Проекция вектора что это

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

рис. 1

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через

Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:

Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).

Главные выводы:

Пример №1

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности

Решение

Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Модуль вектора находим аналогично:

Ответ:

Пример №2

Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:

Ответ:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Физика

Тестирование онлайн

Вектор

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Проекция вектора

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: s_x=x-x₀, на ось ОУ: s_y=y-y₀.

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?

Источник