное значение.

Существуют таблицы, в которых собраны найденные числа, имеющие не больше двух делителей, например, до 200, 1000 или больше.

Последовательность можно продолжать бесконечно, начинается она так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.

Наименьшее и наибольшее простое число

Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель.

Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.

Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу.

При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.

В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 2 82 589 933

Множество простых чисел

Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами.

Для изучаемых объектов к ним относятся:

принадлежность к натуральным;

наличие максимум двух делителей.

Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему.

Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее.

По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным.

В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.

Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.

Некоторые свойства простых чисел

Выделяют свойства, объединенные в теоремы, постулаты. Многие являются основой математических правил, используемых в настоящее время.

Изучением занимается теория чисел, при использовании формул простые числа обозначаются буквой n.

Известны следующие правила:

Если рассматривать два простых числа (n), одно из которых делится на другое, то можно утверждать, что они равны.

Все являются нечетными, за исключением двойки.

Можно выделить пары, разница между которым равна 2. При их сложении получается значение, кратное трем. Их так и называют парными или близнецами. Исключение составляют две первые цифры в ряду, 3 и 5, так как сумму, полученную при их сложении, нельзя разделить на 3.

Для каждого натурального значения (N), большего единицы, существует n, превышающее его. При этом удвоенное натуральное будет больше n.

Если одно из двух N делится на n, то их произведение также будет делиться на него.

Любое N, за исключением единицы, можно отнести к n или представить в виде их произведения.

Если взять составное число и разложить его на множители n, то среди них окажется один, квадрат которого будет меньше первоначального составного.

Некоторые n имеют пары, которые можно найти, перевернув n наоборот. Например, 13 и 31, 37 и 73. То же самое касается трехзначных n: 107 и 701, 709 и 907.

Если N возвести в степень, представленную n, а затем вычесть N, то полученное значение будет делиться на используемое n. Это правило представляет собой малую теорему Ферма.

Действия с простыми числами

Можно использовать разные арифметические действия, складывать, умножать, вычитать, делить. Простые числа могут являться основанием и показателем степени.

Извлечь корень из них невозможно.

Таблица простых чисел до 1000

Таблица простых числе до 10000

Источник

• ← Простое число большее 1000 поделили на 6 чему может быть равен остаток
• Простое число в математике что это такое простыми словами →