Прологарифмировать уравнение что значит

Метод логарифмирования

Один из методов решения уравнений – это метод логарифмирования. Сейчас мы детально разберем его с теоретической и практической стороны. Сначала покажем, когда применяется метод логарифмирования. Дальше дадим суть метода логарифмирования. После этого перейдем к теоретическому обоснованию. Затем запишем алгоритм решения уравнений методом логарифмирования. Наконец, рассмотрим примеры применения метода при решении уравнений.

Когда применяется

Метод логарифмирования обычно применяется для решения уравнений, логарифмирование обеих частей которых позволяет избавиться от переменной в показателях степеней. Если привязываться к внешнему виду, то такими, в основном, являются:

Суть метода логарифмирования

Суть метода логарифмирования состоит в логарифмировании обеих частей уравнения по одному и тому же основанию.

Это объясняет название метода.

Обоснование метода

В основе метода логарифмирования лежит следующая теорема:

Алгоритм решения уравнений методом логарифмирования

Информация из предыдущих пунктов позволяет записать алгоритм решения уравнений методом логарифмирования.

Чтобы решить уравнение методом логарифмирования, надо

Примеры применения

Осталось посмотреть, как метод логарифмирования применяется на практике. Для этого обратимся к конкретным примерам.

Решите уравнение методом логарифмирования.

Заданное уравнение представляет собой равенство двух степеней с положительными и отличными от единицы основаниями. Такие степени принимают только положительные значения, что следует из определения степени. Все это открывает дорогу для решения заданного уравнения методом логарифмирования.

Итак, все свелось к решению уравнения . Виден общий множитель , который стоит вынести за скобки. Также не помешает избавиться от дроби. Это подталкивает начинать решение по методу решения уравнений через преобразования:

Все проделанные преобразования являются равносильными преобразованиями, поэтому, полученное уравнение равносильно уравнению, которое было до проведения этих преобразований. Полученное уравнение , очевидно, можно решить методом разложения на множители:

Остается сослаться на равносильность уравнения уравнению , которое в свою очередь равносильно исходному уравнению , и записать найденные корни в ответ.

При решении следующего уравнения покажем, как правильно проводить логарифмирование по основанию с переменной.

Источник

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

и его решения подставить в систему неравенств

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Источник

Логарифмирование обеих частей уравнения.

Методы решения логарифмических уравнений

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма, называют логарифмическим.

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них.

И это решение состоит из двух равноценных частей:

1) нахождение области допустимых значений (ОДЗ),

2) решение самого уравнения.

Простейшие логарифмические уравнения

Уравнения вида log_а f(х) = log_а g(х)

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве

-В уравнении log₃х = 2log₃(3х-1) убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент.

— В примере log₃х+log₃(х+1) = log₃(3+х) тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так: log_а(. ) = log_а(. )

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: способ 1. В область допустимых значений (ОДЗ) входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Видим логарифмы по одному и тому же основанию равны, значит, равны и логарифмируемые выражения.

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: 7. ОДЗ можно было не решать, а просто записать. В конце каждый корень подставить в ОДЗ. Если с каждым неравенством ОДЗ получится верное числовое неравенство, то он идет в

Решение: способ 2. Если это уравнение решим путем равносильных переходов, то ОДЗ нашли бы без всяких квадратных неравенств и пересечений. Итак

Решение. Решим методом равносильных переходов. Тогда уравнение равносильно системе

Итак уравнения такого вида решили 2-мя способами: 1)отдельно найдя ОДЗ и отдельно решив само уравнение; 2)используя равносильные переходы. Какой способ вам по душе?

1) Применение определения логарифма

2)Представление числа в виде логарифма: b = log_a a b

Решение уравнений применением определения логарифма

Решение уравнения
основано на применении определения логарифма и в решении равносильного уравнения

Для уравнений log_a f (x) = b записывать область определения не нужно (f (x) >0), потому что она будет выполняться автоматически. Так как в какую бы степень мы бы не возводили положительное число а, на выходе мы все равно получим положительное число, т.е. если а > 0, то a b > 0 всегда => f (x) = a b > 0.

Пример 1. Решите уравнение log₅(x – 2) = 1

Решение: Переменная х встречается лишь в одном log и стоит в его аргументе, значит находить ОДЗ не надо. log₅(x – 2) = 1; x – 2 = 5 1 ; x – 2 = 5; x = 7. Ответ: 7.

Пример 2. Решите уравнение: log_0,5 (3x − 1)=-3.

Все десятичные дроби переводите в обыкновенные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

Решение: Это простое логарифмическое уравнение, поэтому можно не найти ОДЗ. Первый шаг- дробь справа представим в виде логарифма. Получим:

Учитывая, что 16 1/4 = (2 4 ) 1/4 = 2

избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение: где надо будет учесть ОДЗ.

, решим равносильным переходом к системе:

Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Ответ: 9.

Уравнения, решаемые применением свойств логарифмов

Схема решения не простых логарифмических уравнений

1. Привести уравнение с помощью свойств логарифмов к виду:

2. Решить равносильное уравнение

f(x) = a b или f(x) = g(x) по их алгоритму.

Пример 1. Решите уравнение .

Если lg(x – 1) переведем в правую часть уравнения, то получим уравнение вида log_а f(х) = log_а g(х).

Если неравенства неудобные, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы

Пример 2. Решите уравнение lg(3x-11)+lg(x-27)=3.

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то, прежде всего, следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода , и

Уравнения, решаемые введением новой переменной

Если, в уравнение неоднократно, встречается некоторое определенное выражение, то оно решается введением новой переменной

Пример 1. Решите уравнение .

ОДЗ: x > 0. Введем новую переменную тогда получим квадратное уравнение:

Пример 2. Решите уравнение .

Оба корня удовлетворяют ОДЗ нашего уравнения.

Пример 3. Решите уравнение 4 log₂₅5x + log 2 ₅x – 5 = 0; ОДЗ: x > 0.

Тут 2 основания, выполним переход к основанию 5, используя формулу

2 log₅5x + log 2 ₅x – 5 = 0; Применим формулу log_axy = log_ax + log_ay

Пусть log₅x = t, тогда 2(1 + t) + t 2 – 5 = 0;

t = – 3 или t = 1; Обратно переходим на обозначение log₅x = t:

x = 1/125. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: 5 и 1/125.

Уравнения, содержащие неизвестное и в основании и в аргументе.

Уравнения вида log _f(x)g(x) = b

Уравнение log _f(x)g(x) = b похоже простейшему уравнению log_a f (x) = b Сходство: в обеих уравнениях в левой части log, в правой число b. Отличие в том, что в первой переменная х присутствует не только внутри аргумента, но и в основании логарифма.

Но мы должны учесть определенные требования. 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0: 2) основание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1

1) Применение определения логарифма

2)Представление числа в виде логарифма

Пример 1. Решить уравнение: log _{x – 1}(x 2 – 5x + 10) = 2.

Решение: ОДЗ: x 2 – 5x + 10 > 0, x – 1 > 0, x – 1 ≠ 1.

Проверим принадлежность х = 3 ОДЗ: 3 2 – 5*3 + 10 > 0 верно, 3 – 1 > 0 верно 3 – 1 ≠ 1 верно

Пример 2. Решите уравнение log _х+1(2x 2 +1)=2 Решение: Решим методом равносильных переходов. Заменяем 2 на 2=2*1=2* log _{х + 1}(х+1)= log _{х + 1}(х+1) 2 тогда получим: log _х+1(2x 2 +1)= log _х+1(x+1) 2

Наше уравнение содержит неизвестное и в основании и в аргументе. Поэтому 1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0. 2) основание должно быть не только больше 0, но и ≠ 1. В итоге получим систему:

Уравнения вида log _h(x)f(x) = log _h(x)g(x)

Логарифмирование обеих частей уравнения.

Дата добавления: 2020-11-29 ; просмотров: 709 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник