Пример функции естественная область определения которой меньше чем вся числовая ось х
Область определения функции
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие области определения функции
Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.
Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.
Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).
Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.
Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.
Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.
Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].
Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.
Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:
Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:
Все положительные числа можно описать так:
Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.
Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
Область определения постоянной функции
Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.
Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.
Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.
Область определения функции с корнем
Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.
Рассмотрим две вариации такой функции.
Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:
Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).
Пример
Найти область определения функции: 
Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положительный. Ищем корни:
Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).
Область определения степенной функции
Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.
Перечислим возможные случаи:
Рассмотрим несколько примеров.
Область определения показательной функции
Область определения показательной функции — это множество R.
Примеры показательных функций:
Область определения каждой из них (−∞, +∞).
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.
Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:
Рассмотрим примеры логарифмических функций:
Область определения этих функций есть множество (0, +∞).
Пример
Укажите, какова область определения функции: 
Составим и решим систему:
Область определения тригонометрических функций
Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.
Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что 
и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.
Пример
Найдите область определения функции f(x) = tg2x.
Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:
Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:
В результате 
. Отразим графически:
Ответ: область определения: 
.
Область определения обратных тригонометрических функций
Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.
Таблица областей определения функций
Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.
И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.
Функция
Область определения функции
Область определения функции. Примеры.
Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными. Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)
В элементарном понятии функции фигурируют две величины. Независимая переменная (аргумент) x и зависимая переменная (функция) y.
Все допустимые (разрешённые) значения аргумента x и есть область определения функции. И всё.
Достаточно разобраться в этой нехитрой фразе, как всё сразу становится на свои места.
Что такое «допустимые значения»? Говоря по-простому, это те значения икса, для которых можно посчитать игрек. В принципе. Например, дана функция:
Разумеется, функция может быть такой замороченной, что и не посчитаешь ничего, да. Это не страшно. Нам ведь не считать надо, а область определения найти). Чуть ниже мы научимся легко и элегантно расправляться с любыми функциями. Даже самыми злыми.)
Слова «можно посчитать в принципе«, «принципиальные запреты» я не зря употребил. Вот вам другой простенький пример. Дана функция:
Область определения любой функции устанавливают:
1. Математика. Это законы и правила, которые всегда должны выполняться. Эти правила не зависят от нашего желания и вида задания. Они работают всегда. Область определения по этим правилам иногда называют «естественной».
2. Люди. Это дополнительные ограничения на область определения функции, которые могут быть (а могут и не быть) в любом конкретном задании и зависят исключительно от составителя задания.
Самым важным является первый пункт. С него и начнём.
Как найти область определения функции?
На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. Т.е. ищем потенциально опасные операции.
На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции.
Если эти этапы не очень понятны, читаем дальше, на примерах всё куда яснее будет.
Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете). Перечисляю:
До 9-го класса включительно:
1. Деление. Нельзя делить на ноль.
2. Извлечение корня. Нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел.
В выпускных классах и ВУЗах:
3. Логарифмы. Ограничения в логарифмах: если logab = c, то а>0, a≠1, b>0.
4. Тригонометрия. Ограничения в тригонометрии: значения углов, для которых тангенс и котангенс не существуют, ограничения на выражения под знаком арксинуса, арккосинуса.
Это, практически, весь набор потенциально опасных операций. Можно запомнить, правда?)
Вот и всё, что надо знать, чтобы найти область определения любой функции.
Теперь самое время применить эти знания в деле. Найдём область определения самой первой функции. Не перебором, а вполне научно):
D(f)=(-∞;+∞)
Как видите, в этом примере второй этап вовсе не понадобился. Бывает. Хорошая функция.)
Определяем иксы, которые не приводят к запретному действию, т.е. делению на ноль. Собственно, к делению на ноль приводит лишь одно значение икса: x=0. Следовательно, все остальные значения безопасны. Областью определения функции будут все действительные числа, кроме нуля. В краткой записи:
D(f)=(-∞;0) ∪ (0; +∞)
Это были совсем простые примеры. Для знакомства). Переходим к более солидным заданиям.
Найти область определения функции:
Что, внушает?) Ничего не боимся и работаем по схеме.
Выполняем первый этап: осматриваем функцию, на предмет потенциально опасных операций.
Внимание! Мы ничего не решаем! Не упрощаем, не складываем дроби, не раскладываем на множители, не извлекаем корни, ни-че-го! Мы именно осматриваем функцию. Любые преобразования могут изменить область определения функции и мы получим неверный ответ.
Сразу же выполняем и второй этап: то, что найдём в процессе осмотра, будем записывать, чтобы не забыть.)
Итак, в первом слагаемом видим квадратный корень из выражения с иксом. Это потенциально опасная операция. Под корнем, при каких-то иксах, может оказаться отрицательное число. Обезопасим себя вот такой записью (второй этап):
Уловили? Квадратный корень извлекается только из положительных чисел и нуля. Всё подкоренное выражение должно быть больше, либо равно нулю. Не икс, а всё подкоренное выражение, целиком. Прошу заметить: в этой записи уже нет знака корня! А то так и норовят его написать. Корень нам не нужен, нас интересует только подкоренное выражение. Так, с корнем разобрались, идём дальше.
Второе слагаемое. В нём есть деление на выражение с иксом. Знаменатель (весь знаменатель, целиком!) не может быть равен нулю. Записываем (второй этап):
х-3 ≠ 0
Так, соломки подстелили, идём дальше. В третьем слагаемом опять есть деление. Записываем:
х+1 ≠ 0
Ну, всё, функция кончилась.) Теперь сводим все наши записи в систему неравенств:
Система необходима, так как все наши условия должны выполняться одновременно.
Осталось решить эту систему. В ответе получится как раз область определения этой функции. Ответ будет такой:
Как видим, функция может быть каким угодно монстром. Но в процессе осмотра и соответствующих записей мы получаем системку неравенств, которая вполне решаема.
Так поступаем при нахождении области определения любой функции.
Не знаете, как решать системы!? Ну, это вопрос не к функциям. Имейте в виду: задание как найти область определения функции почти всегда заканчивается решением системы неравенств. Как решать квадратные неравенства можно посмотреть по ссылке. Там, кстати, решено с пояснениями именно наше квадратное неравенство. Чисто случайно. )
Последовательный осмотр и запись системы неравенств обычно особого труда не составляют. Хуже, когда потенциально опасные операции ещё и наслаиваются друг на друга. Здесь требуется пристальное внимание, чтобы чего не упустить. Например:
Найти область определения функции:
На первом этапе замечаем квадратный корень. Сразу пишем условие для всего подкоренного выражения:
Так, квадратный корень обезопасили. Но двигаться дальше ещё рано. Внутри корня есть ещё две потенциально опасные операции! Логарифм и деление. Для логарифма записываем:
Для деления записываем:
Вот теперь первое слагаемое разобрано по косточкам. Можно двигаться дальше. Для тангенса нужно записать:
Вот и всё. Сводим все наши записи в систему:
Повторю алгоритм ещё раз:
1. Работаем с исходной функцией! Ничего не упрощаем и не преобразовываем! Это всё делаем (если надо будет) после нахождения области определения.
2. Внимательно осматриваем функцию на предмет потенциально опасных операций.
3. В процессе осмотра записываем в систему неравенства, которые обеспечивают допустимость опасных операций.
4. Решаем систему неравенств и записываем ответ.
Самые внимательные, наверняка, почувствовали схожесть этого процесса с нахождением области допустимых значений (ОДЗ).
Ну, что тут сказать. Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.
А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)
Дополнительные ограничения на область определения функции.
Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.
Например, такое задание:
Найти область определения функции:
на множестве положительных чисел.
Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:
А теперь учитываем дополнительные ограничения. Слова «на множестве положительных чисел» означают, что иксы могут быть только положительные. Вместо этих слов может быть задано условие «где x>0″, или «где х ∈ (0; +∞)». Если наложить это ограничение на ответ, получим новую область определения:
D(f)=(0; 2] ∪ [6; +∞)
Всё предыдущее относилось к области определения аналитически заданных функций. Это самые популярные функции. Но существуют и другие способы задания функции. Они менее привычны и могут поставить в тупик. Во избежание таких фокусов, кратенько пробежимся по D(f) для функций, заданных НЕ аналитически.
В табличном способе областью определения функций будут только те значения икса, которые даны в таблице. Других иксов для такой функции просто не существует. Разумеется, если в задании будут дополнительные ограничения на D(f), их надо будет учесть. Но основным источником информации будет таблица.
Найти область определения функции у=f(x):
При значении х=+6, на графике отмечена закрашенная точка. Это значит, что при х=+6 функция существует. Этот икс необходимо включить в D(f). Вот и всё. Ответ:
В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да. ) Пример из предыдущего урока:
Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.
Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:
D(f): х ∈ N
Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств. И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система.
Область определения функции
Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу « у = 2x » подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу « у = 2x » и запишем результаты в таблицу.
| x | y = 2 x | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
| x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
| y = 2 ·
=
= 1 | ||||||
| x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |
Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
Вернемся к нашей функции « у = 2x » и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции « y = 2x », где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
| x | y = 2x | ||
|---|---|---|---|
| −2 | −4 | ||
| 0 | 0 | ||
| 1 | ||
| 3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
В нашей функции « у = 2x » вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции « у = 2x » — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции « у = 2x » через математические обозначения.
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.
Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции « у = 2x ». Так как в функции
« у = 2x » нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности « −∞ » до плюс бесконечности « +∞ ».
Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как « x ∈ R ».
Читается « x ∈ R » как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
« x ∈ R » одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
№ 233 (2) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции « f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме « −5 ». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число « −5 » отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.
Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.
Запишем промежутки через математические символы. Так как число « −5 » не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».
Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
« у = √ 6 − x ». Подкоренное выражение
« 6 − x » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число « 6 » отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.
Правило для определения области определения функции
Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
№ 242 (3) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции « f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» есть дробь «
| 1 |
| x 2 − 9 |
», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.
Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9) |
| 2 · 1 |
x1;2 ≠
| −0 ± √ 0 − (−36) |
| 2 |
Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство.
Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.
Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
». Запишем окончательный ответ.
Примеры определения области определения функции
№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.
Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.
В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.
№ 242 (4) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
| √ x + 2 ≠ 0 |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.
| √ x + 2 ≠ 0 (1) |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.
Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 7 ± √ 49 − 24 |
| 2 |
x1;2 =
| 7 ± 5 |
| 2 |
x1 ≠
| x2 ≠
|
x1 ≠
| x2 ≠
|
| x1 ≠ 6 | x2 ≠ 1 |
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
| x ≠ −2 |
| x ≠ 1 |
| x ≠ 6 |
В формуле функции
« f(x) =
| √ x − 4 |
| √ x + 2 |
+
| 4x − 3 |
| x 2 − 7x + 6 |
»
есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x ≥ 4 |
| x ≥ −2 |
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.
Выпишем результат решения системы неравенств.
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.