Преобразовать дробь для получения наименьшего общего знаменателя что значит
Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений
В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Приведение дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Пример 1. Общий знаменатель
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
Правило приведения дробей к общему знаменателю
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72
Общий знаменатель, понятие и определение.
Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.
Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.
Формула основного свойства рациональных чисел.
Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.
Наименьший общий знаменатель.
Что такое наименьший общий знаменатель?
Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.
Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:
Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2
Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2
Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.
Как привести дробь к общему знаменателю?
Нужно первую дробь \(\frac<1><20>\) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.
Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:
Общий знаменатель для нескольких дробей.
Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?
Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac<2><11>, \frac<1><15>, \frac<3><22>\)
Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.
Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330
Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби \(\frac<2><11>, \frac<1><15>, \frac<3><22>\) к общему знаменатели равному 330.
Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей \(\bf \frac<2><25>\) и \(\bf \frac<1><14>\)?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.
Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.
Это мы нашли наименьший общий знаменатель:
Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей \(\frac<2><25>\) и \(\frac<1><14>\) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Чтобы привести несколько дробей к наименьшему общему знаменателю, надо:
1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Пример: приведем к наименьшему общему знаменателю дроби 3/4 и 5/6.
1) Находим наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6. Это 12. То есть 12 – минимальное число, на которое делятся без остатка и 4, и 6.
2) Делим 12 на знаменатель каждой из двух дробей, чтобы найти их дополнительные множители:
Таким образом, дополнительным множителем дроби 3/4 является 3, дроби 5/6 – 2.
3) Чтобы в знаменателе обеих дробей было число 12, надо умножить их числители и знаменатели на их дополнительные множители.
Нашли общий знаменатель двух дробей – число 12.
В дроби 3/4 делим 12 на знаменатель 4 и полученный результат умножаем на числитель 3:
Мы получили числитель. Итак, в числителе у нас 9, в знаменателе 12:
В дроби 5/6 делим 12 на 6 и полученный результат умножаем на 5:
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей. (см. тему «Нахождение наименьшего общего кратного»: 5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел ).
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.
Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20:5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20:4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20).
Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8:4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8).
Данные дроби не являются несократимыми.
Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 ·5=16·5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80:16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80:20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80).
Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30:5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30:6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30:15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30).
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
Дроби могут иметь множество общих знаменателей.
Могут иметь общие знаменатели: 4, 8, 12, 16 и т.д.:
В множестве чисел, являющихся общим знаменателем данных дробей существует наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем.
Таким образом, из всех общих знаменателей 4, 8, 12, 16 дробей:
наименьшим общим знаменателем будет знаменатель 4, так как число 4 – наименьшее натуральное число из чисел 4, 8, 12, 16.
Определение наименьшего общего знаменателя
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число из всех общих знаменателей данных дробей.
Наименьший общий знаменатель будет равен 36.
Чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) этих знаменателей.
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Шаг 1
Найти наименьший общий знаменатель.
Шаг 2
Найти дополнительный множитель.
Шаг 3
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Шаг 4
Записать полученные дроби с новым знаменателем.
Пример 1
Привести дроби к общему знаменателю и наименьшему общему знаменателю::
Действие 1
Найдем общий знаменатель для рассматриваемых дробей.
Чтобы найти общий знаменатель, перемножим знаменатели:
Дополнительный множитель к первой дроби:
Дополнительный множитель ко второй дроби:
Дополнительный множитель к третьей дроби:
Запишем полученные дроби с общим знаменателем:
Действие 2
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:
Шаг 1
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нужно знаменатели дробей разложить на множители.
Разложим их знаменатели на множители:
Запишем знаменатели как произведение множителей:
Из одинаковых простых множителей выберем тот множитель, который стоит в наибольшей степени, т. е.:
Наименьший общий знаменатель у этих дробей: 36.
Шаг 2
Находим дополнительные множители для этих дробей. Для этого 36 делим на 12, 3, 18 (знаменатели этих дробей):
Шаг 3
Умножим числители и знаменатели этих дробей на дополнительные множители:
Таким образом эти дроби привели к наименьшему общему знаменателю.
Ответ
приведенные к общему знаменателю:
приведенные к наименьшему общему знаменателю:
Пример 2
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби:
Решение
Шаг 1
Найдем наименьший общий знаменатель. Для этого определим НОК. Чтобы найти НОК, разложим знаменатели на простые множители.
Представим знаменатели в виде произведения множителей:
Из одинаковых простых множителей выберем тот множитель, который стоит в наибольшей степени, т. е.:
Наименьший общий знаменатель 90.
Шаг 2
Найдем дополнительные множители для этих дробей. Для этого 90 делим на 18, 45 (знаменатели этих дробей):
Шаг 3
Умножим числители и знаменатели этих дробей на дополнительные множители:
Таким образом эти дроби привели к наименьшему общему знаменателю.
Ответ
приведенные к наименьшему общему знаменателю имеют вид:
Как привести дробь к НОЗ
Чтобы можно было выполнять операции сложения, вычитания и сравнения между простыми дробями, у них должны быть одинаковые знаменатели.
Если знаменатели дробей различны (именно так чаще и бывает), дроби следует привести к общему знаменателю.
Общим знаменателем называют число, кратное каждому из первоначальных знаменателей исходных дробей.
Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) называют наименьший из всех возможных знаменателей или наименьшее общее кратное знаменателей исходных дробей.
Правило приведения двух дробей к НОЗ:
ПРИМЕР: Найти НОЗ дробей 18/81 и 13/45.
Дополнительный множитель для дроби 18/81 будет равен 5; для дроби 13/45 равен 9.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 5, а второй — на 9, после чего получаем две дроби с одинаковыми знаменателями: 90/405 и 117/405.
Задача 1: Что больше 14/19 или 27/33.
Приведение дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель обыкновенных дробей
Любые дроби с разными знаменателями в математике можно привести к одному и тому же общему знаменателю — заменить на равные им дроби с одинаковым знаменателем.
Есть два вида знаменателей:
Общий знаменатель — это число или выражение, которое является знаменателем для двух и более обыкновенных дробей.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.
Производить данную операцию необходимо в ряде случаев.
Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм
Чтобы осуществить операцию приведения, необходимо применить основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, дробь не изменится. То есть если подобрать правильные множители, то можно привести знаменатели к одному и тому же числу. Искомые множители называют дополнительными.
Это объяснение лежит в основе общего правила приведения дробей.
Существует несколько способов привести дроби к общему или наименьшему общему знаменателю.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой способ — умножение «крест-накрест». Применяется следующий пошаговый алгоритм:
Недостаток этого метода — в размерах вычислений. При умножении могут получиться большие числа, которыми тяжело оперировать.
Метод общих делителей
Иногда один из знаменателей дроби уже делится на другой без остатка. В таком случае нет нужды перемножать их, количество действий сокращается.
Этот метод хорош тем, что является более кратким вариантом умножения «крест-накрест». При этом его невозможно использовать при решении примеров, в которых числа в знаменателях не делятся друг на друга.
Метод наименьшего общего кратного
Суть приведения заключается в том, чтобы найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. К этому числу и необходимо привести знаменатели обеих дробей.
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее число, на которое делится каждый из знаменателей. Обозначается он как НОК (a; b).
НОК (3; 4) = 12; НОК (8; 12) = 24.
Иногда найти НОК можно «на глаз», не выполняя дополнительных расчетов. К примеру, НОК (6; 9) = 18. Однако иногда на это может понадобиться больше времени. Описание примера таких вычислений приведено в примерах решения задач ниже.
Таким образом, основное преимущество это метода заключается в краткости вычислений. При этом его недостатком является сложность нахождения НОК в некоторых случаях.
Примеры задач с подробным решением
Задача
Решение
Для начала применим метод «крест-накрест». Тогда:
Получившуюся дробь можно сократить на 5:
Однако решение можно сократить, применив метод общих делителей. 15 делится на 5 без остатка. При таком делении дополнительным множителем для первой дроби будет число 3:
Задача
Решение
Решить эту задачу методом общих делителей невозможно, ведь 20 не делится без остатка на 15. При этом оба числа являются большими:
Вычисление методом «крест-накрест» будет слишком большим.
Оптимальным вариантом решения является метод наименьшего общего кратного.
\(НОК (15; 20) = 5\cdot3\cdot4=60\)
При делении 60 на знаменатели обеих дробей получаются дополнительные множители 4 и 3. Используем их для вычислений:
Обыкновенные дроби
Доля целого
Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:
Понятие дроби
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
Виды дробей:
Какие еще бывают дроби:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.
Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.
Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо: