Признаки делимости что это

Признаки делимости чисел

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Источник

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 18 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.

Любое натуральное число можно разложить на простые множители.

Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.

последняя цифра числа четная;

сумма цифр числа делится на 3;

число заканчивается на 0 или на 5;

сумма цифр числа делится на 9;

последняя цифра числа равна 0;

суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.

Источник

Признаки делимости что это

Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Рейтинг: 3.5/5 (Всего оценок: 206)

Источник

Какие признаки делимости чисел существуют

Признаки делимости чисел в математике — объяснение

Признаки делимости чисел — это условия, правила, по которым можно определить, делится ли число на заданное нам значение, т.е. кратно ли число делителю.

Делителем является число, на которое делится заданное число без остатка — нацело.

Термин «кратно» — синоним слову «делится».

Правила с доказательствами, определение

Любое натуральное число, которое оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, нужно отбросить нуль.

Если запись натурального числа заканчивается нулем, то число делится на 10 нацело.

Если запись натурального числа заканчивается любой другой цифрой, то число не делится нацело на 10.

Но 378 не делится без остатка на 10, потому что получим неполное частное: 378 : 10 = 37 (остаток 8 ).

На конце числа 378 стоит цифра 8 — она и будет остатком при делении на 10. Значит, 378 не делится нацело на 10.

Применение признака позволяет не производить расчеты, а сразу отвечать на вопрос, делится ли заданное число на десять.

Тогда число 5 является делителем числа 20, т. е. 20 делится на пять нацело, без остатка.

Тогда число 5 является делителем числа 15, т. е. 15 делится на 5 нацело.

В разрядах единиц 20 и 15 стоят 0 и 5 соответственно.

Разряд — это место цифры в числе.

Если запись натурального числа заканчивается цифрами 0 или 5, то такое число делится нацело на 5.

Можно перефразировать признак:

Если в разряде единиц заданного числа стоит 0 или 5, то число делится на 5.

Если запись натурального числа заканчивается цифрой, отличной от нуля и пяти, то число на 5 нацело не делится.

Числа 645 и 760 делятся на 5, так как они заканчиваются 5 и 0 соответственно.

344 не делится нацело на 5 по признаку делимости:

Если число делится нацело на 2, то его называют четным. Если число не делится нацело на 2, то его называют нечетным.

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 — четные, а 1, 3, 5, 7, 9 — нечетные. Тогда любое число будет четным, если в разряде единиц у него стоит четная цифра, а нечетным — в разряде единиц стоит нечетная цифра.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то число делится на 2 нацело.

Если натуральное число оканчивается нечетной цифрой, то не делится нацело на 2.

Числа 14 и 56 делятся нацело на 2, так как они заканчиваются четными цифрами — 4 и 6.

Число 13 не делится нацело на 2, так как запись натурального числа заканчивается нечетной цифрой 3.

Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Рассмотрим, делится ли 98 на 9.

Сумма цифр числа: 9+8=17.

17 не делится нацело на 9, тогда число 98 не делится нацело на 9.

Проверяем: 98 : 9 = 10 (остаток 8 ).

18 делится нацело на 9, значит, 468 делится нацело на 9:

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на три.

Число 27 делится нацело на 3, так как сумма цифр делится на 3 нацело.

И, соответственно, 27:3=9.

Число 261 делится на 3 по признаку делимости:

Девять делится на 3 нацело, значит, число 261 делится на 3 нацело.

Дополнительные признаки делимости:

Натуральное число делится на 4 нацело в том случае, когда запись числа заканчивается двумя нулями или две последние цифры делятся на 4.

Например, по этому признаку число 144 делится на 4, так как 44 — две последние цифры — делится нацело на 4.

Натуральное число делится на 6 нацело тогда, когда число делится нацело и на 2, и на 3.

Значит, признак делимости на 6 включает в себя применения признака делимости на два и признака делимости на три.

Например, число 438 делится на 6 нацело.

Используя признак делимости на 6, поочередно применяем признаки делимости на 2 и 3.

Если число заканчивается четной цифрой, то оно делится на 2: число 438 заканчивается четной цифрой 8.

Значит, число делится и на 2, и на 3. Тогда 438 делится на 6 нацело.

Натуральное число делится на 8 нацело, если запись числа заканчивается тремя нулями либо если три последние цифры образуют число, которое делится на 8.

Например, 58000 делится на 8 по признаку делимости, так как число заканчивается тремя нулями.

Остальные признаки делимости можно вывести самостоятельно.

Где применяется в жизни

В жизни признаки делимости удобно применять тогда, когда под рукой нет гаджетов. И процесс определения делимости чисел значительно упрощается. При этом не нужно даже высчитывать результат непосредственного деления, если в задаче необходимо просто определить, делится ли одно число на другое.

Области применения признаков делимости:

Примеры решения задач

Назовите 3 числа, которые делятся на 2.

Вспоминаем признак делимости на 2:

Если число заканчивается четной цифрой, то оно делится на 2.

Тогда искомыми числами могут быть, например: 456, 768, 800.

Цифры 6, 8, 0 — четные: значит, числа 456, 768, 800 делятся на 2.

Какие из чисел 234, 450, 400, 3400, 35, 900, 235 000 делятся на 100?

Мы знаем признак делимости на 10:

Если число заканчивается 0, то число делится на 10.

Когда нужно определить, делится ли число на 100, действуем аналогично признаку делимости на 10. Только в этом случае нужно искать те числа, которые заканчиваются двумя нулями.

Тогда в ответе будут числа: 400, 3400, 900, 235 000.

Аналогично действуем тогда, когда нужно найти числа, которые делятся на 1000, 1000 и так далее. Ищем числа по количеству нулей после единицы в делителе.

Какие из чисел 100, 35, 450, 5680, 20 делятся и на 5, и на 10.

Число делится на 5, если заканчивается 0 или 5.

Число делится на 10, если заканчивается 0.

Тогда, чтобы число делилось и на 5, и на 10, нужно найти в признаках что-то общее. Общим будет окончание чисел на 0.

По признакам делимости на 5, и на 10 получаем в ответе числа: 100, 450, 5680 и 20.

Найдите три числа, которые делятся на 2 и на 9.

Чтобы число делилось и на 2, и на 9, должны выполняться условия обоих признаков.

Число делится на 2 тогда, когда оканчивается четной цифрой. Четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8.

Число делится на 9 тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

Тогда искомыми числами могут быть: 18, 396 и 468.

В разряде единиц в 18, 396 и 468 стоят 8, 6 и 8 соответственно — четные цифры, значит числа 18, 396 и 468 делятся на 2.

Осталось проверить, делятся ли они на 9. Считаем сумму цифр в числах.

Значит, числа 18, 396 и 468 делятся на 9.

Числа удовлетворяют условиям.

Ответ: 18, 396 и 468.

Какие из чисел 456, 567, 3453, 768 и 34500 кратны 3?

Слово «кратно» является синонимом «делится». Тогда нужно найти числа, которые делятся на 3.

По признаку делимости искомыми будут числа, сумма цифр которых делится на три нацело.

Выбираем те числа, сумма которых делится на 3:

456, так как сумма цифр равна 15, а 15 делится на 3 нацело;

567, потому что сумма цифр равна 18, а 18 делится на 3 нацело;

3453 — сумма цифр равна 18, значит, число делится на 3;

768 — сумма цифр равна 21, значит, число делится на 3.

Источник