Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике что это такое

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Запомнить соотношения, связывающие пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, помогает цветовая ассоциация.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Свойства прямоугольного треугольника:

1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Например, в треугольнике ABC AF — высота, проведенная к гипотенузе BC, BF — проекция катета AB на гипотенузу, FC — проекция катета AC на гипотенузу.

Если выделить каждую пару — катет и его проекция на гипотенузу — одним цветом, запомнить пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно быстро и легко.

Как бы ни был расположен на чертеже прямоугольный треугольник, цветовая ассоциация поможет найти пропорциональные отрезки и правильно составить связывающие их соотношения:

Выделить пропорциональные отрезки цветами можно на черновике. При решении задачи, в которой прямоугольный треугольник — только один из элементов чертежа, достаточно для нахождения связи между пропорциональными отрезками на черновике изобразить отдельный фрагмент с этим треугольником.

Источник

Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

Признак подобия прямоугольных треугольников

Признак подобия треугольников с прямым углом является частным случаем первого признака подобия треугольников, который предполагает следующее: при соответствии двух углов одного треугольника двум углам другого такие треугольники являются подобными.

Формулировка для треугольников с углами в 90°: подобие прямоугольных треугольников имеет место, когда острый угол одного треугольника является равным острому углу другого.

Рассмотрим наглядно на схеме:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике — отношение

Средним пропорциональным двух величин a и b называется число c при условии, что квадрат c равен произведению a и b, то есть c 2 =ab.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и проведенной к ней высоте h. Высота делит гипотенузу на два отрезка: a_c и b_c, именуемые проекциями катетов на гипотенузу.

Среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией на нее – это каждый катет прямоугольного треугольника, то есть:

Доказательство

Пусть в ΔABC ∠C=90°, ∠A=α, CH – высота.

1. Сначала докажем, подобие ΔABC и ΔCBH.

Поскольку CH – высота, то ∠CHB равен 90°.

∠B=90°−α – это общий угол рассматриваемых треугольников ABC и CBH.

Следовательно, в ΔABC и ΔCBH:

∠B – общий и равен 90°−α

Отсюда следует, что ΔABC∼ΔCBH.

2. Теперь докажем, что ΔABC∼ΔACH.

∠ACB=∠AHC=90°, т.к. СН – высота ΔABC.

∠A – общий и равен α.

∠ACH=90−α, а значит, равен ∠AВC.

3. Сделаем на схеме дополнительные обозначения проекций катетов:

4. Применим доказанное подобие ΔABC и ΔCBH и запишем пропорции сторон:

В переводе с математического языка это означает следующее: отношение противолежащих прямому углу сторон, ровняется отношению сторон, расположенных напротив угла α. Из данного соотношения получается:

5. Воспользуемся тем, что ΔABC∼ΔACH. Запишем пропорции сторон:

Это значит, что отношение сторон, противолежащих прямому углу равно отношению сторон, лежащих напротив α. Выведем из пропорции следующее уравнение:

Полученные равенства (1) и (2) доказывают теорему.

Средним пропорциональным между проекциями катетов является высота, опущенная на гипотенузу из вершины угла в 90°, то есть при умножении отрезков ac и bc получается величина, равная квадрату высоты:

Доказательство:

Поскольку ранее мы доказали подобия треугольников ΔABC∼ΔCBH и ΔABC∼ΔACH, то ΔCBH∼ΔACH. Используем этот факт для доказательства второй теоремы. Запишем пропорцию:

Она значит, что отношение сторон, противолежащих углу (90°−α), равно соотношению сторон, противолежащих углу α.

Выведем отсюда значение h:

Гипотенуза разделена высотой на отрезки, соотношение которых равно отношению квадратов катетов. В виде формулы это свойство выглядит так:

Альтернативное доказательство теоремы Пифагора

Сформулированные и доказанные теоремы позволяют привести альтернативу традиционному доказательству пифагоровой теоремы:

\(\left.\beginb^2=b_c\times c\\a^2=a_c\times c\end\right\>\Rightarrow a^2+b^2=a_c\times c+b_c\times c=c\left(a_c+b_c\right)=c\times c=c^2\)

Примеры решения задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Задача 1

В ΔABC: ∠С=90°, СН – высота, отрезок АН=9 см, отрезок АН=16 см. Вычислите длину катетов и высоты треугольника ABC.

Ответ: сторона ВС=20 см, сторона АС=15 см, высота СН=12 см.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC сторона АС равна 8 см, сторона AB равна 10 см. Вычислить длину высоты CD.

Решение

1. Так как треугольники АВС и АСD подобны, можно составить пропорции сторон:

2. Найдем длину катета ВС:

3. Далее подставим полученную величину в соотношение, записанное в первом пункте:

Теперь выведем отсюда уравнение с неизвестным CD:

Источник

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Вы будете перенаправлены на Автор24

Признак подобия прямоугольных треугольников

Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.

Признак подобия прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).

Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники

Доказательство.

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

\[\angle A=<90>^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=<90>^0-\angle ACD=\angle A\]

Готовые работы на аналогичную тему

Среднее пропорциональное

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

Примеры задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Решение.

Изобразим условие на рисунке:

По теореме 4, с одной стороны, получим

А с другой стороны, получим

\[\frac<4><9>BD+BD=39\] \[13BD=39\cdot 9\] \[BD=27\] \[\ AD=12\]

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2021

Источник

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике что это такое

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке познакомимся с понятием «среднее геометрическое» или «среднее пропорциональное» для отрезков, выведем формулы для вычисления высоты и катетов прямоугольного треугольника через понятие среднее пропорциональное, рассмотрим задачу на применение формул.

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

∆АВС – прямоугольный треугольник,

СD – высота, проведенная из вершины С к гипотенузе АВ.

1)Рассмотрим треугольники АВС и АСD.

∠АСВ = ∠АDС = 90°, отсюда следует, что треугольники АВС и АСD подобны по первому признаку подобия треугольников, т.е. по двум равным углам.

2)Рассмотрим треугольники АВС и СВD.

∠АСВ = ∠ВDС = 90°, то треугольники АВС и СВD тоже подобны по первому признаку подобия треугольников. А раз так, то ∠А = ∠ВСD.

3)Рассмотрим треугольники АСD и СВD.

Так как ∠АDС = ∠СDВ = 90° и ∠А = ∠ВСD, то треугольники АСD и СВD подобны по первому признаку подобия треугольников.

Что и требовалось доказать.

В геометрии в формулировках ряда утверждений и при решении отдельных задач используется понятие «среднее пропорциональное отрезков» или «среднее геометрическое».

Отрезок ХУ называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD, если выполняется равенство:

Исходя из доказанной выше задачи, можно выделить два утверждения.

1.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Для вывода данного утверждения воспользуемся доказанным, а именно, что:

Применяя основное свойство пропорции, получим

2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Также по выше доказанному в задаче:

Решим задачу, применяя данные утверждения.

Найдите катеты прямоугольного треугольника АВС, если АD = 24 см, ВD = 6 см.

Найдем гипотенузу данного прямоугольного треугольника:

Теперь воспользуемся равенством второго утверждения:

Для вычисления второго катета воспользуемся теоремой Пифагора:

или равенством все того же второго утверждения:

Источник