Предел равен 0 что значит

Предел функции.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x₀, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x₀, и которая сходится к точке x₀ (lim x_n = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x₀ в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x₀, но которая не содержит x₀ как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x₀), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши.

Ответ

Необходимо рассчитать предел

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Источник

Основные неопределенности пределов и их раскрытие

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

С помощью замечательных пределов;

С помощью правила Лопиталя;

Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Решение

Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

Решение

Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Решение

Выполняем подстановку значений.

В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

Решение

Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Решение

Выполняем разложение числителя на множители:

Теперь делаем то же самое со знаменателем:

Мы получили предел следующего вида:

Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Решение

Решение

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = » open=» ∞ ∞

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Решение

Выводы

В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

Источник

Четыре самых часто встречавшихся мне математических заблуждения

Раз уж я зарегистрировался, то попробую не только комментарии писать.

«Лобачевский доказал, что параллельные пересекаются».

Скорее всего, это искажённая формулировка «в геометрии Лобачевского две прямые, порознь параллельные третьей, могут пересекаться».

Если вероятность события равна 0, событие невозможное. Если вероятность события равна 1, событие достоверное.

Определение достоверного и невозможного событий никак не связаны с вероятностью. Событие достоверно не тогда, когда его вероятность равна 1, а тогда, когда никаких других вариантов нет, и событие обязательно произойдёт. Аналогично, событие является невозможным тогда, когда оно ни при каких условиях не может произойти. Вероятность любого достоверного события в самом деле равна 1, но не любое событие с вероятностью 1 достоверно. Аналогично с невозможным событием.

Вот пример события, имеющего вероятность 0, но не являющегося невозможным.

У нас есть игральная кость. Мы будем подбрасывать её до выпадения первой шестёрки. Как только выпадет шестёрка, мы остановимся.

Пример события вероятности 1, не являющегося достоверным, придумайте сами.

Люди плохо различают прямые и обратные утверждения и временами видят эквивалентность там, где её на самом деле нет. Вероятно, это именно такой случай.

«Вероятность этого стремится к нулю!»

Более того, выражение «x стремится к A» в математике само по себе не имеет смысла. Смысл имеет только полная формула: «y(x) стремится к А при x стремящемся к B«.

Если 1 разделить на 0, то результат равен бесконечности.

Здесь сразу две ошибки. Во-первых, операция деления на 0 не имеет смысла, поэтому у такого «деления» нет никакого результата. Во-вторых, символ «бесконечность» не является числом и поэтому не может являться результатом какой бы то ни было аримфметической операции.

Для знатоков подчеркну, что неархимедов анализ не спасёт: в поле гипердействительных чисел по-прежнему нельзя делить на 0.

Вероятно, из записи пределов, означающих неограниченный рост. Люди видят запись «предел равен бесконечности» и начинают использовать этот символ так, как его нельзя использовать.

У тебя в заблуждении 2 прибежало заблуждение 3. Вероятность невыпадения шестерки таки не равна нулю, она просто очень близка к нему. )

Вероятность 1 означает, что в условиях учтено всё, если событие не произойдёт в ходе какого-то «непредвиденного» фактора, то это значит, что в учёте вероятности не было учтено влияние всех вероятностоформирующих факторов.

Это не значит, что это событие с вероятностью 1, которое не произошло, это значит, что не были учтены ВСЕ возможные факторы, могущие повлиять на исход игры.

«Вероятность этого стремится к нулю» вполне может иметь смысл. Например, если берется не одно событие, а их последовательность. Пример из твоего же второго пункта: событие An означает «в первых n бросках не выпало шестерки». Тогда P(An)→0 при n→∞.

А в расширенной комплексной плоскости делить на ноль можно. И там 1/0=∞.

И откуда ты взял эти заблуждения? У меня такое чувство, что сам придумал практически на пустом месте.

Записки репетитора. История одной ученицы. Часть первая. Знакомство.

Всем привет! Что же, снова бросаю репетиторство, поэтому можно подвести некий промежуточный итог. Всё-таки, оглядываясь на события своей практики, я думаю, что был как минимум неплохим репетитором. Со мной любили заниматься, обо мне почти всегда оставляли отличные отзывы, сарафанное радио работало просто здорово. Но, увы, в моей практике были и неудачные случаи. Об одном таком случае, когда я потерпел сокрушительное поражение, мне и хочется поведать.

И вот однажды этой осенью Анна очень сильно попросила позаниматься с дочкой своей лучшей подруги. Она меня очень и очень просила, так как дочка подруги, будем звать эту девочку Викой, совсем лыка не вязала в математике.

-Понимаешь, Рогволд, обычная школа ей не нравится. Да и мне тоже. Она не понимает математику. Особенно геометрию. А здесь всего 5 человек в классе и учительница по-любому объяснит ей материал!

Чтобы понять весь масштаб звездеца, свалившегося на Вику, надо понимать, что геометрию ВЕСЬ седьмой класс она пропустила, а алгебру всего-лишь наполовину. А учебники у неё интересные. Теория множеств, теория делимости, примеры с параметрами. Это не математическая школа. У неё нет уклона. Жалко только, что учебник, по которому учатся, предназначен для углублённого изучения алгебры.

Вику сложно назвать трудолюбивым человеком. Скорее как, она увлекающийся человек. Если ей предмет нравится, то она будет его изучать. Алгебра, несмотря на объективную сложность, ей более-менее нравилась, а вот геометрия вызывала у неё одно чувство:»УБИВАТЬ. УБИВАТЬ ЛОПАТОЙ«

Я провёл с Викой тестовое занятие, чтобы понять с кем мне предстоит работать, и ужаснулся. По алгебре она могла отличить квадрат разности от деления многочлена на одночлен, что внушило мне оптимизм. А вот геометрия сводилась к одному:»Это равнобедренный треугольник (на квадрат). Тут всё очевидно!». Древние Греки рыдают, что хоть кому-то всё очевидно.

Если бы не Анна, которая мне уже привела человек 5, я бы отказался. Ну его нафиг. Однако, я чувствовал в моральном плане ей обязанным и подумал:»Ну и что, что это полный ноль? И что, предыдущий мой коллега не сумел с ней совладать? Я же лучше! Я же специалист и супер-мега-пупер крутой репетитор!». Поэтому, я сказал:»Екатерина Алексеевна, я буду заниматься с Вашей дочерью».

Во второй части будет описание наших занятий и как я дошёл до крайнего отчаяния.

Источник

Предел функции: основные понятия и определения

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

При x → ∞ предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Решение

Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Решение

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f ( x ) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными ­ – отрицательных.

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Решение

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Источник

Что такое предел функции и как его найти

Общее понятие предела

При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.

А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.

Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.

Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле

Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:

Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.

Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется «доопределить функцию», с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы «Предел»). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:

С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину — последовательность сумм их диаметров:

Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.

Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.

Предел функции

Предел функции при

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

(1)

сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

(2)

и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке (или при ), если для любой сходящейся к последовательности (1) значений аргумента x, отличных от , соответствующая последовательность (2) сходится к числу A.

Символически это записывается так:

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Пример 1. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:

.

Итак, предел данной функции при равен 1.

Кроме того, решённые в этом уроке примеры и любые другие задачи на пределы, можно на проверить на калькуляторе пределов онлайн.

Предел функции при , при и при

Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: .

Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так: ().

Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

Пример 2. Найти предел функции при .

Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:

.

Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

(3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

(4)

3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

(5)

Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Пример 3. Найти предел:

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 4. Найти предел:

Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

Таким образом, формула (5) применима и, значит,

А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Пример 5. Найти предел:

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

Найти предел самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Найти предел:

Пример 7. Найти предел:

.

Пример 8. Найти предел:

.

Пример 9. Найти предел:

.

Пример 10. Найти предел:

.

Пример 11. Найти пределы:

Решение пределов через раскрытие неопределённостей

При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида — самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.

БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.

Освоим эти приёмы на примерах.

Неопределённость вида

Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :

.

Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».

Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .

Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:

.

Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо «икса».

Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Неопределённость вида

Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .

.

Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:

Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.

Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку

Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:

Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел

Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:

Раскрыть неопределённости самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 17. Раскрыть неопределённость и найти предел

.

Пример 18. Раскрыть неопределённость и найти предел

.

Пример 19. Раскрыть неопределённость и найти предел

.

Источник